1、- 1 -三角形的中位线一课一练基础闯关题组 三角形的中位线定理及其应用1.如图,在 RtABC 中,A=30,BC=1,点 D,E 分别是直角边 BC,AC 的中点,则 DE 的长为 ( )A.1 B.2 C. D.1+3 3【解析】选 A.在 RtABC 中,C=90,A=30,AB=2BC=2.又点 D,E 分别是 BC,AC 的中点,DE 是ACB 的中位线,DE= AB=1.122.(2017营口中考)如图,在ABC 中,AB=AC,E,F 分别是 BC,AC 的中点,以 AC 为斜边作 RtADC,若CAD=CAB=45,则下列结论不正确的是 ( )世纪金榜导学号 10164150
2、A.ECD=112.5 B.DE 平分FDC C.DEC=30 D.AB= CD2【解析】选 C.AB=AC,CAB=45,B=ACB=67.5.- 2 -在 RtADC 中,CAD=45,ADC=90,ACD=45,AD=DC,ECD=ACB+ACD=112.5,故 A 正确,不符合题意;E,F 分别是 BC,AC 的中点,FE= AB,FEAB,12EFC=BAC=45,FEC=B=67.5.F 是 AC 的中点,ADC=90,AD=DC,FD= AC,DFAC,FDC=45,12AB=AC,FE=FD,FDE=FED= (180-EFD)= (180-135)=22.5,12 12FDE
3、= FDC,12DE 平分FDC,故 B 正确,不符合题意;FEC=B=67.5,FED=22.5,DEC=FEC-FED=45,故 C 错误,符合题意;在 RtADC 中,ADC=90,AD=DC,AC= CD,2AB=AC,AB= CD,故 D 正确,不符合题意.23.如图,在ABC 中,D,E 分别是 BC,AC 的中点,BF 平分ABC,交 DE 于点 F,若 BC=6,则 DF 的长是_.- 3 -【解析】D,E 分别是 BC,AC 的中点,DE 是ABC 的中位线,DEAB,ABF=BFD,BF 平分ABC,ABF=CBF,CBF=BFD,DF=BD,D 是 BC 的中点,BC=6
4、,BD= BC= 6=3,12 12DF=3.答案:34.如图,若ABC 的周长为 1,它的 3 条中位线组成一个新的三角形,记作A 1B1C1,A 1B1C1的 3 条中位线又组成一个新的三角形,记作A 2B2C2(如图所示),以此类推,则A 2017B2017C2017的周长是_.【解析】B 1C1,A1C1,A1B1是ABC 的 3 条中位线,B 1C1= BC,A1C1= AC,A1B1= AB,12 12 12- 4 -A 1B1C1的周长= ,12同理A 2B2C2的周长= ,(12)2以此类推,A 2017B2017C2017的周长为 .(12)2 017答案: (12)2 01
5、75.如图,ABC 的中位线 DE=5cm,把ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在边 BC 上的点 F 处,若 A,F 两点间的距离是8cm,则ABC 的面积为_cm 2.世纪金榜导学号 10164151【解析】因为 DE 是ABC 的中位线,所以 DEBC,DE= BC.12因为 DE=5cm,所以 BC=10cm.连接 AF,由折叠的性质可得:AFDE,AFBC,点 A 到 BC 的距离为 8cm,所以ABC 的面积为:1082=40(cm 2).答案:406.已知:如图,ABC 中,AD 平分BAC,BDAD 于点 D,点 E 为 BC 边的中点,AB=8,AC=12,则 DE 长为_
6、.- 5 -【解析】延长 BD 交 AC 于点 F,AD 平分BAC,BDAD 于点 D,AB=AF=8,BD=DF,BE=CE,DE 是BCF 的中位线,DE= CF,12CF=AC-AF=12-8=4,DE=2.答案:2【方法技巧】构造三角形的中位线证明线段相等1.题中有中点时,通常可以添加中位线或等量延长中位线.2.添辅助线的三条基本策略:(1)将分散的条件集中.(2)设法沟通条件与欲求问题(或待证结论)之间的关系.(3)化隐蔽的条件为明显的条件.7.如图,在 RtABC 中,BAC=90,E,F 分别是 BC,AC 的中点,延长 BA 到点 D,使 AD= AB,连接 DE,DF.12
7、求证:AF 与 DE 互相平分. 世纪金榜导学号 10164152【证明】连接 EF,AE,- 6 -点 E,F 分别为 BC,AC 的中点,EFAB,EF= AB,12又AD= AB,12EF=AD,又EFAD,四边形 AEFD 是平行四边形,AF 与 DE 互相平分.已知两个等腰 RtABC,RtCEF 有公共顶点 C,ABC=CEF=90,连接 AF,M 是 AF 的中点,连接 MB,ME.如图,当 CB 与 CE 在同一直线上时,求证:MBCF.世纪金榜导学号 10164153【证明】如图,延长 AB 交 CF 于点 D,则易知ABC 与BCD 均为等腰直角三角形,AB=BC=BD,点
8、 B 为线段 AD 的中点,又点 M 为线段 AF 的中点,BM 为ADF 的中位线,BMCF.- 7 -【母题变式】变式一如图,其他条件不变,若 CB=a,CE=2a,求 BM,ME 的长.【解析】如图所示,延长 AB 交 CF 于点 D,则易知BCD 与ABC 为等腰直角三角形,AB=BC=BD=a,AC=CD= a,2点 B 为 AD 中点,又点 M 为 AF 中点,BM= DF.12分别延长 FE 与 CA 交于点 G,则易知CEF 与CEG 均为等腰直角三角形,CE=EF=GE=2a,CG=CF=2 a,2点 E 为 FG 的中点,又点 M 为 AF 的中点,ME= AG.12CG=
9、CF=2 a,CA=CD= a,2 2AG=DF= a,2BM=ME= a= a.12 2 22变式二如图,其他条件不变,当BCE=45时,求证:BM=ME.- 8 -【证明】如图,延长 AB 交 CE 于点 D,连接 DF,则易知ABC 与BCD 均为等腰直角三角形,AB=BC=BD,AC=CD,点 B 为 AD 的中点,又点 M 为 AF 的中点,BM= DF.12延长 FE 与 CB 交于点 G,连接 AG,则易知CEF 与CEG 均为等腰直角三角形,CE=EF=EG,CF=CG,点 E 为 FG 的中点,又点 M 为 AF 的中点,ME= AG.12在ACG 与DCF 中, A=,=45,=, ACGDCF(SAS),DF=AG,BM=ME.- 9 -
