1、1第四节 椭圆限时规范训练(限时练夯基练提能练)A 级 基础夯实练1(2018太原一模)已知椭圆 1( a b0)的一个焦点是圆x2a2 y2b2x2 y26 x80 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为( )A(3，0) B(4，0)C(10，0) D(5，0)解析：选 D.圆的标准方程为( x3) 2 y21，圆心坐标为(3，0)， c3.又b4， a 5.椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆的左顶点为(5，0)b2 c22(2018湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是 8，离心率是 ，则34此椭圆的标准方程是( )A. 1 B 1 或 1x216 y27 x216 y27 x27
2、 y216C. 1 D 1 或 1x216 y225 x216 y225 x225 y216解析：选 B.因为 a4，e ，所以 c3，所以 b2 a2 c21697.因为焦点的位34置不确定，所以椭圆的标准方程是 1 或 1.x216 y27 x27 y2163(2018湖北八校联考)设 F1， F2分别为椭圆 1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，x29 y25若线段 PF1的中点在 y 轴上，则 的值为( )|PF2|PF1|A. B514 513C. D49 59解析：选 B.由题意知 a3， b ， c2.设线段 PF1的中点为 M，则有 OM PF2，因5为 OM F1F2，所以 PF
3、2 F1F2，所以| PF2| .又因为| PF1| PF2|2 a6，所以b2a 53|PF1|2 a| PF2| ，所以 ，故选 B.133 |PF2|PF1| 53 313 5134(2018湖南百校联盟联考)已知椭圆 1( a b0)的右顶点和上顶点分别为x2a2 y2b22A、 B，左焦点为 F.以原点 O 为圆心的圆与直线 BF 相切，且该圆与 y 轴的正半轴交于点 C，过点 C 的直线交椭圆于 M、 N 两点若四边形 FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A. B35 12C. D23 34解析：选 A.因为圆 O 与直线 BF 相切，所以圆 O 的半径为 ，即 OC
4、，因为四边形bca bcaFAMN 是平行四边形，所以点 M 的坐标为 ，代入椭圆方程得(a c2 ， bca) 1，所以 5e22e30，又 0e1，所以 e .故选 A.（ a c） 24a2 c2b2a2b2 355(2018四川凉山州模拟)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是( )A. B13 33C. D34 223解析：选 D.不妨令椭圆方程为 1( a b0)因为以椭圆短轴为直径的圆经过x2a2 y2b2此椭圆的长轴的两个三等分点，所以 2b ，即 a3 b，2a3则 c 2 b，a2 b2 2则该椭圆的离心率 e .故选 D.ca 2236(2
5、018贵阳模拟)若椭圆 1( a b0)的离心率为 ，短轴长为 4，则椭圆x2a2 y2b2 32的标准方程为_解析：由题意可知 e ，2 b4，得 b2，ca 32所以 解得ca 32，a2 b2 c2 4 c2， ) a 4，c 23， )所以椭圆的标准方程为 1.x216 y24答案： 1x216 y2437设 F1， F2是椭圆 1 的两个焦点， P 是椭圆上的点，且x249 y224|PF1| PF2|43，则 PF1F2的面积为_解析：因为| PF1| PF2|14，又| PF1| PF2|43，所以| PF1|8，| PF2|6.因为|F1F2|10，所以 PF1 PF2.所以
6、S PF1F2 |PF1|PF2| 8624.12 12答案：248(2018海南海口模拟)已知椭圆 1( a b0)的左焦点为 F1( c，0)，右x2a2 y2b2顶点为 A，上顶点为 B，现过 A 点作直线 F1B 的垂线，垂足为 T，若直线 OT(O 为坐标原点)的斜率为 ，则该椭圆的离心率为_3bc解析：因为椭圆 1( a b0)， A， B 和 F1点坐标分别为( a，0)，(0， b)，x2a2 y2b2( c，0)，所以直线 BF1的方程是 y x b， OT 的方程是 y x.联立解得 T 点坐标为bc 3bc，直线 AT 的斜率为 .由 AT BF1得，(c4， 3b4)
7、3b4a c 1，3 b24 ac c2，3( a2 c2)4 ac c2，4e 24e30，又3b4a c bc0e1，所以 e .12答案：129分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆 1 有相同的离心率且经过点(2， )；x24 y23 3(2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5，3，过 P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为 t 1或 t 2(t1，t 20)，因为椭圆x24 y23 y24 x23过点(2， )，所以 t1 2，或 t2 .3224 （ 3） 23 （ 3） 24 223 2512故所
8、求椭圆的标准方程为 1 或 1.x28 y26 y2253 x2254(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为 1( a b0)或x2a2 y2b24 1( a b0)，由已知条件得y2a2 x2b2 2a 5 3，（ 2c） 2 52 32， )解得 a4， c2，所以 b212.故椭圆方程为 1 或 1.x216 y212 y216 x21210(2018兰州市诊断考试)已知椭圆 C： 1( a b0)经过点( ，1)，且离x2a2 y2b2 2心率为 .22(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 M， N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON(O 为坐标原点)的斜率之积为 .若动点
9、P 满12足 2 ，求点 P 的轨迹方程OP OM ON 解：(1)因为 e ，所以 ，22 b2a2 12又椭圆 C 经过点( ，1)，所以 1，22a2 1b2解得 a24， b22，所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y22(2)设 P(x， y)， M(x1， y1)， N(x2， y2)，则由 2 得OP OM ON x x12 x2， y y12 y2，因为点 M， N 在椭圆 1 上，x24 y22所以 x 2 y 4， x 2 y 4，21 21 2 2故 x22 y2( x 4 x1x24 x )2( y 4 y1y24 y )( x 2 y )4( x 2 y )21 2
10、21 2 21 21 2 24( x1x22 y1y2)204( x1x22 y1y2)设 kOM， kON分别为直线 OM 与 ON 的斜率，由题意知，kOMkON ，因此 x1x22 y1y20，y1y2x1x2 12所以 x22 y220，故点 P 的轨迹方程为 1.x220 y210B 级 能力提升练11(2018湖北八校第一次联考)如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O， F(5，0)为 C 的左焦点， P 为 C 上一点，满足| OP| OF|且5|PF|6，则椭圆 C 的方程为( )A. 1 B 1x236 y216 x240 y215C. 1 D 1x249 y224 x245
11、y220解析：选 C.由题意可得 c5，设右焦点为 F，连接 PF，由| OP| OF| OF|知， PFF FPO， OF P OPF， PFF OF P FPO OPF， FPO OPF90，即 PF PF.在 Rt PFF中，由勾股定理，得|PF| 8，由椭圆定义，得|FF |2 |PF|2 102 62|PF| PF|2 a6814，从而 a7，得 a249，于是 b2 a2 c27 25 224，所以椭圆 C 的方程为 1，故选 C.x249 y22412(2018河南郑州质量预测)椭圆 1 的左焦点为 F，直线 x a 与椭圆相交x25 y24于点 M， N，当 FMN 的周长最大
12、时， FMN 的面积是( )A. B55 655C. D855 455解析：选 C.设椭圆的右焦点为 E，由椭圆的定义知 FMN 的周长为L| MN| MF| NF| MN|(2 | ME|)(2 | NE|)因为| ME| NE| MN|，所以5 5|MN| ME| NE|0，当直线 MN 过点 E 时取等号，所以 L4 | MN| ME| NE|45，即直线 x a 过椭圆的右焦点 E 时， FMN 的周长最大，此时 S FMN |MN|EF|512 2 ，故选 C.12 245 85513(2018陕西部分学校一检)已知 P 为椭圆 1( a b0)上一点， F1， F2是x2a2 y2
13、b2其左、右焦点， F1PF2 取最大值时， cos F1PF2 ，则椭圆的离心13率为_解析：易知 F1PF2取最大值时，点 P 为椭圆 1 与 y 轴的交点，由余弦定理及x2a2 y2b2椭圆的定义得 2a2 4 c2，即 a c，所以椭圆的离心率 e .2a23 3 ca 33答案：33614(2018河南师大附中模拟)椭圆 C： 1( a b0)的左焦点为 F，若 F 关于x2a2 y2b2直线 x y0 的对称点 A 是椭圆 C 上的点，则椭圆 C 的离心率为_3解析：设 F为椭圆的右焦点，则 AF AF， AF F ， 3| AF| |AF|，| FF|2| AF|，因此椭圆 C
14、的离心率为 32c2a |FF |AF| |AF | 1.23 1 3答案： 1315已知 A(x0，0)， B(0， y0)两点分别在 x 轴和 y 轴上运动，且| AB|1，若动点P(x， y)满足 2 .OP OA 3OB (1)求动点 P 的轨迹 C 的标准方程；(2)直线 l： xt y1 与曲线 C 交于 A， B 两点，E(1，0)，试问：当 t 变化时，是否存在一条直线 l，使 ABE 的面积为 2 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理3由解：(1)因为 2 ，即( x， y)2( x0，0) (0， y0)(2 x0， y0)，所以OP OA 3OB 3 3x2
15、x0， y y0，所以 x0 x， y0 y，又| AB|1，所以 x y 1，即312 33 20 20 1，即 1，所以动点 P 的轨迹 C 的标准方程为 1.(12x)2 (33y)2 x24 y23 x24 y23(2)由方程组 得(3t 24) y26t y90，x ty 1，x24 y23 1， )设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 0，6t3t2 4 93t2 4所以| y1 y2| （ y1 y2） 2 4y1y2 .( 6t3t2 4)2 4( 93t2 4) 12t2 13t2 4因为直线 xt y1 过点 F(1，0)，所以 S A
16、BE |EF|y1 y2| 2 12 12 12t2 13t2 4，12t2 13t2 4令 2 ，则 t2 ，不成立，故不存在满足题意的直线 l.12t2 13t2 4 3 2316(2018湖北部分重点中学起点考试)已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率x2a2 y2b27为 ，左焦点为 F(1，0)，过点 D(0，2)且斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A， B 两点22(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)在 y 轴上，是否存在定点 E，使 恒为定值？若存在，求出 E 点的坐标和这个AE BE 定值；若不存在，说明理由解：(1)由已知可得 可得 a22， b21，ca 22，a2 b2
17、 c2，c 1， )所以椭圆 C 的标准方程为 y21.x22(2)设过点 D(0，2)且斜率为 k 的直线 l 的方程为 y kx2，由 消去 y 整理得(12 k2)x28 kx60，x22 y2 1，y kx 2， )设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ，8k1 2k2x1x2 .61 2k2又 y1y2( kx12)( kx22) k2x1x22 k(x1 x2)4 ， y1 y2( kx12)2k2 42k2 1( kx22) k(x1 x2)4 .42k2 1设存在点 E(0， m)，则 ( x1， m y1)， ( x2， m y2)，AE BE 所以
18、x1x2 m2 m(y1 y2) y1y2 m2 m AE BE 62k2 1 42k2 1 2k2 42k2 1.（ 2m2 2） k2 m2 4m 102k2 1要使 t(t 为常数)，AE BE 只需 t，（ 2m2 2） k2 m2 4m 102k2 1从而(2 m222t) k2 m24 m10t0，即 解得 m ，从而 t ，2m2 2 2t 0，m2 4m 10 t 0， ) 114 10516故存在定点 E ，使 恒为定值 .(0，114) AE BE 10516C 级 素养加强练817已知椭圆 1( a b0)的一个顶点为 B(0，4)，离心率 e ，直线 l 交椭x2a2
19、y2b2 55圆于 M， N 两点(1)若直线 l 的方程为 y x4，求弦 MN 的长；(2)如果 BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式解：(1)由已知得 b4，且 ，即 ，ca 55 c2a2 15 ，解得 a220，a2 b2a2 15椭圆方程为 1.x220 y216则 4x25 y280 与 y x4 联立，消去 y 得 9x240 x0， x10， x2 ，409所求弦长| MN| |x2 x1| .1 124029(2)设椭圆右焦点 F 的坐标为(2，0)，线段 MN 的中点为 Q(x0， y0)，由三角形重心的性质知 2 ，又 B(0，4)，(2，4)2( x02， y0)，故得BF FQ x03， y02，即得 Q 的坐标为(3，2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x1 x26， y1 y24，且 1， 1，以上两式相减得 0，（ x1 x2） （ x1 x2）20 （ y1 y2） （ y1 y2）16 kMN ，y1 y2x1 x2 45 x1 x2y1 y2 45 6 4 65故直线 MN 的方程为 y2 (x3)，65即 6x5 y280.9
