1、- 1 -定远重点中学 2019 届高三下学期第一次模拟卷理科数学全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
2、1.设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 2.已知 ， 是虚数单位，若 ， ，则 为（ ）A. 或 B. C. D. 不存在的实数3.“ ”是“ ”的（ ）A. 充要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件4.记数列 的前 项和为 .已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 5.执行如图所示的程序框图，若输出的 ，则判断框内应填入的条件是（ ）- 2 -A. B. C. D. 6.已知双曲线 ,四点 ， 中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 7.2018 年 1 月 31 日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、
3、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在 19 时 48 分,20 时 51 分食既,食甚时刻为 21 时 31 分,22 时 08 分生光,直至 23 时12 分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在 19:55 至 21：56 之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过 30 分钟的概率是（ ）A. B. C. D. 8.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）- 3 -A. 4 B. C. D. 29.设实数 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
4、A. B. C. D. 10.函数 （其中 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A. B. C. D. 11.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）ab12b3,2aabA. B. C. 27 15D. 512.定义：如果函数 的导函数为 ，在区间 上存在 ， 使得， ，则称 为区间 上的“双中值函数“已知函数是 上的“双中值函数“，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第 II 卷（非选择题 90 分）- 4 -二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 则 _14.若随机变量 ，则 ， .已知随机变量 ，则 _15.在 中， 是 边上一点， 的面积为
5、 ， ABC,5,6ACDB2,CDA2为锐角，则 _D16.已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆上一点 作直线 交椭圆于两点，且斜率分别为 ，若点 关于原点对称，则 的值为_.三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分) 17. （本小题满分 12 分）在锐角 中, （I）求角 ；()若 ,求 的取值范围.18. （本小题满分 12 分）已知数列 an满足 a11， an1 an （c0， nN*），（）证明： an1 an1；（）若对任意 nN*，都有 ,证明：（）对于任意 mN*，当 n m 时，（）19. （本小题满分 12 分）如图，在多面体 中，底面 是梯形，, ，平面 平面 ，四边形 是
6、菱形，.- 5 -（1）求证： ；（2）求二面角 的平面角的正切值.20. （本小题满分 12 分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在 15 65 岁的人群中随机调查 100 人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄支持“延迟退休”的人数15 5 15 28 17（1）由以上统计数据填 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45 岁以下
7、45 岁以上 总计支持- 6 -不支持总计（2）若以 45 岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取 8 人参加某项活动.现从这 8 人中随机抽 2 人抽到 1 人是 45 岁以下时，求抽到的另一人是 45 岁以上的概率.记抽到 45 岁以上的人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望.21. （本小题满分 12 分）已知函数 21ln,fxaxR（1）令 ，讨论 的单调区间；1gxfaxg（2）若 ，正实数 满足 ，证明 a12,1210fxfx125x22. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若不等式 的解集非空，求
8、的取值范围.- 7 -参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B A C A A C C B B D A D13.2414.0.818515. .8516.17.() （）分析：（）由题根据余弦定理化简所给条件可得 ，所以 ，根据角的范围可得角 A；（）由题根据所给条件可得 ，根据正弦定理可得，所以 ，然后根据可得 bc 的范围解析：（1）由且 4 分（2） 又8 分12 分18.分析：（）由题意，可采用数学归纳法，以及放缩法对不等式进行证明，从而问题可得解；- 8 -（）在第（i）中，根据（）的结论，采用放缩法对数列的通项进行放大，再用累加法进行求解即可；在第（ii）中，
9、对参数 进行分段讨论，结合（i）中的结论，从而问题可得解.解析：（）因为 c0，所以 an1 an an（ nN*），下面用数学归纳法证明 an1当 n1 时， a111；假设当 n k 时， ak1，则当 n k1 时， ak1 ak ak1所以，当 nN*时， an1所以 an1 an1 （）（）当 n m 时， an am，所以 an1 an an ，所以 an1 an ，累加得 an am (n m)，所以 （）若 ，当 时，所以 所以当 时， 所以当 时， ，矛盾所以 因为 ，所以 19.分析：(1 依题意，在等腰梯形 中， ， ，利用勾股定理可证，又平面 平面 ，故 ，即得 ，由四
10、边形 ACEF是菱形， ，可证 即可证明 ；- 9 -(2 取 的中点 ，可证 ，以 、 、 分别为 、 、轴建立空间直角坐标系，求得平面 BEF 和平面 DEF 的一个法向量，由向量夹角公式得到二面角 的平面角的余弦值，进而得到二面角 的平面角的正切值.详解：(1 题意，在等腰梯形 中， ， ， ， 连接 ，四边形 ACEF 是菱形， ，(2 取 的中点 ，连接 ，因为四边形 是菱形，且 .所以由平面几何易知 ， ，. 故此可以 、 、 分别为 、 、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：设平面 BEF 和平面 DEF 的法向量分别为同理，故二面角 的平面角的正切值为20.分析：（1）根据
11、频率分布直方图得到 45 岁以下与 45 岁以上的人数，由此可得列联表，- 10 -求得 后在结合临界值表可得结论（2）结合条件概率的计算方法求解；由题意可得的可能取值为 0,1,2，分别求出对应的概率后可得分布列和期望详解：（1）由频率分布直方图知 45 岁以下与 45 岁以上各 50 人，故可得 列联表如下：45 岁以下 45 岁以上 总计支持 35 45 80不支持 15 5 20总计 50 50 100由列联表可得 ，所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异（2）设“抽到 1 人是 45 岁以下”为事件 A，“抽
12、到的另一人是 45 岁以上”为事件 B，则 , ,即抽到 1 人是 45 岁以下时，求抽到的另一人是 45 岁以上的概率为 从不支持“延迟退休”的人中抽取 8 人，则 45 岁以下的应抽 6 人，45 岁以上的应抽 2人由题意得 的可能取值为 0,1,2.， ， .故随机变量 的分布列为：0 1 2所以 .- 11 -21.（1）当 时，函数单调递增区间为 ，无递减区间，当 时，函数单调递0a0,0a增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）证明见解析.,1,a分析：（1）化简 ， ，对 分成2lngxx21axga和 两类讨论 的单调区间；（2）当 时，0a， 转化为2ln,0fxx1210fxf
13、x，令 ，利用导数求得12121ln,lnttt，又 ，故 ，由 可知1212xx120x125x120,x.0解析：（1） ，21ln1gxfaxax所以 ，21ax当 时，因为 ，所以 ，即 在 单调递增，000ggx0,当 时， ，令 ，得 ，a1axgx1a所以当 时， ， 单调递增，10,x0xg当 时， 单调递减，,a,g综上，当 时，函数单调递增区间为 ，无递减区间；00,当 时，函数单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；a1,a1,a（2）当 时， ，2ln,0fxx- 12 -由 可得 ，1210fxfx2211ln0xx即 ，22令 ，则 ，12,lntxtt1tt则 在区间
14、 上单调递减，在区间 上单调递增，0, ,所以 ，所以 ，t2112xx又 ，故 ，120x125由 可知 ,120x22.（1） （2）分析：（1）求出 的分段函数的形式，解不等式 可分 与 ， 三类讨论即可解得不等式 的解集；（2）原式等价于存在 ，使 成立，即 ，设 ，求出 的最大值即可得到 的取值范围.详解：（1）当 时， ，无解当 时， 当 时， 综上所述 的解集为 . （2）原式等价于存在 ，使成立，即 设由（1）知 当 时， ，其开口向下，对称轴为 x= -1,所以 g(x) g(-1)=-8,当-1x5,开口向下，对称轴 x= ,所以 g(x)g( )=- 13 -当 x 5 时，开口向下，对称轴 x= 5，所以 g(x)g(5)=-14，综上所述，t 的取值范围为（-，- .
