1、专题8 解析几何,第1讲 基础小题部分,考情考向分析 1考查直线与圆的方程及位置关系 2考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率) 3利用直线与圆锥曲线的位置关系，求弦长、三角形面积及参数,考点一 直线与圆 1(弦长问题)(2018高考全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.解析：由x2y22y30，得x2(y1)24.圆心C(0，1)，半径r2.,又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0,1)，从而n4.故圆C的标准方程为x2(y1)24.答案：x2(y1)24,3(与圆有关的最值)(2018桂林中学模拟)已知从圆C：(x1)2(y2)22外一点P(x1，y1
2、)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为_解析：如图所示，连接CM，CP.,即2x14y130. 要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可 当PO垂直于直线2x4y30时， 即PO所在直线的方程为2xy0时，|PM|的值最小，此时点P为两直线的交点，,解析：法一：由题意，设直线l的方程为xmy1(m0)，与x2y25联立，消去x并整理可得(m21)y22my40.,联立，可得m21， 又点A在第一象限，所以y10，则m1， 所以直线l的方程为xy10.,法二：由题意，设直线l的方程为xmy1(m0)，又点A在第一象限，所以m1，
3、故直线l的方程为xy10. 答案：xy10,1两直线平行、垂直的条件(1)若直线l1，l2的斜率存在，且直线方程为l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则直线l1l2的充要条件是k1k21.l1l2k1k2，且b1b2.(2)若直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20，l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10.(3)与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAym0.与之平行的直线系方程为AxByn0.,2过一点求圆的切线方程的方法(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线的方程的求法(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线的方程的求法当切线斜率存
4、在时，设切线斜率为k，切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程当切线斜率不存在时要加以验证,3判断直线与圆的位置关系的方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断：dr相离(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断(4)过C1：x2y2D1xE1yF10与C2：x2y2D2xE2yF20，交点的直线方程为：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.,考点二 圆锥曲线方程与性质 1(求曲线方程)(2018南通四模)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为yx，且它的一个焦点与抛物线x28y的
5、焦点重合，则该双曲线的方程为_解析：由题意知，抛物线x28y的焦点坐标为(0,2)，,解析：如图所示，设椭圆的右焦点为F，连接MF， NF. 因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|， 所以当直线xm过椭圆的右焦点时，FMN的周长最大答案：C,解析：如图，作PBx轴于点B. 由题意可设|F1F2|PF2|2，则c1， 由F1F2P120， 可得|PB|，|BF2|1， 故|AB|a11a2，答案：D,4(离心率)(2018高考全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为 ( ),答案：D,1求圆锥曲线方程待定系数法：(1)椭圆
6、与双曲线的统一方程为mx2ny21，当m0，n0且mn时表示椭圆；当mn0时表示双曲线(2)抛物线方程统一为x2ay或y2ax.,2椭圆、双曲线的焦点三角形(1)椭圆的焦点三角形的几何性质,(2)双曲线的焦点三角形的几何性质双曲线的焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点当点P在双曲线左支上 时，切点为左顶点，当点P在双曲线右支上时，切点为右顶点,考点三 直线与圆锥曲线位置关系A5 B6C7 D8,答案：D,2(焦点弦)(2018银川模拟)如图所示，抛物线y24x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|AC|，过点C，D分别作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|E
7、G|的最小值为_,解析：设直线AB的方程为xmy1，与y24x联立并消去x，可得y24my40. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y10， 则y1y24m，y1y24，故|EG|的最小值为4. 答案：4,3(中点弦)在椭圆x24y216中，过点M(2,1)且被这一点平分的弦所在的直线方程为_解析：法一：如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M(2,1)显然不可能为这条弦的中点故可设弦所在的直线方程为yk(x2)1，与x24y216联立并消去y，得(14k2)x2(16k28k)x16k216k120.16(12k24k3)0恒成立，,法二：设弦的两个端点分别为P(x1，y
8、1)，Q(x2，y2)， 则x1x24，y1y22. 因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上，答案：x2y40,1焦点弦问题(2)过y22px的焦点的弦，|AB|x1x2p.当ABx轴时，|AB|2p.,2一般弦长设直线l与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2),1错用两直线平行、垂直的条件 典例1 (1)已知直线l1：ax(a2)y10，l2：xay20，其中aR，则“a3”是“l1l2”的 ( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)若直线ax2y60与x(a1)ya210平行，则a_.,解析 (1)若l1l2，则aa(a2)0， 即a(a
9、3)0，解得a0或a3， 所以“a3”是“l1l2”的充分不必要条件故选A. (2)由两直线平行，知a2a20，且a(a21)6，(勿遗漏“A1C2A2C1”) 解得a1. 答案 (1)A (2)1,易错防范 (1)两条直线垂直，斜率互为负倒数；两条直线平行，斜率相等这是在两条直线的斜率都存在的前提下才成立的，直接运用往往会出现差错，若运用此结论，则应先判断斜率是否存在，再根据斜率的关系列式计算 (2)设两直线的方程分别为A1xB1yC10(A1，B1不同时为0)，A2xB2yC20 (A2，B2不同时为0)，则两条直线平行的充要条件是A1B2A2B1，且A1C2A2C1或B1C2B2C1，两
10、条直线垂直的充要条件是A1A2B1B20，利用充要条件列式计算可以避免错误,2对直线和圆的位置关系理解不透彻致误 典例2 已知直线l：mxy2m10，圆C：x2y22x4y0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m_.解析 由题意知，直线l过定点(2,1)，设A(2,1)，圆C：(x1)2(y2)25，圆心为C(1,2)答案 1易错防范 注意过圆内一点作直线，该直线与圆一定相交，且所截得的弦中最长的弦为过该点的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦这是求解直线与圆的位置关系问题时常用的结论，一定要掌握,3混淆椭圆和双曲线中a，b，c的关系,解析 由题意可知AB是通径，根据双曲线的对称性和AO
11、BOAB，可知 AOB为等边三角形，答案 C,(2)此类题容易混淆a，b，c的关系，要清楚地认识到在双曲线中ac，c2a2b2.,4求与抛物线有关的问题时缺乏转化思想 典例4 已知抛物线x24y的焦点为F，准线为l，抛物线的对称轴与准线交于点Q，P为抛物线上的动点，|PF|m|PQ|，当m最小时，点P恰好在以F，Q为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为 ( )解析 由题意知，F(0,1)，Q(0，1)，且当m最小时，点P不在原点过点P作PM垂直于准线(图略)，则|PM|PF|.(利用抛物线的定义进行转化),将Q(0，1)代入直线方程，解得x02，故P(2,1)，(利用导数的几何意义求得 直线方程，进
12、而求点P的坐标)答案 D,5求圆锥曲线方程时忽视焦点的位置致误 典例5 已知圆O：x2y29，A(0,2)，P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是_解析 设线段AP的中点为M，N为切点，连接OM，MN(图略)，则|OM|MN|ON|3.取A关于x轴的对称点A1，连接A1P(图略)，则|A1P|AP|2(|OM|MN|)6，又|AA1|46，所以点P的轨迹是以A(0,2)，A1(0，2)为焦点的椭圆，且a3，c2，b2a2c25，(利用椭圆的定义判定轨迹是椭圆),易错防范 本题易忽视椭圆的焦点在y轴上，从而写错轨迹方程注意不管是用待定系数法还是定义法求圆锥曲线的方程，都要明确焦点的位置另外，要正确运用a，b，c之间的等量关系式，否则会产生错解,
