1、第6讲 正弦定理、余弦定理,考试要求 1.正弦定理、余弦定理(B级要求)；2.运用定理解决解三角形问题(B级要求).,知 识 梳 理,1.正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2Rsin B,2Rsin C,sin Asin Bsin C,2.在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下,3.三角形常用面积公式,1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.( )(3)在
2、ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形.( ),诊 断 自 测,(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( ),答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6),2.在ABC中，a2，A30，C45，则ABC的面积SABC_.,考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 角度1 化边为角或化角为边解三角形,【例11】 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；,(1)证明 由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin B
3、sin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B， 于是sin Bsin(AB).又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB， 因此A(舍去)或A2B，所以A2B.,因sin B0，得sin Ccos B.,角度2 利用平面几何图形解三角形,(1)求cos B的值； (2)求CD的长.,所以cos Bcos(AACB)cos(AACB) sin Asin ACBcos AcosACB,在BCD中，由余弦定理得，,考点二 与三角形面积有关的问题,【例2】 (2019南通模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(abc)(abc)ab.(1)求角C的大小；(
4、2)若c2acos B，b2，求ABC的面积.,(2)法一 因为c2acos B，由正弦定理，得sin C2sin Acos B， 因为ABC，所以sin Csin(AB)， 所以sin(AB)2sin Acos B，即sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0，,考点三 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状,【例3】 (1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为_.(2)若a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，则ABC的形状为_.解析 (1)由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos
5、Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，,(2)法一 利用边的关系来判断：,即c2b2c2a2，所以a2b2，所以ab. 又a2b2c2ab. 2b2c2b2，所以b2c2， bc，abc. ABC为等边三角形.,法二 利用角的关系来判断： ABC180，sin Csin(AB)， 又2cos Asin Bsin C， 2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0， 又A与B均为ABC的内角，所以AB. 又由a2b2c2ab，,又0C180，所以C60，ABC为等边三角形. 答案 (1
6、)直角三角形 (2)等边三角形,规律方法 (1)判定三角形形状的途径：化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. (2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.,(2)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a，3sin A5sin B，则ABC的形状为_三角形.,所以sin C0，所以cos B0， 即B为钝角，所以ABC为钝角三角形.,(2)由3sin A5sin B及正弦定理得3a5b，,从而ABC为钝角三角形. 答案 (1)钝角 (2)钝角,
