1、9.7 抛物线,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,1,1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 .,距离相等,焦点,准线,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,1,2.抛物线的标准方程和几何性质,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,1,1,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,1,3.常用结论 设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,1,2,-7-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错
2、误的打“”. (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. ( ) (3)若一抛物线过点P(-2,3),其标准方程可写为y2=2px(p0).( ) (4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( ),答案,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.若点A(2,1)到抛物线y2=ax的准线的距离为1,则a的值为( ),答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.已知M是抛物线C:y2=2px(p0)上一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点,若|MF|=p,K是抛物线C的
3、准线与x轴的交点,则MKO=( ) A.15 B.30 C.45 D.60,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.已知过抛物线C:x2=4y的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=5,则线段AB中点的纵坐标为 .,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为 .,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.要熟练掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图象,尤其要弄清标准方程中p的几何意义. 2.焦点弦的长度可以通过抛物线的定义转化为抛物线上
4、的点到准线的距离问题,这样焦点弦弦长公式就会有一个简洁的形式,以焦点在x轴正半轴上的抛物线为例,d=xA+xB+p. 3.抛物线中与焦点有关的最值问题一般考查抛物线上的点到焦点的距离及其到准线的距离之间的互换.,-13-,考点1,考点2,考点3,例1(1)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是( ),(2)(2018河北衡水模拟)已知抛物线C:y2=8x上一点P,直线l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为( ),思考如何灵活应用抛物线的定义解决距
5、离问题?,答案,解析,-14-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线. 2.距离问题:涉及点与抛物线焦点的距离问题常转化为点到准线的距离.,-15-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则AOB的面积为( ),C,C,-16-,考点1,考点2,考点3,如图,延长PM交准线于N,连接PF,由抛物线定义得|PF|=|PN|. |PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|AF|=5,-17-,考点1,考点2,
6、考点3,(2)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= . 思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?,答案,解析,-18-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2.涉及抛物线上点到焦点的距离或点到准线的距离,在求最值时可以相互转换,并结合图形很容易找到最值.,-19-,考点1,考点2,考点3,C,C,-20-,考点1,考点2,考点3,所以|QQ|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ
7、|=3,故选C.,-21-,考点1,考点2,考点3,(2)如图,分别过A,B作AA1l于点A1,BB1l于点B1, 由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|. |BC|=2|BF|, |BC|=2|BB1|, BCB1=30, AFx=60, 连接A1F,则AA1F为等边三角形,过点F作FF1AA1于点F1, 则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,-22-,考点1,考点2,考点3,例3已知点F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程; (2)若点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且
8、与直线GA相切的圆,必与直线GB相切. 思考直线与抛物线中的焦点弦问题常用结论有哪些?,-23-,考点1,考点2,考点3,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.直线与抛物线相交于两点问题可结合抛物线的定义及几何性质进行处理,必要时联立直线与抛物线的方程来解决. 2.若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线可能相切,也可能相交.,-27-,考点1,考点2,考点3,对点训练3已知抛物线C:y=mx2(m0),焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1
9、)求抛物线C的焦点坐标. (2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3,求此时m的值. (3)是否存在实数m,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,-30-,考点1,考点2,考点3,1.认真区分四种形式的标准方程: (1)区分y=ax2与y2=2px(p0),前者不是抛物线的标准方程. (2)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0). 2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程. 2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.,-31-,答案D,-32-,-33-,反思提升1.本题中易错点之一是与方程y2=2px混淆,导致抛物线的焦点求解错误. 2.本题中容易使用判别式解决相切问题,这样计算量大,不如利用导数工具,巧妙而简便.,
