1、6.3 等比数列及其前n项和,-2-,知识梳理,双基自测,2,1,1.等比数列 (1)等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母 表示.数学,2,同一个常数,公比,q(q0),-3-,知识梳理,双基自测,2,1,(2)等比中项 如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列 . (3)等比数列的通项公式 an= ;可推广为an= . (4)等比数列的前n项和公式,G2=ab,a1qn-1,amqn-m,-4-,知识梳理,双基自测,2,1,2.
2、等比数列及其前n项和的性质 (1)若k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal= ;若m+n=2k,则(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为 . (3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则,aman,qm,-5-,知识梳理,双基自测,2,1,当q0时,an为摆动数列. (5)当q-1或q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为 .,递增,递减,常,qn,2,-6-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列
3、an为等比数列. ( ) (2)G为a,b的等比中项G2=ab.( ) (3)等比数列中不存在数值为0的项.( ) (4)若an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列bn也是等比数列.( ) (5)若数列an为等比数列,则数列ln an是等差数列.( ) (6)若数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为,答案,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为
4、前一天的一半,走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了( ) A.60里 B.48里 C.36里 D.24里,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.已知an为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是an的前n项和,则S12的值为( ) A.21 B.42 C.63 D.54,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.(2018四川凉山一诊)在各项均为正数的等比数列an中,a2a3=16,则数列log2an的前4项和等于 .,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.在等比数列an中,已知a5-a
5、1=15,a4-a2=6,若公比q1,则a3= .,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.等差数列的首项和公差可以为零,且等差中项唯一;而等比数列的首项和公比均不为零,等比中项可以有两个值. 2.在等比数列中,由an+1=qan,q0,并不能立即判断an为等比数列,还要验证a10;若aman=apaq,则m+n=p+q不一定成立,因为常数列也是等比数列,但若m+n=p+q,则有aman=ap . 3.在运用等比数列的前n项和公式时,若不能确定q与1的关系,则必须分q=1和q1两种情况讨论.,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1(1)设an是由正数
6、组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于( ),(2)(2017全国,理14)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .,思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?,答案: (1)B (2)-8 (3)32,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析:(1)由题意可知公比q1.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法 (1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可
7、迎刃而解. (2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和. (3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当成整体进行求解.,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)已知公比q1的等比数列an的前n项和Sn,a1=1,S3=3a3,则S5=( ),(2)在等比数列an中,a3-3a2=2,且5a4为12a3和2a5的等差中项,则an的公比q等于( ) A.3 B.2或3 C.2 D.6,答案,解析,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2已知数列an的前n项和Sn=1+a
8、n,其中0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式;思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.判断数列an为等比数列的方法:,2.解答选择题、填空题时也可用如下方法: (1)通项公式法:若数列通项公式可写成an=cqn(c,q均是不为0的常数,nN*),则数列an是等比数列. (2)前n项和法:若Sn=kqn-k(k为常数,且k0,q0,1),则数列an为等比数列. 3.若证明一个数列不是等比数列,则可用反证法证明存在相邻三项不成等比数列即可,一般证明,-20-,考点1,考点2,考点3,考点
9、4,对点训练2已知数列an的前n项和为Sn,在数列bn中,b1=a1,bn=an-an-1(n2),且an+Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:cn是等比数列; (2)求数列bn的通项公式.,(1)证明:an+Sn=n,an+1+Sn+1=n+1. -得an+1-an+an+1=1, 2an+1=an+1,2(an+1-1)=an-1,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向一 等比数列项的性质的应用 例3(1)在由正数组成的等比数列an中,若a3a4a5=3,则sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值为( )(2)在正项等比
10、数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n= . 思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?,答案,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向二 等比数列前n项和的性质的应用 例4设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64 思考本题应用什么性质求解比较简便?,答案,解析,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质: (1)通项公式的推广:an=amqn-m
11、; (2)等比中项的推广与变形: =aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n). 2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)已知在各项均为正数的等比数列an中,a5a6=4,则数列log2an的前10项和为( ) A.5 B.6 C.10 D.12 (2)已知等比数列an的首项a1=-1,其前n项和为Sn,若 ,则公比q= .,答案,解析,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,例5已知等差数列an的
12、前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求bn的通项公式; (2)若T3=21,求S3. 思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,解:设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2,得d+q=3. (1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.,因此bn的通项公式为bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21,得q2+q-20=0, 解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由得d=8,则S3=21. 当q=4时,由得d=
13、-1,则S3=-6.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很广,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.,解:(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列
14、,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2; 当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2, 从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立. 当an=4n-2时,令2n260n+800, 即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41. 综上,当an=2时,不存在满足题意的n; 当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.等比数列基本量的运
15、算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.判定等比数列的方法,(2)通项公式法:an=cqn-1(c,q均是不为零的常数,nN*)an是等比数列. (3)等比中项法: =anan+2(anan+1an+20,nN*)an是等比数列.,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,3.求解等比数列问题常用的数学思想 (1)方程思想:如求等比数列中的基本量; (2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.1.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0. 2.求等比数列的前n项
16、和时,易忽略q=1这一特殊情形.,-34-,审题答题指导如何理解条件和转化条件 典例在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列an的通项公式; (2)对任意mN*,将数列an中落入区间(9m,92m)内的个数记为bm,求数列bm的前m项和Sm. 审题要点(1)题干中已知条件有三个:“数列an是等差数列”和两个等式;(2)第(2)问中所含条件可理解为:数列an的各项在所给区间的项数为bm;(3)第(2)问中条件的转化方法:文字语言转化为符号语言,即求满足9man92m的n的范围.,-35-,解(1)设等差数列an的公差为d, 由a3+a4+a5=84,可得3a4=84,即a4=28. 而a9=73,则5d=a9-a4=45,即d=9. 又a1=a4-3d=28-27=1,an=1+(n-1)9=9n-8,即an=9n-8.,-36-,反思提升本题第(2)问设置了落入区间内的项的个数构成新数列,这是对考生数学能力的挑战,由通项公式及已知区间建立不等式求项数,进而得到所求数列bm的通项公式是解答该问题的核心与关键.,
