1、第2讲 整式运算及因式分解,考点一,考点二,考点三,考点一代数式 1.概念 用基本运算符号 (基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式,单独的一个数或一个字母是 (填“是”或“不是”)代数式. 注意:代数式中不含等号、不等号. 2.列代数式 把问题中与数量有关的词语,用含有字母、数字和运算符号的式子表示出来. 3.代数式求值 用数值代替代数式里的字母 ,按照代数式中的运算关系计算得出结果,叫做代数式的值.,考点一,考点二,考点三,4.整式的相关概念 (1)单项式:用数或字母的积 表示的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数
2、 叫做这个单项式的系数,一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 . (2)多项式:几个单项式的和 叫做多项式.其中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项 .多项式里,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数. (3)整式:单项式和多项式统称为整式.,考点一,考点二,考点三,考点二整式的运算(高频) 1.整式的加减 (1)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数 也相同的单项式叫做同类项,常数项是 (填“是”或“不是”)同类项. (2)合并同类项法则:几个同类项相加,把它们的系数 相加,所得的结果作为系数,字母和字母的次数都不变 . (3)去括号法则:a+(b-c)=a+
3、b-c ;a-(b-c)=a-b+c .(口诀:“+”不变,“-”变) (4)整式加减运算可归纳为:先去括号,再合并同类项.,考点一,考点二,考点三,2.幂的运算(m,n,p为正整数),考点一,考点二,考点三,3.整式乘法运算,考点一,考点二,考点三,4.整式除法运算,考点一,考点二,考点三,考点三因式分解(高频) 1.概念 把一个多项式化为几个整式的积 的形式,叫做因式分解.注意:(1)因式分解的结果一定要分解到每个因式不能再分解为止;(2)能提取公因式的一定要提取公因式,特别是数字因式时不能忽略;(3)结果一定是积的形式. 2.方法 (1)提公因式法 ma+mb=m(a+b) . 公因式的
4、确定. 系数:取各项系数的最大公约数; 字母:取各项相同的字母; 指数:取各相同字母的最低次幂.,考点一,考点二,考点三,(2)公式法3.一般步骤 一提:如果多项式各项有公因式,应先提取公因式. 二套:如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法来分解因式.当多项式为两项时,考虑用平方差公式,当多项式为三项时,考虑用完全平方公式. 三检查:检查因式分解是否彻底,是不是分解到每一个多项式都不能再分解为止.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点1 代数式 1.(2014安徽,7,4分)已知x2-2x-3=0,则2x2-4x的值为( B ) A.-6 B.6 C.-2或6 D.-2或30,解析 x2-2x
5、-3=0,2(x2-2x-3)=0, 即2(x2-2x)-6=0.2x2-4x=6.故选B.,命题点1,命题点2,命题点3,2.(2012安徽,5,4分)某企业今年3月份的产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是( B ) A.(a-10%)(a+15%)万元 B.a(1-10%)(1+15%)万元 C.(a-10%+15%)万元 D.a(1-10%+15%)万元,解析 根据4月份比3月份减少10%,可得4月份的产值是a(1-10%)万元,5月份比4月份增加15%,可得5月份的产值是a(1-10%)(1+15%)万元,故选B.,命题点1,命题点2,
6、命题点3,命题点2 整式运算,3.(2018安徽,3,4分)下列运算正确的是( D ) A.(a2)3=a5 B.a2a4=a8 C.a6a3=a2 D.(ab)3=a3b3,解析:(a2)3=a6,A不符合题意; a2a4=a6,选项B不符合题意; a6a3=a3,C不符合题意; (ab)3=a3b3,D符合题意.故选D.,4.(2017安徽,2,4分)计算(-a3)2的结果是( A ) A.a6 B.-a6 C.-a5 D.a5,命题点1,命题点2,命题点3,5.(2016安徽,2,4分)计算a10a2(a0)的结果是 ( C ) A.a5 B.a-5 C.a8 D.a-8,6.(2014
7、安徽,2,4分)x2x3=( A ) A.x5 B.x6 C.x8 D.x9,解析 根据同底数幂相除的性质,当a0时,a10a2=1010-2=a8,故选C.,解析 x2x3=x2+3=x5.故选A.,命题点1,命题点2,命题点3,7.(2013安徽,4,4分)下列运算正确的是( B ) A.2x+3y=5xy B.5m2m3=5m5 C.(a-b)2=a2-b2 D.m2m3=m6,8.(2012安徽,3,4分)计算 的结果是( B ) A.-2x5 B.-8x6 C.-2x6 D.-8x5,解析 A.2x+3y无法计算,故此选项错误;B.5m2m3=5m5,故此选项正确;C.(a-b)2=
8、a2-2ab+b2,故此选项错误;D.m2m3=m5,故此选项错误.,解析 =(-2)3(x2)3=-8x6,故选B.,9.(2012安徽,15,8分)计算:(a+3)(a-1)+a(a-2). 解:原式=a2-a+3a-3+a2-2a=2a2-3.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点3 因式分解,10.(2018安徽,5,4分)下列分解因式正确的是( C ) A.-x2+4x=-x(x+4) B.x2+xy+x=x(x+y) C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2 D.x2-4x+4=(x+2)(x-2),11.(2017安徽,12,5分)因式分解:a2b-4ab+4b=b(a-2)
9、2 .,13.(2012安徽,4,4分)下面的多项式中,能因式分解的是( D ) A.m2+n B.m2-m+1 C.m2-n D.m2-2m+1,12.(2014安徽,4,4分)下列四个多项式中,能因式分解的是( B ) A.a2+1 B.a2-6a+9 C.x2+5y D.x2-5y,命题点1,命题点2,命题点3,14.(2016安徽,12,5分)因式分解:a3-a=a(a+1)(a-1) .,解析 a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1).,15.(2013安徽,12,5分)因式分解:x2y-y=y(x+1)(x-1) .,解析 x2y-y=y(x2-1)=y(x+1)(x-1)
10、.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法1列代数式 例1(2016海南)某企业去年的年产值为a万元,今年比去年增长10%,则今年的年产值是 万元. 答案 1.1a 解析 去年的年产值为a万元,今年比去年增长10%,所以今年的年产值是a(1+10%)=1.1a(万元). 方法总结在增长率问题中,若增长率用x表示,则在a的基础上一次增长后可用a(1+x)表示,而连续两次增长后可用代数式a(1+x)2;若降低的百分率为x,则在a的基础上连续两次降低后得到的结果可用代数式a(1-x)2表示.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,对应练1(2017山西)某商店经销一种品牌的洗衣机,其中某一型
11、号的洗衣机每台进价为a元,商店将进价提高20%后作为零售价进行销售,一段时间后,商店又以9折优惠价促销,这时该型号洗衣机的零售价为1.08a 元.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,对应练2(2018湖北随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1,3,6,10)和“正方形数”(如1,4,9,16),在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m+n的值为( C )A.33 B.301 C.386 D.571,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,解析:“三角形数”图形中,第1个图形有1个点,第2个图形有1+2=3个点,第3个图形有
12、1+2+3=6个点,第4个图形有1+2+3+4=10个点,14,于是最大的“正方形数”n=142=196,则m+n的值为190+196=386.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法2求代数式的值,例2(2017四川内江)若实数x满足x2-2x-1=0,则2x3-7x2+4x-2 017= . 答案:-2 020 解析:由x2-2x-1=0,得x2=2x+1,把x2=2x+1代入2x3-7x2+4x-2 017, 得2x3-7x2+4x-2 017=2x(2x+1)-7(2x+1)+4x-2 017 =4x2+2x-14x-7+4x-2 017=4(2x+1)-8x-2 024=-2
13、020.,方法总结求代数式的值的问题,我们可以把代数式中的字母的值直接代入求解,通常的做法是如果代数式能分解因式,那么分解因式后进行化简,然后求值.也可以把要求的代数式进行变形,整体代入求解.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,对应练3(2018重庆A卷)按如图所示的运算程序,能使输出的结果为12的是( C )A.x=3,y=3 B.x=-4,y=-2 C.x=2,y=4 D.x=4,y=2,解析:当x=3,y=3时,输出的值为15;当x=-4,y=-2时,输出的值为20;当x=2,y=4时,输出的值为12;当x=4,y=2时,输出的值为20,故选C.,考法1,考法2,考法3,考法4,考
14、法5,对应练4(2017江苏南通)已知当x=m时,多项式x2+2x+n2的值为-1,则当x=-m时,该多项式的值为3 .,对应练5(2018湖南长沙)先化简,再求值:(a+b)2+b(a-b)-4ab,其中a=2,b=_.,解析:当x=m时,m2+2m+n2=-1,则(m+1)2+n2=0,所以m+1=0,n=0. 所以m=-1,n=0.所以当x=-m=1时,x2+2x+n2=3.,解:原式=a2+2ab+b2+ab-b2-4ab=a2-ab,当a=2,b=- 时,原式=4+1=5.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法3幂的运算,例3(2018黑龙江齐齐哈尔)下列计算正确的是( )
15、A.a2a3=a6 B.(a2)2=a4 C.a8a4=a2 D.(ab)3=ab3 答案:B 解析:选项A,根据同底数幂的乘法可知,a2a3=a2+3=a5,此选项错误;选项B,根据幂的乘方可知,(a2)2=a22=a4,故此选项正确;选项C,根据同底数幂的除法可知,a8a4=a8-4=a4,故此选项错误;选项D,根据积的乘方可知,(ab)3=a3b3,故此选项错误.故选B.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,方法总结(1)此类问题容易出错的地方是不会判别什么是同类项;错将幂的乘方运算与同底数幂的乘法运算的法则相混淆;没有理解幂的乘方运算的意义.(2)对于幂的有关运算,关键掌握其运算法
16、则.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,对应练6(2010安徽)计算(2x)3x的结果正确的是( A ) A.8x2 B.6x2 C.8x3 D.6x3,对应练7(2018湖北恩施)下列计算正确的是( B ) A.a4+a5=a9 B.(2a2b3)2=4a4b6 C.-2a(a+3)=-2a2+6a D.(2a-b)2=4a2-b2,解析:本题主要考查积的乘方的性质,单项式的除法,熟练掌握运算性质是解题的关键.(2x)3x=8x3x=8x2.故选A.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法4整式的运算,例4(2017海南)计算:(x+1)2+x(x-2)-(x+1)(x-1).
17、解:原式=x2+2x+1+x2-2x-(x2-1) =x2+2x+1+x2-2x-x2+1=x2+2. 方法总结本题考查了整式运算,熟悉平方差公式、单项式乘多项式的法则、合并同类项法则是解题的关键.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,对应练8(2018湖北武汉)计算(a-2)(a+3)的结果是( B ) A.a2-6 B.a2+a-6 C.a2+6 D.a2-a+6,对应练9(2018江苏镇江)化简:(a+1)2-a(a+1)-1. 解:原式=a2+2a+1-a2-a-1=a.,解析:(a-2)(a+3)=a2+3a-2a-6=a2+a-6.故选B.,对应练10(2018湖南邵阳)先化简
18、,再求值:(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中a=-2,b= . 解:原式=a2-4b2-(a2-4ab+4b2)+8b2=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2=4ab.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法5因式分解,例5(2017湖北黄冈)分解因式:mn2-2mn+m= . 答案:m(n-1)2 解析:先提取公因式m,再利用完全平方公式进行因式分解.mn2-2mn+m=m(n2-2n+1)=m(n-1)2. 方法总结因式分解在初中范围内主要有两种方法,一是提取公因式法,二是运用公式法(即运用平方差公式或完全平方公式).在进行分解因式的时候,首先看能否提取公因式,然后看能否运用公式.切记:因式分解要进行到每个因式都不能再分解为止.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,对应练11(2018湖南邵阳)将多项式x-x3因式分解正确的是( D ) A.x(x2-1) B.x(1-x2) C.x(x+1)(x-1) D.x(1+x)(1-x),对应练12(2018青海)分解因式:x3y-4xy=xy(x+2)(x-2) .,对应练13(2009安徽)因式分解:a2-b2-2b-1=(a+b+1)(a-b-1) .,解析:本题主要考查用分组分解法分解因式.a2-b2-2b-1=a2-(b2+2b+1)=a2-(b+1)2=(a+b+1)(a-b-1).,
