1、- 1 -哈尔滨市第六中学 2018-2019 学年度上学期期末考试高三文科数学第卷（选择题 共 60 分）相关公式：独立性检验有关数据：P(K2k 0)0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 , ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因 ,故 ,应选 C.考点：集合
2、的交集运算.2.复数 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意得 ，故选 A考点：复数的运算3.若非零向量 , 满足 ，则 与 的夹角为( )A. B. C. D. - 2 -【答案】C【解析】依题意有 ，由于两个向量的模相等，故上式化简得.4.已知 ，则 的值为（ ）A. B. 或 C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 ，先求出 ，然后代入 求解即可。【详解】由 ，可得 ， ，解得 ， ，所以 ， ，则 .故答案为 A.【点睛】本题考查了有关三角函数的求值计算，属于基础题。5.设 x,y 满足 ( )A. 有最小值 2，最大值 3 B. 有最小值 2，无最大值
3、C. 有最大值 3，无最小值 D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点 处取得最小值为,无最大值 .- 3 -考点：线性规划.【此处有视频，请去附件查看】6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 12【答案】C【解析】【分析】先由三视图还原该几何体，然后求出其表面积即可。【详解】由三视图可知，原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥（如下图） ，三棱柱的底面是边长为 2 的等边三角形，高为 2，三棱锥的底面为 ， ，可求出等腰三角形 的面积为 2，该几何体的表面积为=，故答案为 C.- 4 -【点睛】
4、本题考查了空间几何体的三视图问题，属于中档题。7.下面的程序框图表示求式子 的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可知该程序运行过程中， 时，判断框成立， 时，判断框不成立，即可选出答案。【详解】根据题意可知程序运行如下： ， ；判断框成立， ， ；判断框成立， ， ；判断框成立， ， ；判断框成立， ， ；判断框成立， ， ；- 5 -判断框成立， ， ；判断框不成立，输出 .只有 B 满足题意，故答案为 B.【点睛】本题考查了程序框图，属于基础题。8.若函数 同时满足下列三个性质: 最小正周期为 ; 图像关于直线 对称; 在区间 上
5、是增函数，则 的解析式可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】利用排除法，由条件排除 B，由条件排除 C，由条件排除 D，故选 A9.已知等比数列 满足 ，且 ，则当 时， ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由题中条件求出数列 的通项公式，然后代入对数式中计算即可。【详解】由题意，当 时， ，当 时， ，联立 ，解得， ，所以 ，则 ，所以 .故答案为 D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，及对数的运算法则，属于中档题。- 6 -10.若直线 与圆 相切，且 为锐角，则该直线的斜率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意知，圆心（
6、1，1）到直线 的距离为 1，用点到直线的距离公式计算即可求出 ，即可得到答案。【详解】由题意知，圆心（1，1）到直线 的距离为 1，则 ，所以 或者 ，当 时， ， =1，当 时，不可能成立，故舍去。故答案为 A.【点睛】本题考查了直线与圆相切的应用，属于基础题。11.若 是双曲线 和圆 的一个交点，且,，其中 是双曲线 的两个焦点，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由 ，可知圆 一定经过双曲线的两个焦点，可以求出 ，及 ， ，进而可以求出双曲线的离心率。【详解】因为 ，所以圆 一定经过双曲线的两个焦点，可知 ， ，- 7 -则 ， ， ，故双曲线的
7、离心率为： .故答案为 D.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，及双曲线的性质，属于基础题。12.定义域为 的函数 ，若关于 的方程 ,恰有 5 个不同的实数解 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合函数 的图象，及一元二次方程最多两个解，可知 是方程 的一个解，另外四个解两两关于直线 对称，可知 ，即可求出答案。【详解】一元二次方程最多两个解，当 时，方程 至多四个解，不满足题意，当 是方程 的一个解时，才有可能 5 个解，结合 图象性质，可知 ，即 .故答案为 C.【点睛】本题考查了一元二次方程解的情况，及含绝对值函数的图象性质，属于中档题。第卷（非选择题 共
8、 90 分）- 8 -二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13.已知 ，则数列 的通项公式为_【答案】【解析】【分析】根据 ，可知 ，进而知道 ，即可求出数列 的通项公式。【详解】由题意知， ，令 ，则 ，所以 ，即 ，所以.【点睛】本题考查了数列的通项公式及其求解方法，属于中档题。14.已知函数 的定义域为 ，若其值域也为 ，则称区间 为 的保值区间若的保值区间是 ，则 的值为_【答案】-1【解析】【分析】由题意知，函数 的定义域和值域都是 ，结合函数的单调性可知 的最小值为 ，即可得到答案。【详解】由题意知函数 的定义域和值域都是 ，因为函数 和函数 在区间 都是单调递增函数，所
9、以函数 在区间 是单调递增函数，则 的最小值为 ，所以当 时，满足题意，即 .【点睛】本题考查了函数的单调性及函数的值域，属于基础题。15.已知三棱锥 的三条侧棱 两两互相垂直，且 ,则该三棱锥的外接球的体积为_- 9 -【答案】【解析】【分析】由题意知该三棱锥的外接球与棱长为 的正方体的外接球相同，求解即可。【详解】由题意知，三棱锥 的外接球与棱长为 的正方体的外接球相同，故 ，解得 ，所以外接球的体积为 .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，关键在于转化为正方体的外接球问题，属于基础题。16.有如下四个命题：甲乙两组数据分别为甲：28,31,39,42,45,55,57,58,66；乙：
10、29,34,35,48,42,46,55,53,55,67.则甲乙的中位数分别为 45 和 44.相关系数 ，表明两个变量的相关性较弱.若由一个 2 2 列联表中的数据计算得 的观测值 ,那么有 95%的把握认为两个变量有关.用最小二乘法求出一组数据 的回归直线方程 后要进行残差分析，相应于数据 的残差是指 . 以上命题“错误”的序号是_【答案】【解析】【分析】利用中位数、相关系数、 的观测值、残差分析的相关知识逐个分析即可。【详解】由甲的数据可知它的中位数为 45，乙的中位数为 ，故正确；相关系数 时，两个变量有很强的相关性，故错误；由于 的观测值 ，满足 ，故有 95%的把握认为两个变量有
11、关，所以- 10 -正确；用最小二乘法求出一组数据 的回归直线方程 后要进行残差分析，相应于数据 的残差是指 ，是正确的。故答案为.【点睛】本题考查了中位数、相关系数、 的观测值、残差分析，属于基础题。三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17.在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ， （）求 的面积；（）若 ，求 的值【答案】 （1） （2） .【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式由已知可得 ；根据向量的数量积运算，由得 ，再由三角形面积公式去求 的面积 （2）由（1）知 ，又，解方程组可得 或 ，再由余弦定理去求 的值试题解析：（1）因为 ，所以又 ，所以 ，由 ，得
12、，所以故 的面积（2）由 ，且 得 或由余弦定理得 ，故考点：（1）二倍角公式及同角三角函数基本关系式；（2）余弦定理【此处有视频，请去附件查看】18.某校高三文科 名学生参加了 月份的高考模拟考试，学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况，从 名学生中抽取 名学生的成绩进行统计分析，抽出的 名学生的地理、历史成绩如下表：- 11 -地理 历史 80,100 60,80） 40,60）80,100 8 m 960,80） 9 n 940,60） 8 15 7若历史成绩在80,100区间的占 30%，（1）求 的值；（2）请根据上面抽出的 名学生地理、历史成绩，填写下面地理、历史成绩的频数分
13、布表：80,100 60,80） 40,60）地理历史根据频数分布表中的数据估计历史和地理的平均成绩及方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表） ，并估计哪个学科成绩更稳定.【答案】 （1） m=13， n=22；（2）地理学科的成绩更稳定.【解析】【分析】（1）历史成绩在80,100在区间占 30%，可以求出 m 的值，进而求出 n 的值；（2）由题中数据求出地理和历史的平均成绩及方差，从而得到地理学科成绩更稳定。【详解】 （1）由历史成绩在80,100区间的占 30%， ，得 ， . （2）可得：80,100 60,80） 40,60）地理 25 50 25- 12 -历史 30 40 3
14、0，从以上计算数据来看，地理学科的成绩更稳定.【点睛】本题考查了数据的平均数及方差的计算，属于基础题。19.如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D,E 分别是 AB，BB 1的中点.（）证明： BC 1/平面 A1CD;（）设 AA1= AC=CB=2，AB=2 ，求三棱锥 C 一 A1DE 的体积.【答案】 （）见解析（）【解析】试题分析：（）连接 AC1交 A1C 于点 F，则 DF 为三角形 ABC1的中位线，故 DFBC 1再根据直线和平面平行的判定定理证得 BC1平面 A1CD （）由题意可得此直三棱柱的底面 ABC为等腰直角三角形，由 D 为 AB 的中点可得 CD平面 ABB
15、1A1求得 CD 的值，利用勾股定理求得 A1D、DE 和 A1E 的值，可得 A1DDE进而求得 SA 1DE 的值，再根据三棱锥 C-A1DE 的体积- 13 -为 SA1DE CD，运算求得结果试题解析：（1）证明：连结 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1中点又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1DF 3 分因为 DF平面 A1CD，BC 1不包含于平面 A1CD， 4 分所以 BC1平面 A1CD 5 分（2）解：因为 ABCA 1B1C1是直三棱柱，所以 AA1CD由已知 AC=CB，D 为 AB 的中点，所以 CDAB又 AA1AB=A，于是 CD平面 ABB1
16、A1 8 分由 AA1=AC=CB=2， 得ACB=90， ， ， ，A 1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即 DEA 1D 10 分所以三菱锥 CA 1DE 的体积为： = =1 12 分考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【此处有视频，请去附件查看】20.设 、 分别是椭圆 的左、右焦点. （1）若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值与最小值.（2）是否存在过点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ，使得 ？若存在，求直线 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）最小值 3，最大值 4；（2）不存在【解析】试题分析：（1）将数量积转化为坐标表示，利用坐标的有界性求出最值
17、；（2）设出直线方程，根据|F 2C|F 2D|，可知 F2在弦 CD 的中垂线上，利用中点和斜率关系，写出中垂线方程，代入 F2点即可判断.或者根据焦半径公式判断更为简洁.- 14 -试题解析：（1）易知 a ，b2，c1，F 1（1，0） ，F 2（1，0）设 P（x，y） ，则（1x，y）（1x，y）x 2y 21x 24 x21 x23x 20，5，当 x0，即点 P 为椭圆短轴端点时， 有最小值 3；当 x ，即点 P 为椭圆长轴端点时， 有最大值 4.（2）法一、假设存在满足条件的直线 l，易知点 A（5，0）在椭圆外部，当直线斜率不存在时，直线 l 与椭圆无交点.所以满足条件的直
18、线斜率存在，设为 k则直线方程为 yk（x5）由方程组得：（5k 24）x 250k 2x125k 2200依题意，20（1680k 2）0得：当 时，设交点为 C（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，CD 中点为 R（x 0，y 0）则 x1x 2 ，x 0y 0k（x 05）k（ 5）- 15 -又|F 2C|F 2D|，有 F2Rl，即 1即 1即 20k220k 24，该等式不成立，所以满足条件的直线 l 不存在.法二、设交点为 C（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，设它们到右准线 x 的距离分别为 d1、d 2，根据椭圆第二定义，有因为|F 2C|F 2D|，故 d
19、1d 2，于是 x1x 2，于是 CD 所在直线 lx 轴又直线 l 经过 A（5，0）点，于是 l 的方程为 x5但 x5 与椭圆无公共点，所以，满足条件的直线不存在.考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积，最值，存在性问题21.设函数 ，已知曲线 在点 处的切线与直 垂直.（1）求 的值；（2）求函数 的极值点 .【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】【分析】（1）对函数 求导，由曲线 在点 处的切线与直 垂直，可知 ，即可求出 ；（2）求导，然后分类讨论，确定单调性，进而可以求出极值点。【详解】 （1）由题意知， ， ，解得 .（2）函数 ，定义域为 ，- 16
20、 -则 ，令 ， ，则 ，当 时， ，有 ，即 ，所以 在区间 上单调递减，故函数 在区间 上无极值点；当 时， ，令 ，有 ， ， ，当 时， ，即 ，得 在 上递减，当 时， ，即 ，得 在 上递增，当 时， ，即 ，得 在 上递减，此时 有一个极小值点为 ，有一个极大值点为 .当 时， ，令 ，有 ， ，当 时， ，即 ，得 在 上递增，当 时， ，即 ，得 在 上递减，此时 有唯一的极大值点为 .综上可知，当 时，函数 有一个极小值点为 ，有一个极大值点为；当 时，函数 在区间 上无极值点；当 时，函数 有唯一的极大值点为 ，无极小值点 .【点睛】本题考查了利用导数研究函数在某点处的切
21、线，及导数的综合应用，属于难题。- 17 -请考生在题 22,23 中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分做题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22.选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 过点 ，倾斜角为 （1）写出直线 的参数方程，及当 时，直线 的极坐标方程 .（2）已知从极点 作直线 与直线 相交于点 ，在 上取一点 ，使 ，求点的极坐标方程.【答案】 （1） （ 为参数） ， ： ；（2） （ ）.【解析】【分析】（1）直线 过点 ，倾斜角为 ，可以直接写出参数方程，当 时，方程为 ，直接写出极坐标方程即
22、可；（2）设点 ， ，由 ，可知 （ ） ，由 点满足 ，可得 （ ）.【详解】 （1）由题意得， （ 为参数） ， （ 为参数） 的极坐标方程为 ；（2）设点 ， ， ， ， ，由于 可知（ ） ，故 的极坐标方程为 （ ）.【点睛】本题考查了直线的参数方程、极坐标方程，考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，及求轨迹的方法，属于中档题。23.选修 45：不等式选讲已知函数（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若 |的解集包含 ，求 的取值范围.【答案】 （1） 或 ;（2） .- 18 -【解析】试题分析：（1）当 a=-3 时， 根据分段函数的特点，即可求出 f（x）3的解集；（2）f（x
23、）|x-4|x-4|-|x-2|x+a|当 x1,2时，|x-4|-|x-2|x+a|-2-ax2-a,可求出满足条件的 a 的取值范围试题解析：（1）当 a=-3 时，当 x2 时，由 f（x）3 得-2x+53,解得：x1当 2x3 时，f（x）3 无解；当 x3 时，由 f（x）3 得 2x-53，解得 x4；所以 f（x）3 的解集为x|x1x|x4 5 分（2）f（x）|x-4|x-4|-|x-2|x+a|当 x1,2时，|x-4|-|x-2|x+a|（4-x）-（2-x）|x+a| -2-ax2-a由条件得：-2-a1 且 2-a2,即-3a0故满足条件的 a 的取值范围为-3，0 10 分考点：绝对值函数- 19 -
