1、- 1 -福建省厦门市湖滨中学 2018-2019 学年高一数学 3 月月考试题注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1在 中， ，则 等于（ ）A B C3 D2在 中， ， ， 分别是三个内角 、 、 的对边， ， ， ，则 （ ）A B 或 C D 或3已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则该数列的公差为( )A-2 B2 C-3 D34已知数列 的通项 ，则其前 项和 取得最大值时的 值为（ ）A1 B7 或 8 C8 D75若三个实数 a，b，c 成等比数列，其中 ， ，则 b（ ）A2 B2 C
2、2 D46数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 等于（ ）A B C D7在 中， ， ， ，则 A4 B2 C4 或 2 D8如图，一座建筑物 AB 的高为 (3010 )m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD在它们之间的地面上点 M(B， M， D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15和 60，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30，则通信塔 CD 的高为 () - 2 -A30 m B60 m C30 m D40 m9在等差数列 中， ，则数列 的前 9 项和 等于 A126 B130 C147 D21010 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它
3、对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的， “九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第 个儿子的年龄为 ，则 ( )A23 B32 C35 D3811若一个等差数列的第二项为 5，最后 4 项的和为 48，且所有项的和为 63，则这个数列有（ ）A5 项 B6 项 C7 项 D8 项12在 中，角 的对边分别为 ， .则 的最大值为( )A1 B2 C D- 3 -二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13若
4、的三边长为 2， 3，4，则 的最大角的余弦值为 _14在等差数列 中，已知 ，则 _.15 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则 _16在数列 中， ， ，则数列 的通项 _三、解答题（共 70 分）17（10 分） 在 中，角 所对的边分别为 .已知 .（1）求 的值；（2）求 的面积 .18（12 分） 已知等差数列 满足 （1） 求 的通项公式；（2） 设等比数列 满足 ,求 的前 项和 19（12 分） 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 已知 （1）求角 C 的大小（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长- 4 -20（12 分） 已知数列 是等比数列，公比 ，若 ，
5、 .（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和.21（12 分） 如右图，某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75，距离为 nmile，在 A处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30，距离为 n mile，货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在北偏东 120，求：(1)A 处与 D 处的距离；(2)灯塔 C 与 D 处的距离22（12 分） 数列 的前 项和为 ，满足 ，等比数列 满足 . （1）求数列 的通项公式；- 5 -（2）若 ，求数列 的前 项和 .- 6 -湖滨中学高一月考数学参考答案1D【解析】【分析】根据已知条件，利用正弦定理列方程，解方程求得 的值
6、.【详解】由正弦定理得 ，即 ，解得 .【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.题目是已知两角以及其中一角的对边，常用的是利用正弦定理来解三角形.如果已知条件是两边以及它们的夹角，则考虑用余弦定理来解三角形.如果已知条件是三边，则考虑用余弦定理来解三角形.如果已知两边以及一边的对角，则考虑用正弦定理来解三角形，此时要注意解的个数.2D【解析】【分析】利用正弦定理列方程，解方程求得 的值，根据特殊角的三角函数值求得 的大小.【详解】由正弦定理得 ，解得 ，故 或 ，所以选 D.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.3B【解析】【分析】利用
7、等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】由题意可得： 5 d25，解得 d2- 7 -故选： B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4D【解析】【分析】求出使 的 的最大值即可求解。【详解】由 得 ，解得 ，又 ， 时 ，当 时， ；则前 项和 取得最大值时 .故选 D.【点睛】本题主要考查了等差数列的单调性，还考查了转化思想，属于基础题。5C【解析】【分析】由实数 a，b，c 成等比数列，得 ,从而得解.【详解】由实数 a，b，c 成等比数列，得 .所以 .故选 C.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本性质，属于基础题.6D【解析】【分析】
8、- 8 -根据已知条件得到数列 是等比数列，并且得到首项和公比，根据等比数列前 项和公式求得 .【详解】由 可知数列为等比数列，且公比为 ，首项为 ，故 .所以选 D.【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前 项和公式，属于基础题.7C【解析】【分析】利用余弦定理，建立等式，解方程，计算长度，即可。【详解】利用余弦定理可知 ，而 ，代入可得 ，故选C。【点睛】考查了余弦定理，关键利用余弦定理，建立方程，计算，即可，难度中等。8B【解析】【分析】由题意结合直角三角形的性质和正弦定理求解塔的高度即可.【详解】作 AE CD，垂足为 E，则：在 AMC 中， AM= =20 ， AMC=
9、105， ACM=30， ， AC=60+20 ， CD=30-10 +AC =60m.本题选择 B 选项.- 9 -【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.9A【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质和等差数列前 n 项和公式求解 S9即可.【详解】在等差数列 中， ，解得 ，数列 的前 9 项和：故选： A【点睛】本题主要考查等差数列的性质，
10、等差数列前 n 项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10C【解析】【分析】由题意可得儿子的岁数成等差数列，其中公差 ， ，根据等差数列的前 项和公式即可得结果.【详解】由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为 ，其中公差 ， ，- 10 -即 ，解得 ，故选 C.【点睛】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用11C【解析】【分析】设该等差数列为a n，前 n 项和为 Sn，由题意可得 a2=5，a n+an-1+an-2+ an-3=48，结合等差数列的性质可得 Sn= an+an-1+an-2+ an-3+
11、a3+a2+a1=63，进而得到答案.【详解】设该等差数列为a n，前 n 项和为 Sn，由题意可得 a2=5，a n+an-1+an-2+ an-3=48， a 1+a3=2a2=10, a 1+a3+a2=15 S n= a1+a2+ a3+an= an+an-1+an-2+ an-3+ a3+a2+a1=48+15=63 ，当 n=7 时满足题意，故选 C【点睛】解决等差数列问题时，一般要先对已知条件进行分析，通过等差数列的性质进行转化，结合定义和公式，进而求解。12A【解析】【分析】根据题干得到 B= ，原式 ，根据角 A 的范围得到最值即可.【详解】角 的对边分别为 ， ，变形为：根
12、据余弦定理 ，故角 B= ., 因为 故最大值为：1.- 11 -故答案为：A.【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.13【解析】【分析】直接利用三角形的三边关系式和余弦定理求出结果【详解】解：根据大边对大角得到：设 ， ， ，所以： 故答案为： 【点睛】本题考查的知识要点：三角形的三边关系式及余弦定理的应用14【解析】【分析】整理得： ，利用 即可求解。【详解】，又
13、。【点睛】本题主要考查了等差数列的前 项和公式及等差数列的通项公式，属于基础题。- 12 -15【解析】【分析】利用切化弦和正弦定理化 为 整理即可求解.【详解】原式可化为： ，去分母移项得： ，所以 ，因为 不为 0，所以 ，所以 .【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦定理，熟记切化弦和正弦定理，准确计算是关键，是基础题.16【解析】【分析】根据递推公式，结合累加法，可求得通项公式。【详解】由题意可得：利用累加法得： ，又 ，于是： 故答案为： 【点睛】本题考查了递推公式与累加法的应用，属于基础题。17 （1） ；（2） .【解析】- 13 -【分析】（1）由 a，c 及 cosB 的值，利用
14、余弦定理即可求出 b 的值；（2）利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的面积【详解】（1） ，由余弦定理可得,（2） .【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键18 （1） （2）【解析】【分析】（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为 的形式，列方程组，解方程组可求得 的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得 的值，根据基本元的思想， ，将其转化为 的形式，由此求得 的值，根据等比数列前 项和公式求得数列 的前 项和.【详解】解：（1）设 的公差为 ，则由 得 ,故 的通项公式 ，即 （2）由（1）得 设 的
15、公比为 ，则 ，从而 ，故 的前 项和 【点睛】- 14 -本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.19 （） （） . 【解析】【分析】（）利用正弦定理化简已知等式可得 值，结合范围 ，即可得解 的值（）利用正弦定理及面积公式可得 ，再利用余弦定理化简可得 值，联立得 从而解得 周长【详解】（）由正弦定理 ，得，在 中，因为 ，所以故 ， 又因为 0 C ，所以 （）由已知，得 .又 ，所以 . 由已知及余弦定理，得 ， 所以 ，从而 .即 又 ，所以 的周长为 .【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题20
16、（1） ；（2） .【解析】【分析】（1）利用已知条件建立方程组，求出数列的首项和公比，进一步求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用等差数列的前 n 项和公式求出结果【详解】- 15 -（1）由已知得 则 或 （舍去）.所以 .（2）因为 .所以数列 是首项为 2，公差为-1 的等差数列.设数列 的前 项和为 ,所以 .【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前 n 项和公式的应用，属于基础题21(1) , (2) 【解析】【分析】（1）结合等比中项性质和等差数列的性质，代入，计算首项，计算通项，即可。 （2）分类讨论，计算 的和，即可。【详解】（1）由题意 成等
17、比数列可知：从而 ，且解得所以 （2）由 ，知：当 时 ；当 时 ；- 16 -当 时 所以：当 时， 当 时，【点睛】本道题考查了等差数列通项公式，考查了等差数列前 n 项和公式，关键求和分类讨论，难度中等。22(1) ；(2) .【解析】分析：（1）由题意可得 ， ，则 ；（2）由题意可得 ，由正弦定理有 ，记，结合三角函数的性质可得 时， 取最大， 最短，则此时 .详解：（1）由图得： ，又 ， ；（2）由图得： 且 ， ，在 中，由正弦定理可得: ， ，记，- 17 -又 ， ， 时， 取最大， 最短，则此时 .点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
