1、- 1 -三角恒等变换 单元质量评估(120 分钟 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设 sin(-)= ,则 cos 2= ( B )A. B. C.- D.-2.已知 sin = ,- bc B.bacC.cab D.acb二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线上)13.已知 tan =3,则 cos 2=- . - 3 -14.函数 f(x)=sin -2 sin2x 的最小正周期是 . 15.(2018广东珠海六校联考)已知 tan(+)= ,t
2、an = ,则 tan 的值为 . 16.已知 cos4-sin 4= ,且 ,则 cos = . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)设向量 a=( sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x .(1)若|a|=|b|,求 x 的值.(2)设函数 f(x)=ab,求 f(x)的最大值.【解析】(1)由|a| 2=( sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1,|a|=|b|,得 4sin2x=1,又 x ,从而 sin x= ,所以 x=
3、.(2)f(x)=ab= sin xcos x+sin2x= sin 2x- cos 2x+ =sin + ,当 x= 时,sin 取最大值 1.所以 f(x)的最大值为 .18.(本小题满分 12 分)(2017北京高考)已知函数 f(x)= cos -2sin xcos x.(1)求 f(x)的最小正周期.(2)求证:当 x 时,f(x)- .【解析】(1)f(x)= cos 2x+ sin 2x-sin 2x- 4 -= sin 2x+ cos 2x=sin ,所以 f(x)的最小正周期 T= =.(2)因为- x ,所以- 2x+ ,所以 sin sin =- ,所以当 x 时,f(x
4、)- .19.(本小题满分 12 分)已知 cos =- , .(1)求 cos 的值.(2)求 tan 2 的值.【解析】(1)因为 cos =- , ,所以 sin = = ,所以 cos =cos cos +sin sin =- + = .(2)因为 tan = = =- ,- 5 -所以 tan 2= = = .20.(本小题满分 12 分)已知 ,且 sin +cos = .(1)求 cos 的值.(2)若 sin(-)=- , ,求 cos 的值.【解析】(1)将 sin +cos = 两边同时平方,得 1+sin = ,则 sin = .又 ,所以 cos =- =- .(2)因
5、为 , ,所以- - .所以由 sin(-)=- 得 cos(-)= ,所以 cos =cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)=- + =- .21.(本小题满分 12 分)(2018济南高三检测)已知函数f(x)= -2 cos2 + .(1)求 f(x)的单调区间.(2)求 f(x)在0,上的值域.- 6 -【解析】(1)f(x)=1+sin x- cos x=1+2sin .由 2k- x- 2k+ ,kZ,得f(x)的单调递增区间为 ,kZ,由 2k+ x- 2k+ ,kZ,得f(x)的单调递减区间为 ,kZ.(2)x0,则 x- ,sin ,2sin - ,2,所
6、以 f(x)在0,上的值域为1- ,3.22.(本小题满分 12 分)已知向量 m= ,n= ,其中 ,且 mn.(1)求 sin 2 和 cos 2 的值.(2)若 sin = ,且 ,求角 .【解析】(1)因为 mn,所以 2cos -sin =0,即 sin =2cos .代入 cos2+sin 2=1,得 5cos2=1,又 ,则 cos = ,sin = .则 sin 2=2sin cos =2 = .cos 2=2cos 2-1=2 -1=- .- 7 -(2)因为 , ,所以 - .又 sin(-)= ,所以 cos(-)= .所以 sin =sin-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)= - = .由 ,得 = .
