1、- 1 -平面向量的线性运算分层训练进阶冲关 A组 基础练(建议用时 20分钟)1.下列三个命题:若 a+b=0,b+c=0,则 a=c; = 的等价条件是点 A与点 C重合,点 B与点 D重合;若 a+b=0且 b=0,则-a=0.其中正确命题的个数是 ( B )A.1 B.2 C.3 D.02.已知 O是ABC 所在平面内一点,D 为 BC边的中点,且 2 + + =0,那么 ( A )A. = B. =2C. =3 D.2 =3.如图,D,E,F 分别是ABC 的边 AB,BC,CA的中点,则 ( A )A. + + =0 B. - + =0C. + - =0 D. - - =04.设
2、e1,e2是两个不共线的向量,若向量 m=-e1+ke2 (kR)与向量 n=e2-2e1共线,则 ( D )A.k=0 B.k=1C.k=2 D.k=5.已知ABC 的三个顶点 A,B,C及平面内一点 P,且 + + = ,则 ( D )A.P在ABC 内部B.P在ABC 外部C.P在 AB边上或其延长线上D.P在 AC边上6.在ABC 中,如果 AD,BE分别为 BC,AC上的中线,且 =a, =b,那么 为 ( A )A. a+ b B. a- b- 2 -C. a- b D.- a+ b7.已知 m,n是实数,a,b 是向量,则下列命题:m(a-b)=ma-mb;(m-n)a=ma-n
3、a;若 ma=mb,则 a=b;若 ma=na,则 m=n.其中正确的为 . 8.已知| |=| |=1,且AOB=60,则| + |= . 9.设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值的和为 24 . 10.在平行四边形 ABCD中,对角线 AC与 BD交于点 O, + = ,则 =2 . 11.如图所示,四边形 OADB是以向量 =a, =b为邻边的平行四边形.又 BM= BC,CN= CD,试用 a,b表示 , , .【解析】 = = = ( - )= (a-b),所以 = + =b+ a- b= a+ b,= = ,所以 = + = += = ( + )= (a+b)=
4、 a+ b.= - = (a+b)- a- b= a- b.12.两个非零向量 a,b不共线.(1)若 =a+b, =2a+8b, =3(a-b),求证:A,B,D 三点共线.(2)求实数 k使 ka+b与 2a+kb共线.- 3 -【解析】(1)因为 = + + =a+b+2a+8b+3a-3b=6a+6b=6 ,又 与 有公共点 A,所以 A,B,D三点共线.(2)因为 ka+b与 2a+kb共线,所以 ka+b=(2a+kb).所以(k-2)a+(1-k)b=0,所以 k= .B组 提升练(建议用时 20分钟)13.已知四边形 ABCD是一菱形,则下列等式中成立的是 ( C )A. +
5、= B. + =C. + = D. + =14.已知 e1,e2是两个非零不共线的向量,a=2e 1-e2,b=ke1+e2,若 a与 b是共线向量,则实数 k的值为 ( B )A.-4 B.-2 C.2 D.415.已知点 G是ABC 的重心,则 + + =0. 16.若 a0,b0,且|a|=|b|=|a-b|,则 a与 a+b所在直线的夹角是 30 . 17.已知四边形 ABCD的对角线 AC和 BD相交于 O点,且 = , = .求证:四边形 ABCD是平行四边形.【证明】如图所示.= + , = + .又因为 = , = ,- 4 -所以 = ,所以 ABDC,且 AB=DC,所以四
6、边形 ABCD为平行四边形.18.已知|a|=8,|b|=6,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.【解析】设 =a, =b,以 AB,AD为邻边作平行四边形 ABCD,如图所示:则 =a+b, =a-b,所以| |=| |.又因为四边形 ABCD为平行四边形,所以四边形 ABCD为矩形,故 ADAB.在 RtDAB 中,| |=8,| |=6,由勾股定理得| |= = =10.所以|a-b|=10.C组 培优练(建议用时 15分钟)19.已知 O是平面内一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P满足 = +(0,+),则点 P的轨迹一定通过ABC 的 ( B )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心20.已知 a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,求- 5 -【解析】设 =a, =b,则 = - =a-b.因为|a|=|b|=|a-b|,所以 BA=OA=OB.所以OAB 为正三角形.设其边长为 1,则|a-b|=| |=1,|a+b|=2 = .所以 = = .
