1、- 1 -三角函数模型的简单应用 分层训练进阶冲关A 组 基础练(建议用时 20 分钟)1.电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系是 I=3sin 100t,t0,+),则电流 I 变化的周期是( A )A. B.50 C. D.1002.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,劳动节某商场的人流量满足函数 F(t)=50+4sin (t0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的 ( C )A.0,5 B.5,10 C.10,15 D.15,203.一种波的波形为函数 y=-sin x 的图象,若其在区间0,t上至少有 2 个波峰(图象的最高点),则正整数 t 的最小值是 ( C )A.5 B
2、.6 C.7 D.84.函数 y=x+sin|x|,x-,的大致图象是 ( C )5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(x+)+b的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,7月份价格最低为 5 千元,根据以上条件可确定 f(x)的解析式为 ( A )A.f(x)=2sin +7(1x12,xN +)B.f(x)=9sin (1x12,xN +)C.f(x)=2 sin x+7(1x12,xN +)- 2 -D.f(x)=2sin +7(1x12,xN +)6.如图所示,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发
3、在圆上按逆时针方向旋转一周,点 P 所旋转过的弧 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致是 ( C )7.如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度 y(m)在某天 24 h 内的变化情况,则水面高度 y 关于从夜间 0 时开始的时间 x 的函数关系式为y=-6sin x . 8.某摩天轮建筑,其旋转半径 50 米,最高点距地面 110 米,运行一周大约 21 分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则第 7 分钟时他距地面大约为 85 米. - 3 -9.一根长 a cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移 s(cm)和时间
4、t(s)的函数关系式是 s=3cos ,t0,+),则小球摆动的周期为. 10. (2018福州高一检测)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,质点 M,N 间隔 3 分钟先后从点 P出发,绕原点按逆时针方向作角速度为 弧度/分钟的匀速圈周运动,则 M 与 N 的纵坐标之差第4 次达到最大值时,N 运动的时间为 37.5 分钟. 11.已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I=Asin(t+).(1)如图是 I=Asin(t+)(0,|942,所以 最小取值为 943.12.已知某地一天从 416 时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin +20,x4,16.(1)求该地区这一段时间内温度的最
5、大温差.(2)若有一种细菌在 15 到 25 之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存多长时间?【解析】(1)由函数易知,当 x=14 时函数取最大值,此时最高温度为 30 ,当 x=6 时函数取最小值,此时最低温度为 10 ,所以最大温差为 30 -10 =20 .(2)令 10sin +20=15,得 sin =- ,而 x4,16,所以 x= .令 10sin +20=25,得 sin = ,而 x4,16,所以 x= .故该细菌能存活的最长时间为 - = (小时).B 组 提升练(建议用时 20 分钟)13.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产
6、市场产生了影响,某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价 y(每平方米的价格,单位:元)与第 x 季度之间近似满足:y=500sin(x+)+9 500(0),已知第一、二季度平均单价如表所示:x 1 2 3- 5 -y 10 000 9 500 ?则此楼盘在第三季度的平均单价大约是 ( C )A.10 000 元 B.9 500 元C.9 000 元 D.8 500 元14.(2018沈阳高一检测)有一块半径为 R(R 是正常数)的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形的游泳池 ABCD 和其附属设施,附属设施占地形状是等腰CDE,其中O 为圆心,A,B 在圆的直
7、径上,C,D,E 在半圆周上,如图.设BOC=,征地面积为 f(),当 满足 g()=f()+R 2sin 取得最大值时,开发效果最佳,开发效果最佳的角 和 g()的最大值分别为 ( B )A. ,R2 B. ,R2C. ,R2(1+ ) D. ,R2(1+ )15.如图所示是一弹簧振子作简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式是y=2sin . 16.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,若将 A,B 两点的距离 d(cm)表示成时间 t(s)的
8、函数,则 d= 10sin ,其中 t0,60. 17.如图所示,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin x(A0,0),x0,4的图象,且图象的最高点为 S(3,2 );赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全,限定MNP=120.求 A, 的值和 M,P 两点间的距离.【解析】依题意,有 A=2 , =3,即 T=12.- 6 -又 T= ,所以 = .所以 y=2 sin x,x0,4.所以当 x=4 时,y=2 sin =3.所以 M(4,3).又 P(8,0),所以 MP= = =5(k
9、m).即 M,P 两点间的距离为 5 km.18.如图,一个水轮的半径为 4 m,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮每分钟转动 5 圈,如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始计算时间.(1)将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数.(2)点 P 第一次到达最高点大约需要多少时间?【解析】(1)如图所示建立直角坐标系,设角 是以 Ox 为始边,OP0为终边的角.OP 每秒钟内所转过的角为= .OP 在时间 t(s)内所转过的角为 t= t.由题意可知水轮逆时针转动,得 z=4sin +2.当 t=0 时,z=0,得 sin =- ,即 =- .故所求的函数
10、关系式为 z=4sin +2.(2)令 z=4sin +2=6,得 sin =1,令 t- = ,得 t=4,- 7 -故点 P 第一次到达最高点大约需要 4 s.C 组 培优练(建议用时 15 分钟)19.一物体相对于某一固定位置的位移 y(cm)和时间 t(s)之间的一组对应值如表,则可近似地描述该物体的位移 y 和时间 t 之间的关系的一个三角函数式为y=-4cos t. t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8y/cm -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.020.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门
11、安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入,为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;入住客栈的游客人数在 2 月份最少,在 8 月份最多,相差约 400 人;2 月份入住客栈的游客约为 100 人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多.(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系.(2)请问哪几个月份要准备 400 份以上的食物?【解析】(1)设该函数为 f(x)=Asi
12、n(x+)+B(A0,0,0|),根据条件,可知这个函数的周期是 12;由可知,f(2)最小,f(8)最大,且 f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为 200;由可知,f(x)在2,8上单调递增,且 f(2)=100,所以 f(8)=500.根据上述分析可得, =12,故 = ,且 解得根据分析可知,当 x=2 时,f(x)最小,当 x=8 时,f(x)最大,- 8 -故 sin =-1,且 sin =1.又因为 0|,故 =- .所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f(x)=200sin +300.(2)由条件可知,200sin +300400,化简,得 sin 2k+ x- 2k+ ,kZ,解得12k+6x12k+10,kZ.因为 xN *,且 1x12,故 x=6,7,8,9,10.即只有 6,7,8,9,10 五个月份要准备 400 份以上的食物.
