1、1第六章 平行四边形1.平行四边形的性质(1)根据平行四边形对边相等，可知平行四边形相邻两边长之和是平行四边形周长的一半.(2)平行四边形的对角相等，邻角互补，这是根据平行线的性质进行推导得出的，可以用来求角的度数.(3)平行四边形的对角线互相平分，且一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线将平行四边形分成两组全等的三角形，可以应用全等三角形的性质进行解题.【例 1】在ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，则ABCD 的周长为_cm.【标准解答】在ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，CD=AB=6cm，AD=BC=8cm，ABCD 的周长为 6+6+8+8=28(cm)
2、.答案：28【例 2】在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点 A，B，C 的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(4，2)，则顶点 D的坐标为( )A.(7，2) B.(5，4)C.(1，2) D.(2，1)【标准解答】选 C.如图.四边形 ABCD 是平行四边形，CD=AB，CDAB， ABCD 的顶点 A，B，C 的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(4，2)，顶点 D 的坐标为(1，2).【例 3】如图，在ABCD 中，AB=3，AD=4，ABC=60，过 BC 的中点 E 作 EFAB，垂足为点 F，与 DC 的延长线相交于点 H，则DEF 的面积是_.2【标准解答】四边形 ABCD 是平
3、行四边形，AB=CD=3，AD=BC=4，EFAB，EHDC，BFE=90，ABC=60，HCB=B=60，FEB=CEH=180-B-BFE=30，E 为 BC 的中点，BE=CE=2，CH=BF=1，由勾股定理得：EF=EH= .3DEF 的面积是 EFDH=2 .12 3答案：2 3【例 4】如图，E，F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点，CE=AF，请你猜想：线段 BE 与线段 DF 有怎样的关系?并对你的猜想加以证明.【标准解答】猜想：BE DF.证明：四边形 ABCD 是平行四边形，CB=AD，CBAD，BCE=DAF在BCE 和DAF 中， C=,=,=,BCEDA
4、F.BE=DF，BEC=DFA.BEDF，故 BE DF.【例 5】如图，在ABCD 中，B=80，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，CFAE 交 AD 于点 F，则1=( )A.40 B.50 C.60 D.80【标准解答】选 B.因为B=80，3所以BAD=100，又 AE 平分BAD，所以BAE=DAE=BEA=50，因为 CFAE，所以1=BEA=50.【例 6】如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC，AC，BD 相交于点 O.若 AC=6，则线段 AO 的长度等于_.【标准解答】易知四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AO=OC= AC=3.12答案：3【例 7】如图
5、所示，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 ABAD，则下列式子不正确的是( )A.ACBD B.AB=CDC.BO=OD D.BAD=BCD【标准解答】选 A.四边形 ABCD 为平行四边形，AB=CD，则选项 B 正确；又根据平行四边形的对角线互相平分，BO=OD，则选项 C 正确；又四边形 ABCD 为平行四边形，ABCD，ADBC，ABC+BCD=180，BAD+ABC=180，BAD=BCD，则选项 D 正确；由 BO=OD，假设 ACBD，又OA=OA，ABOADO，AB=AD 与已知 ABAD 矛盾，AC 不垂直 BD，则选项 A 错误.1.已知ABCD 的周长为
6、 32，AB=4，则 BC=( )A.4 B.12 C.24 D.282.若平行四边形 ABCD 的周长为 22cm.AC，BD 相交于 O，AOD 的周长比AOB 的周长小 3cm，则AD=_，AB=_.2.平行四边形的判定4(1)利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来说明【例 1】如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AB 的延长线上的一点，且 ECBD，试说明：四边形 BECD是平行四边形.【标准解答】四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，即 BECD，ECBD，四边形 BECD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).(2)利用“两组对边分别相等的四边
7、形是平行四边形”来说明【例 2】在平行四边形 ABCD 中，DAB=60，点 E，F 分别在 CD，AB 的延长线上，且 AE=AD，CF=CB，试说明：四边形 AFCE 是平行四边形.【标准解答】四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB，DCB=DAB=60，ADE=CBF=60，又AE=AD，CF=CB，AED，CFB 是等边三角形，又在平行四边形 ABCD 中，AD=BC，DC=AB，AE=CF，ED=BF，ED+DC=BF+AB，即 EC=AF，四边形 AFCE 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)(3)利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来说明【例 3】如图
8、，在ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 边的中点，若把ADE 绕着点 E 顺时针旋转 180得到CFE.试判断四边形 DBCF 是怎样的四边形，说明你的理由.【标准解答】四边形 DBCF 是平行四边形.理由如下：ADE 绕点 E 顺时针旋转 180，得到CFE，ADECFE，且 A，E，C 和 D，E，F 在一条直线上，AD=CF，A=ECF，ABCF，又D 是 AB 的中点，AD=DB=CF，5四边形 DBCF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形).(4)利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来说明【例 4】如图，已知，在平行四边形 ABCD 中，ABC，AD
9、C 的平分线分别交 CD，AB 于点 E，F，求证：四边形 DFBE 是平行四边形.【标准解答】四边形 ABCD 是平行四边形，ABC =ADC，A=C，BE，DF 分别平分ABC，ADC，1=3= ADC ，2=4= ABC，1=2=3=4，12 12又DEB=4+C，DFB=3+A，A=C，DEB=DFB，四边形 DFBE 是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形).(5)利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来说明【例 5】如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于 O，点 E，F 分别为 OB，OD 的中点，过 O 任作一直线分别交 AB，CD 于点 G，
10、H.说明：四边形 EHFG 是平行四边形.【标准解答】四边形 ABCD 是平行四边形，OA=OC，ABCD，BAO=DCO，又AOG=COH，AOGCOH.OG=OH.又E，F 分别为 OB，OD 的中点，OE=OF，四边形 EHFG 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).61.如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，AO=CO，请添加一个条件_(只添一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形.2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，点 E，F 为对角线 AC 上两点，且 AE=CF，DFBE.求证：四边形 ABCD 为平行四边形.3.三角形中位线(1)三角形的中
11、位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.(2)三角形的中位线定理中说明了三角形中位线与三角形第三边的位置关系与数量关系，为我们证明平行或求线段的长度提供了依据.【例 1】如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度 AB，选取可以直达 A，B 两点的点 O，再分别取OA，OB 的中点 M，N，量得 MN=20m，则池塘的宽度 AB 为_m.【标准解答】由三角形的中位线定理可知，AB=2MN=40m.答案：40【例 2】已知：如图，在ABC 中，DE，DF 是ABC 的中位线，连接 EF，AD，其交点为 O.求证：7(1)CDEDBF.(2)OA=OD.【标准解答】(1)DE，DF
12、 是ABC 的中位线，DF=CE，DFCE，DB=DC.DFCE，C=BDF.在CDE 和DBF 中 D=,=,=,CDEDBF(SAS).(2)DE，DF 是ABC 的中位线，DF=AE，DFAE，四边形 DEAF 是平行四边形，EF 与 AD 交于 O 点，AO=OD.1.如图，在ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE=CB，点 A，D 关于点 F 对称，过点 F 作 FGCD，交 AC 边于点 G，连接 GE.若 AC=18，BC=12，则CEG 的周长为_.2.如图，在A 1B1C1中，已知 A1B1=7，B 1C1=4，A 1C1=5，依次连接A 1B1C1的三边中点，得A 2B
13、2C2，再依次连接A 2B2C2的三边中点得A 3B3C3，则A 5B5C5的周长为_.84.多边形的有关问题(1)多边形的角度计算利用多边形内角和公式计算多边形的内角和或边数【例 1】一个多边形的内角和是 900，则这个多边形的边数为( )A.6 B.7 C.8 D.9【标准解答】选 B.设边数为 n，由题意得(n-2)180=900，解得 n=7.利用多边形外角和，计算多边形中各角的度数或边数.【例 2】已知一个正多边形的一个内角是 120，则这个多边形的边数是_.【标准解答】外角是 180-120=60，36060=6，则这个多边形是六边形.答案：六利用多边形内角和公式和外角和，计算多边
14、形中对角线条数【例 3】若凸 n 边形的内角和为 1260，则从一个顶点出发引的对角线条数是_.【标准解答】由题意可知(n-2)180=1260，解得 n=9，所以从一个顶点出发能引 9-3=6(条)对角线.答案：61.正八边形的每个内角为( )A.120 B.135 C.140 D.1442.若一个正多边形的每个内角为 150，则这个正多边形的边数是( )A.12 B.11 C.10 D.93.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是( )A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形(2)解决多边形问题的方法将多边形问题转化为三角形问题解决在解决多边形问题时，如果无法直接应
15、用内角和公式或外角和时，我们可以将多边形通过连接对角线转化成三角形问题解决.【例 1】求五边形的内角和.9【标准解答 1】连接对角线 AC，AD，将五边形 ABCDE 转化成三个三角形：ABC，ADC，ADE，此时五边形 ABCDE 的内角和=3180=540.【标准解答 2】在五边形 ABCDE 内部任取一点 O，连接 AO，BO，CO，DO，EO，将五边形 ABCDE 转化为五个三角形ABO，BCO，DCO，DEO，AEO，五边形 ABCDE 的内角和=5180-360=540.实际上点 O 的位置也可以放在五边形的任意一条边上，或五边形的外部.将内角问题转化为外角来解决一个正多边形的每个
16、内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是 360 度，利用 360 除以多边形的边数就可以求出外角的度数，再转化为内角的度数.或者利用 360 除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数.【例 2】正五边形的每一个内角都等于_.【标准解答】正五边形的外角是：3605=72，则内角的度数是：180-72=108.答案：1081.正多边形的一个内角为 135，则该多边形的边数为( )A.9 B.8 C.7 D.42.正多边形的一个外角等于 20，则这个正多边形的边数是_.(3)多边形剪去一个角的三种情况过多边形的一条对角线剪去一个角，则新多
17、边形的边数比原多边形的边数少 1.过多边形的一个顶点剪去一个角，则新多边形的边数与原多边形的边数相同.不过多边形的顶点剪去一个角，则新多边形的边数比原多边形的边数多 1.【例】若把一个多边形剪去一个角，剩余部分的内角和为 1440，那么原多边形有_条边.【标准解答】设新多边形是 n 边形，由多边形内角和公式得(n-2)180=1440，解得 n=10，原多边形边数是 10-1=9 或 10+1=11 或 10.答案：9，10 或 1110凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少?画出图形说明.(4)多边形的镶嵌问题判断多边形能否进行平面镶嵌，关键是检验拼接在同一点的各个角的和是否
18、等于 360.若等于360，则可以镶嵌；若不等于 360，则不能进行镶嵌.【例】下列正多边形中，不能铺满地面的是( )A.正三角形 B.正方形C.正六边形 D.正七边形【标准解答】选 D.A.正三角形的内角是 60，660=360，正三角形能铺满地面；B.正方形的内角是 90，490=360，正方形能铺满地面；C.正六边形的内角是 120，3120=360，正六边形能铺满地面；D.正七边形的内角是 ， 同任何一个正整数相乘都不等于 360，正七边形不能铺满地面.9007 9007小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖.建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几
19、种形状的地砖.你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是( )11跟踪训练答案解析1.平行四边形的性质【跟踪训练】1.【解析】选 B.四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，AD=BC，平行四边形 ABCD 的周长是 32，2(AB+BC)=32，BC=12.2.【解析】由平行四边形对角线互相平分知 BO=OD，故AOD 周长比AOB 的周长小 3cm，实际上就是 AB-AD=3(cm).由平行四边形的周长为 22cm 可知 AD+AB=11cm，解得 AB=7cm，AD=4cm.答案：4cm 7cm2.平行四边形的判定【跟踪训练】1.【解析】AO=CO，BO=DO，四边形 ABCD
20、 是平行四边形.答案：BO=DO2.【证明】ABCD，DCA=BAC，DFBE，DFA=BEC，AEB=DFC，在AEB 和CFD 中 =,=,=,AEBCFD(ASA)，AB=CD，ABCD，四边形 ABCD 为平行四边形.3.三角形中位线【跟踪训练】1.【解析】由题意得：CE=CB=12，点 F 是 AD 的中点，FGCD，FG 是ADC 的中位线，所以 CG= AC=9，12点 E 是 AB 的中点，EG 是ABC 的中位线，GE= BC=6，CEG 的周长为：CE+GE+CG=12+6+9=27.1212答案：272.【解析】因为 A2，B 2，C 2是A 1B1C1的三边中点，所以A
21、 2B2C2的周长是 =8，以此类推7+4+52A5B5C5的周长为 =1.7+4+524答案：14.多边形的有关问题(1)多边形的角度计算【跟踪训练】1.【解析】选 B.根据多边形的内角和公式，可得正八边形内角和为：(8-2)180=1080，又因为正八边形的每个内角都相等，所以正八边形的每个内角等于 10808=135.2.【解析】选 A.一个正多边形的每个内角为 150，这个正多边形的每个外角=180-150=30，这个正多边形的边数= =12.360303.【解析】选 D.根据题意，得(n-2)180=180，解得：n=3.(2)解决多边形问题的方法【跟踪训练】1.【解析】选 B.正多
22、边形的一个内角为 135，外角是 180-135=45，36045=8，则这个多边形是八边形.2.【解析】因为外角是 20，36020=18，则这个正多边形是 18 边形.答案：18(3)多边形剪去一个角的三种情况【跟踪训练】【解析】六边形剪去一个角的边数有增加 1、减少 1、不变三种情况，新多边形的边数为 7，5，6 三种情况，如图：13(4)多边形的镶嵌问题【跟踪训练】【解析】选 B.A.正八边形、正三角形内角分别为 135，60，显然不能构成 360的周角，故不能铺满；B.正方形、正八边形内角分别为 90，135，由于 1352+90=360，故能铺满；C.正六边形和正八边形内角分别为 120，135，显然不能构成 360的周角，故不能铺满；D.正八边形、正五边形内角分别为 135，108，显然不能构成 360的周角，故不能铺满.
