1、1第 18讲 等差数列、等比数列的基本问题1.(2018江苏溧水中学月考)等差数列a n前 9项的和等于前 4项的和,若 a1=1,ak+a4=0,则 k= . 2.(2018江苏苏州高三上学期期中)已知在等比数列a n中,a 3=2,a4a6=16,则 = . a7-a9a3-a53.(2018江苏南通中学高三考前冲刺练习)已知等差数列a n的公差 d=3,Sn是其前 n项和,若 a1,a2,a9成等比数列,则 S5的值为 . 4.(2018南通高三第二次调研)设等比数列a n的前 n项和为 Sn.若 S3,S9,S6成等差数列,且 a8=3,则 a5= . 5.设数列a n的首项 a1=1
2、,且满足 a2n+1=2a2n-1与 a2n=a2n-1+1,则数列a n的前 20项和为 . 6.(2018江苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)已知公差为 d的等差数列a n的前 n项和为 Sn,若 =4,则S10S5= . 4a1d7.已知 Sn为数列a n的前 n项和,若 a1=2,且 =2Sn,设 bn=log2an,则 + + 的值是 Sn+11b1b2 1b2b3 1b10b11. 8.(2018扬州高三第三次调研)已知实数 a,b,c成等比数列,a+6,b+2,c+1 成等差数列,则 b的最大值为 . 9.(2018扬州高三第三次调研)已知数列a n满足 an+1+(-1)nan
3、= (nN *),数列a n的前 n项和为 Sn.n+52(1)求 a1+a3的值;(2)若 a1+a5=2a3.求证:数列a 2n为等差数列;求满足 S2p=4S2m(p,mN *)的所有数对(p,m).210.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)已知等差数列a n的首项为 1,公差为 d,数列b n的前 n项和为 Sn,若对任意的 nN *,6Sn=9bn-an-2恒成立.(1)如果数列S n是等差数列,证明数列b n也是等差数列;(2)如果数列 为等比数列,求 d的值;bn+12(3)如果 d=3,数列c n的首项为 1,cn=bn-bn-1(n2),证明数列a n中存在无穷多项
4、可表示为数列c n中的两项之和.3答案精解精析1.答案 10解析 S 9=S4,则 9a1+36d=4a1+6d,a1+6d=a7=0,则 a4+a10=2a7=0,则 k=10.2.答案 4解析 等比数列中奇数项符号相同,a 30,则 a50,又 a4a6= =16,则 a5=4,从而 a7=8,a9=16,则a52= =4.a7-a9a3-a5-8-23.答案 652解析 由题意可得 a1a9= ,则由 a1(a1+24)=(a1+3)2,解得 a1= ,则 S5=5 + 3= .a2212 12542 6524.答案 -6解析 由 S3,S9,S6成等差数列可得 S3+S6=2S9,当等
5、比数列a n的公比 q=1时不成立,则 q1, +a1(1-q3)1-q=2 ,化简得 2q6-q3-1=0,q3=- (舍去 1),则 a5= =-6.a1(1-q6)1-q a1(1-q9)1-q 12 a8q35.答案 2056解析 由题意可得奇数项构成等比数列,则 a1+a3+a19= =1023,偶数项 a2+a4+a20=(a1+1)+(a3+1)1-2101-2+(a19+1)=1033,故数列a n的前 20项和为 2056.6.答案 2解析 由 =4得 =4S5,即 10a1+45d=4(5a1+10d),则 =2.S10S5 S10 4a1d7.答案 1910解析 由 =2
6、Sn,且 S1=a1=2,得数列S n是首项、公比都为 2的等比数列,则 Sn=2n.当 n2 时,a n=Sn-Sn+1Sn-1=2n-2n-1=2n-1,a1=2不适合,则 an= 故 bn= 所以 + + =1+ +2,n=1,2n-1,n 2, 1,n=1,n-1,n 2, 1b1b2 1b2b3 1b10b11 112+ =1+ + + =2- = .123 1910(1-12)(12-13) (19-110) 11019108.答案 34解析 设等比数列 a,b,c的公比为 q(q0),则 a= ,c=bq,又 a+6= +6,b+2,c+1=bq+1成等差数列,则bq bq+(b
7、q+1)=2(b+2),化简得 b= ,当 b最大时 q0,此时 q+ -2,b= ,当且仅当(bq+6) 32-(q+1q) 1q 32-(q+1q) 34q=-1时取等号,故 b的最大值为 .3449.解析 (1)由条件,得 a2-a1=3,a3+a2=72, -得 a1+a3= .12(2)证明:因为 an+1+(-1)nan= ,n+52所以 a2n-a2n-1=2n+42 ,a2n+1+a2n=2n+52 , -得 a2n-1+a2n+1= .12于是 1= + =(a1+a3)+(a3+a5)=4a3,1212所以 a3= ,又由(1)知 a1+a3= ,则 a1= .14 12
8、14所以 a2n-1- =- =14 (a2n-3-14)=(-1)n-1 =0,(a1-14)所以 a2n-1= ,将其代入式,14得 a2n=n+ .94所以 a2(n+1)-a2n=1(常数),所以数列a 2n为等差数列.易知 a1=a2n+1,所以 S2n=a1+a2+a2n=(a2+a3)+(a4+a5)+(a2n+a2n+1)= +3n.n22由 S2p=4S2m知 +3p=4 .p22 (m22+3m)所以(2m+6) 2=(p+3)2+27,即(2m+p+9)(2m-p+3)=27,又 p,mN *,所以 2m+p+912 且 2m+p+9,2m-p+3均为正整数,所以 解得
9、p=10,m=4,2m+p+9=27,2m-p+3=1,所以所求数对为(10,4).10.解析 (1)证明:设数列S n的公差为 d,6S n=9bn-an-2,6Sn-1=9bn-1-an-1-2(n2),-得 6(Sn-Sn-1)=9(bn-bn-1)-(an-an-1),5即 6d=9(bn-bn-1)-d,所以 bn-bn-1= (n2)为常数,6d+d9所以b n为等差数列.(2)由得 6bn=9bn-9bn-1-d,即 3bn=9bn-1+d,因为 为等比数列,所以 = = =3+ (n2)是与 n无关的常数,bn+12 bn+12bn-1+123bn-1+d3+12bn-1+12
10、 3(bn-1+12)+d3-1bn-1+12 d3-1bn-1+12所以 -1=0或 bn-1+ 为常数.d3 12当 -1=0时,d=3,符合题意;d3当 bn-1+ 为常数时,12在 6Sn=9bn-an-2中,令 n=1,则 6b1=9b1-a1-2,又 a1=1,解得 b1=1,所以 bn-1+ =b1+ = (n2),12 1232此时 3+ =3+ =1,d3-1bn-1+12d3-132解得 d=-6.综上,d=3 或 d=-6.(3)证明:当 d=3时,a n=3n-2.由(2)得数列 是以 为首项,3 为公比的等比数列,所以 bn+ = 3n-1= 3n.即 bn= (3n
11、-1).bn+12 32 1232 12 12当 n2 时,c n=bn-bn-1= (3n-1)- (3n-1-1)=3n-1;12 12当 n=1时,也满足上式,所以 cn=3n-1(n1).设 an=ci+cj(1ij,i,jN *),则 3n-2=3i-1+3j-1,即 3n-(3i-1+3j-1)=2,如果 i2,因为 3n为 3的倍数,3 i-1+3j-1为 3的倍数,所以 3n-(3i-1+3j-1)为 3的倍数,则 2也为 3的倍数,矛盾.所以 i=1,则 3n=3+3j-1,即 n=1+3j-2(j=2,3,4,).所以数列a n中存在无穷多项可表示为数列c n中的两项之和.6
