1、1第四章 因式分解1.因式分解的方法名称 提公因式法 平方差公式 完全平方公式公式ma+mb+mc=m(a+b+c)a2-b2=(a+b)(a-b) a22ab+b2=(ab)2项数 最少两项 两项 三项适用条件有公因式平方差形式(1)两项.(2)每项都是平方的形式.(3)两项符号相反完全平方形式(1)三项.(2)两项是平方的形式.(3)另一项是两数乘积的二倍【例 1】分解因式：2x 2-6x=_.【标准解答】两项中都含有公因式 2x，提取公因式 2x得 2x2-6x=2x(x-3).答案：2x(x-3)【例 2】分解因式：4x 2-1=_.【标准解答】4x 2-1=(2x)2-12=(2x+
2、1)(2x-1).答案：(2x+1)(2x-1)【例 3】分解因式：(a+b) 3-4(a+b)=_.【标准解答】(a+b) 3-4(a+b)=(a+b)(+)222=(a+b)(a+b+2)(a+b-2).答案：(a+b)(a+b+2)(a+b-2)【例 4】分解因式：a 3-10a2+25a=_.【标准解答】a 3-10a2+25a=a(a2-10a+25)=a(a-5)2.答案：a(a-5) 2【例 5】分解因式：(2a-b) 2+8ab =_.【标准解答】(2a-b) 2+8ab=4a2-4ab+b2+8ab=4a2+4ab+b2=(2a+b)2.答案：(2a+b) 221.下列各式能
3、用完全平方公式进行分解因式的是( )A.x2+1 B.x2+2x-1C.x2+x+1 D.x2+4x+42.分解因式：(x+3) 2-(x+3)=_.3.在实数范围内因式分解 x4-4=_.4.因式分解：x 3y2-x5=_.5.分解因式：-a 3+a2b- ab2=_.146.给出三个多项式 x2+x-1， x2+3x+1， x2-x，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解 .12 12 122.分解因式与整体代入求值(1)利用平方差公式分解因式，再整体代入求值通过对已知条件或对所求代数式利用平方差公式进行因式分解，再整体代入求值.【例 1】若 m2-n2=6，且 m-n=2，则 m
4、+n=_.【标准解答】m 2-n2=(m+n)(m-n)=2(m+n)=6，m+n=3.答案：3(2)利用完全平方公式分解因式，再整体代入求值通过对已知条件利用完全平方公式分解因式，对所求代数式化简分解因式，找出已知条件与所求代数式之间的关系，然后整体代入求值.【例 2】已知 a2+2ab+b2=0，求代数式 a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值.【标准解答】a 2+2ab+b2=0，a+b=0，又a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)=a 2+4ab-(a2-4b2)=4ab+4b2=4b(a+b).原式=4b0=0.31.若 m-n=2，m+n=5，则 m2-n2的值为_.2.已
5、知 m+n=3，求 2m2+4mn+2n2-6的值.3.因式分解的解题技巧(1)通过加减变形，进行因式分解分解某些多项式，有时需要加上并减去一个适当的项，从而在多项式的值保持不变的前提下达到因式分解的目的.【例 1】分解因式：4a 4+1.【标准解答】本题只需在原式中加上并减去 4a2，即能运用完全平方公式和平方差公式进行分解.原式=4a 4+1+4a2-4a2=(4a4+4a2+1)-4a2=(2a2+1)2-(2a)2=(2a2+2a+1)(2a2-2a+1).(2)通过拆项变形，进行因式分解当多项式的因式分解遇到困难时，有时也可考虑采用拆项的方法，将多项式中的某一项进行拆分，然后将新得到
6、的多项式进行适当组合，同样可以实现因式分解.【例 2】分解因式：2x 3+3x2-1.【标准解答】将 3x2拆成 2x2+x2，再将 2x2与 2x3组合，x 2与-1 组合，则能运用提取公因式法与平方差公式进行分解.原式=2x 3+2x2+x2-1=(2x3+2x2)+(x2-1)=2x2(x+1)+(x+1)(x-1)=(x+1)(2x2+x-1).(3)通过换元变形，进行因式分解当多项式的次数较高，且其中含有相同的多项式因子时，采用换元法就能降低原多项式的次数，从而简化因式分解操作.【例 3】分解因式：(a 2+2a)(a2+2a+4)+4.【标准解答】设 y=a2+2a，则原式=y(y
7、+4)+4=y 2+4y+4=(y+2)2，(a 2+2a)(a2+2a+4)+4=(a2+2a+2)2.4(4)由整式的乘法可知，(x+p)(x+q)=x 2+(p+q)x+pq，根据因式分解与整式乘法的关系可得，x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).因此可以将某些二次项系数是 1的二次三项式分解因式.例如，将式子 x2+3x+2分解因式，这个式子的二次项系数是 1，常数项 2=12，一次项系数 3=1+2，因此这是一个符合 x2+(p+q)x+pq型的式子，利用这个关系可得 x2+3x+2=(x+1)(x+2).【例 4】利用这种方法，将下列多项式分解因式.(1)x2+9x+2
8、0. (2)x 2-7x+12.【标准解答】(1)x 2+9x+20=(x+4)(x+5).(2)x2-7x+12=(x-3)(x-4).1.分解因式：(1)x2-7x-8.(2)x2+3x-18.(3)a2+7ab+12b2.(4)(a+b)2-5(a+b)-14.2.先阅读以下材料，然后解答问题.分解因式 mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)；也可以 mx+nx+my+ny=(mx+my)5+(nx +ny)=m(x+y)+n(x+y)=(m+n)(x+y).以上分解因式的方法称为分组分解法.请用分组分解法分解因式：a 3
9、-b3+a2b-ab2.3.观察下列分解因式的过程：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-4a2(先加上 a2，再减去 a2)=(x+a)2-4a2(运用完全平方公式)=(x+a+2a)(x+a-2a)=(x+3a)(x-a).像上面这样通过加减项配出完全平方式，把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法.请你用配方法分解因式：x 2-4xy+3y2.6跟踪训练答案解析1.因式分解的方法【跟踪训练】1.【解析】选 D.根据完全平方公式：a 22ab+b2=(ab)2可得，选项 A，B，C 都不能用完全平方公式进行分解因式，D 选项 x2+4x+4=(x+2)2.2.【解析】(x+3) 2-(x
10、+3)=(x+3)(x+3-1)=(x+3)(x+2).答案：(x+3)(x+2)3.【解析】x 4-4=(x2+2)(x2-2)=(x2+2)(x+ )(x- ).2 2答案：(x 2+2)(x+ )(x- )2 24.【解析】x 3y2-x5=x3(y2-x2)=x3(y-x)(y+x).答案：x 3(y-x)(y+x)5.【解析】原式=-a (a2+142)=-a .(a12)2答案：-a (a12)26.【解析】如： + = +(x+3x)+(-1+1)(122+1)(122+3+1)(122+122)=x2+4x=x(x+4).又如： + =x2+2x+1=(x+1)2.(122+3
11、+1)(122)2.分解因式与整体代入求值【跟踪训练】1.【解析】m 2-n2=(m+n)(m-n)=52=10.答案：102.【解析】2m 2+4mn+2n2-6=2(m+n)2-6.m+n=3，2(m+n) 2-6=232-6=12.3.因式分解的解题技巧【跟踪训练】1.【解析】(1)x 2-7x-8=(x-8)(x+1).7(2)x2+3x-18=(x+6)(x-3).(3)a2+7ab+12b2=(a+3b)(a+4b).(4)(a+b)2-5(a+b)-14=(a+b-7)(a+b+2).2.【解析】a 3-b3+a2b-ab2=(a3+a2b)-(b3+ab2)=a2(a+b)-b2(b+a)=(a+b)(a2-b2)=(a+b)2(a-b).3.【解析】x 2-4xy+3y2=x2-4xy+3y2+y2-y2=x2-4xy+4y2-y2=(x-2y)2-y2=(x-2y)+y(x-2y)-y=(x-y)(x-3y).
