1、- 1 -18.2.3 正 方 形【教学目标】知识与技能:1.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间的联系和区别 .2.能用正方形的定义、性质和判定进行推理与计算 .过程与方法:经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程 .在观察中寻求新知,在探索中发展推理能力,逐步掌握说理的基本方法 .情感态度与价值观:通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的学习,渗透了辩证唯物主义教育,提高了逻辑思维能力 .【重点难点】重点:理解正方形与矩形、菱形的关系 .掌握正方形的性质和判定 .会用正方形的性质和判定进行计算或证明 . 难点:会用正方形的性质和判定进行计算或证明 .【教学过程】一、创设情境,导入
2、新课:做一做:用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形 .学生在动手操做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系 .问题:什么样的四边形是正方形?你能说出正方形的定义吗?正方形具有什么性质,怎样判定一个四边形或平行四边形是正方形呢?这一节课我们就来探究 .二、探究归纳活动 1:正方形的定义:1.复习:(1)什么是四边形?它有什么性质?(2)什么是平行四边形?它有什么性质?如何判定?(3)什么是矩形?它有什么性质?如何判定?(4)什么是菱形?它有什么性质?如何判定?2.正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 .- 2 -教师引导学生明确:正方形是在平行四边
3、形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意思: 正方形既是矩形又是菱形 .活动 2:正方形的性质:1.探索:由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形 .所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质 .2.归纳、总结: 因为正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形,所以它具有这些图形性质的综合,(从角、边、对角线上归纳总结)(1)正方形性质定理 1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等 .(2)正方形性质定理 2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角 .3.正方形的性质也可表示为:(1)边:正方形的对边平行,四条边
4、都相等 .(2)角:正方形的四个角都是直角 .(3)对角线:正方形的对角线相等且互相垂直平分 .(4)正方形是轴对称图形,也是中心对称图形 .活动 3:正方形的判定:1.正方形的判定方法:方法 1:定义:是平行四边形有一组邻边相等有一个角是直角,是正方形 .方法 2:是矩形是菱形,是正方形 .- 3 -2.正方形的判定方法也可细分为:(1)有一组邻边相等的矩形是正方形 .(2)有一个角是直角的菱形是正方形 .(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 .(4)四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形 .(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 .活动 4:例题讲解:【例
5、1】 如图,正方形 ABCD 中, E,F 分别为 BC,CD 上的点,且 AE BF,垂足为点 G.求证: AE=BF.分析:根据正方形的性质,可得 ABC 与 C 的关系, AB 与 BC 的关系,根据两直线垂直,可得 AGB 的度数,根据直角三角形锐角的关系,可得 ABG 与 BAG 的关系,根据同角的余角相等,可得 BAG 与 CBF 的关系,根据 ASA,可得三角形全等,根据全等三角形的性质,可得答案 .解:正方形 ABCD, ABC= C,AB=BC. AE BF, AGB=90, ABG+ BAG=90, ABG+ CBF=90, BAG= CBF.在 ABE 和 BCF 中,=
6、 ABE BCF(ASA), AE=BF.总结:正方形的性质的应用:正方形的四个角都是直角,四条边都相等,对角线相等且互相垂直平分 .正方形的对边平行且相等 .利用这些性质可证明边角相等 .【例 2】 如图,在 ABC 中, AB=AC,AD 是 ABC 的角平分线,点 O 为 AB 的中点,连接 DO 并延长到点 E,使OE=OD,连接 AE,BE,- 4 -(1)求证:四边形 AEBD 是矩形 .(2)当 ABC 满足什么条件时,矩形 AEBD 是正方形,并说明理由 .分析:(1)利用平行四边形的判定首先得出四边形 AEBD 是平行四边形,再利用等腰三角形的性质得出 ADB=90,即可得出
7、答案 .(2)利用等腰直角三角形的性质得出 AD=BD,进而利用正方形的判定得出即可 .【证明】(1)点 O 为 AB 的中点, OE=OD,四边形 AEBD 是平行四边形, AB=AC,AD 是 ABC 的角平分线, AD BC,四边形 AEBD 是矩形 .(2)当 ABC 是等腰直角三角形时,矩形 AEBD 是正方形, ABC 是等腰直角三角形, BAD= CAD= DBA=45, BD=AD.由(1)知四边形 AEBD 是矩形,四边形 AEBD 是正方形 .总结:判定正方形的一般思路:要证明一个四边形是正方形,只要证明这个四边形既是矩形又是菱形即可,搞清矩形、菱形、正方形之间的关系,有助
8、于寻找证明思路 .它们之间的关系可以用下图表示 .三、交流反思这节课我们学习了正方形的定义、性质和判定,注意弄清正方形与平行四边形、矩形、菱形之间有什么联系与区别?它有什么性质?怎样判定?四、检测反馈1.正方形是轴对称图形,它的对称轴共有 ( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条2.下列说法不正确的是 ( )A.有一个角是直角的菱形是正方形- 5 -B.两条对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.四条边都相等的四边形是正方形3.如图,正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,则图中的等腰直角三角形有( )A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.10
9、 个4.如图,在 ABC 中, ACB=90,BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,且 BE=BF.添加一个条件,仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是 ( )A.BC=AC B.CF BFC.BD=DF D.AC=BF5.如图,在四边形 ABCD 中, AB=BC=CD=DA,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形 ABCD 是正方形,则还需增加一个条件是 _. 6.如图,菱形 ABCD 的对角线相交于点 O,请你添加一个条件: _ ,使得该菱形为正方形 . 7.如图,在正方形 ABCD 中,点 M 是对角线 BD 上的一点,
10、过点 M 作 ME CD 交 BC 于点 E,作 MF BC 交 CD 于点F.求证: AM=EF.- 6 -8.如图,在正方形 ABCD 中, G 是 DC 上的任意一点,( G 与 D,C 两点不重合), E,F 是 AG 上的两点( E,F 与 A,G两点不重合),若 AF=DF+EF,1=2,请判断线段 DF 与 BE 有怎样的位置关系,并证明你的结论 .9.平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于 O 点,分别过顶点 B,C 作两对角线的平行线交于点 E,得平行四边形 OBEC.(1)如果四边形 ABCD 为矩形(如图),四边形 OBEC 为何种四边形?请证明你的结论 .
11、(2)如果四边形 ABCD 是正方形,四边形 OBEC 也是正方形吗?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由 .五、布置作业教科书第 62 页习题 18.2 第 13,15 题六、板书设计18.2.3 正方形一、正方形的定义二、正方形的性质(1)边:正方形的对边平行,四条边都相等 .(2)角:正方形的四个角都是直角 .(3)对角线:正方形的对角线相等且互相垂直平分 .(4)正方形是轴对称图形,也是中心对称图形 .三、正方形的判定方法四、例题讲解 五、板演练习七、教学反思- 7 -本节课的认识起点是:已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识,在取得一定的经验的基础上,认识正方形 . 本节课采用了学生自导自主的学习方法,流程为“合作探究,导入新课实践应用,探究新知继续探究,学习新知随堂练习,巩固深化课堂总结,发展潜能布置作业,专题突破” .学习过程中学生采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题,突破难点,特别是在交流中体现出了“兵教兵、兵练兵”,这样充分地调动了学生的学习积极性,体现了自主意识,讨论交流比较热烈,大大提高了学生的学习兴趣 .本节小结时,采用表格形式把平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质让学生进行了对比,在对比中学生更能清楚的认识到他们之间的区别与联系,加深了印象 .
