1、- 1 -第二章 推理与证明测评(时间 120 分钟,满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.用反证法证明“若 x+y0,则 x0 或 y0”时,应假设 ( )A.x0 或 y0B.x0 且 y0C.xy0D.x+y0 且 y0.答案: B2.某西方国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅 .”结论显然是错误的,这是因为( )A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.非以上错误解析: 不符合“三段论”的形式,正确的“三段论”推理形式应为“鹅吃白菜,参议员先生是鹅,所以参议员先生也吃白菜” .答案: C
2、3.观察下列各等式:5 5=3 125,56=15 625,57=78 125,则 52 017的末四位数字是( )A.3125 B.5625C.8125 D.0625解析: 55=3 125 的末四位数字为 3125;56=15 625 的末四位数字为 5625;57=78 125 的末四位数字为 8125;58=390 625 的末四位数字为 0625;59=1 953 125 的末四位数字为 3125根据末四位数字的变化,3125,5625,8125,0625,即末四位的数字是以 4 为周期变化的,故 2 017 除以4 余 1,即末四位数为 3125.则 52 017的末四位数字为 3
3、125.答案: A4.计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 09 和字母 AF 共 16 个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:16 进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F10 进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如,用十六进制表示 E+D=1B,则 AB 等于( )A.6E B.72C.5F D.B0解析: AB=110=616+14=6E.答案: A5.在 ABC 中, E,F 分别为 AB,AC 的中点,则有 EF BC.这个命题的大前提为( )A.三角形的中位线平行于第三边B
4、.三角形的中位线等于第三边的一半C.EF 为中位线D.EF CB解析: 本题的推理过程形式是三段论,其大前提是一个一般的结论,即三角形中位线定理 .答案: A- 2 -6.某人在 x 天内观察天气,共测得下列数据: 上午或下午共下雨 7 次; 有 5 个下午晴; 有6 个上午晴; 当下午下雨时上午晴,则观察的天数 x 为( )A.11 B.9C.7 D.不能确定解析: 由题意可知,此人每天测两次,共测了 7+5+6=18(次),所以 x= =9(天) .答案: B7.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f(x),如果 f(x0)=0,那么 x=x0是函数 f(x)的极值点,因为函数 f
5、(x)=x3在 x=0 处的导数值 f(x0)=0,所以 x=0 是函数 f(x)=x3的极值点 .以上推理中( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确解析: 大前提是“对于可导函数 f(x),如果 f(x0)=0,那么 x=x0是函数 f(x)的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数 f(x),如果 f(x0)=0,且满足当 xx0时和当 x1,这与已知 a+b+c=1 矛盾 .假设 a,b,c 都小于 ,则a+b+ca+b;(2)由(1),运用类比推理,若 |a|a+b+c;(3)由(1)(2),运用归纳推理,猜想出一个更一般性的结论(不要求证明) .解: (1)由 a
6、b+1-a-b=(a-1)(b-1)0,得 ab+1a+b;(2)由(1)得( ab)c+1ab+c,所以 abc+2=(ab)c+1+1(ab+c)+1=(ab+1)+ca+b+c;(3)若 |ai|a1+a2+a3+an.19.(本小题满分 12 分)设 f( )=sinn+ cosn ,n n|n=2k,kN *(1)分别求 f( )在 n=2,4,6 时的值域;(2)根据(1)中的结论,对 n=2k(kN *)时, f( )的取值范围作出一个猜想(只需写出猜想,不必证明) .解: (1)当 n=2 时, f( )=sin2+ cos2= 1,所以 f( )的值域为1;当 n=4 时,
7、f( )=sin4+ cos4= (sin2+ cos2 )2-2sin2 cos2= 1- sin22 ,此时有 f( )1,所以 f( )的值域为 ;当 n=6 时, f( )=sin6+ cos6=(sin2+ cos2 )(sin4+ cos4- sin2 cos2 )=1-3sin2 cos2= 1- sin22 ,此时有 f( )1,所以 f( )的值域为 .(2)由以上结论猜想,当 n=2k(kN *)时, f( )的值域是 .20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x2+ (x0),若 P(x1,y1),Q(x2,y2)(00,使得 f(x0)= ,证明: x10).
8、又 =x2+x1- ,所以 2x0- =x2+x1- . 若 x0 x2,则 2x0x1+x2,- - ,所以 2x0- x2+x1- ,与 矛盾;若 x0 x1,同理可得 2x0- ,(1-b)c ,(1-c)a .将以上三式相乘,得(1 -a)b(1-b)c(1-c)a ,即(1 -a)a(1-b)b(1-c)c .又因为(1 -a)a ,同理,(1 -b)b ,(1-c)c ,所以(1 -a)a(1-b)b(1-c)c ,与(1 -a)a(1-b)b(1-c)c 矛盾 .因此假设不成立,所以(1 -a)b,(1-b)c,(1-c)a 三个数不可能同时大于 .22. 导学号 4029401
9、9(本小题满分 12 分)如图,设 A 是由 nn 个实数组成的 n行 n 列的数表,其中 aij(i,j=1,2,3,n)表示位于第 i 行第 j 列的实数,且 aij1, -1.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合 .对于 A S(n,n),记 ri(A)为 A 的第 i 行各数之积, cj(A)为 A 的第 j 列各数之积 .令 l(A)= ri(A)+ cj(A).a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann- 7 -(1)对如下数表 A S(4,4),求 l(A)的值;1 1 -1 -11 -1 1 11 -1 -1 1-1 -1 1 1(2)证明存在 A
10、 S(n,n),使得 l(A)=2n-4k,其中 k=0,1,2,n;(3)给定 n 为奇数,对于所有的 A S(n,n),证明 l(A)0 .(1)解: r1(A)=r3(A)=r4(A)=1,r2(A)=-1;c1(A)=c2(A)=c4(A)=-1,c3(A)=1,所以 l(A)= ri(A)+ cj(A)=0.(2) 证明: 数表 A0中 aij=1(i,j=1,2,3,n),显然 l(A0)=2n.将数表 A0中的 a11由 1 变为 -1,得到数表 A1,显然 l(A1)=2n-4.将数表 A1中的 a22由 1 变为 -1,得到数表 A2,显然 l(A2)=2n-8.依此类推,将
11、数表 Ak-1中的 akk由 1 变为 -1,得到数表 Ak.即数表 Ak满足: a11=a22=akk=-1(1 k n),其余 aij=1.所以 r1(A)=r2(A)=rk(A)=-1,c1(A)=c2(A)=ck(A)=-1.所以 l(Ak)=2(-1)k+(n-k)=2n-4k,其中 k=0,1,2,n;【注:数表 Ak不唯一】(3) 证明: (反证法)假设存在 A S(n,n),其中 n 为奇数,使得 l(A)=0.因为 ri(A)1, -1,cj(A)1, -1(1 i n,1 j n),所以 r1(A),r2(A),rn(A),c1(A),c2(A),cn(A)这 2n 个数中有 n 个 1,n 个 -1.令 M=r1(A)r2(A)rn(A)c1(A)c2(A)cn(A).一方面,由于这 2n 个数中有 n 个 1,n 个 -1,从而 M=(-1)n=-1. 另一方面, r1(A)r2(A)rn(A)表示数表中所有元素之积(记这 n2个实数之积为 m);c1(A)c2(A)cn(A)也表示 m,从而 M=m2=1. 相互矛盾,从而不存在 A S(n,n),使得 l(A)=0.即当 n 为奇数时,必有 l(A)0 .- 8 -
