1、7.2 等差数列及其前n项和,第七章 数列与数学归纳法,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 .,ZHISHISHULI,公差,从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,d,ana1(n1)d,3.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的 .
2、 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam (n，mN*). (2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则 .,(nm)d,akalaman,等差中项,(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 . (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列. (5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 的等差数列. (6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列.,2d,md,5.等差数列的前n项和公式 设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn 或Sn . 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系,
3、数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数). 7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最 值.,大,小,【概念方法微思考】,提示 充要条件.,2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？,提示 不一定.当公差d0时，Snna1，不是关于n的二次函数.,3.如何推导等差数列的前n项和公式？,提示 利用倒序相加法.,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( ) (2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.( ) (3)等差数列的前n项和公式是常数
4、项为0的二次函数.( ) (4)已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差为2.( ) (5)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.( ) (6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.P46A组T2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于 A.31 B.32 C.33 D.34,1,2,3,4,5,6,3.P39T5在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.,180,1,2,3,4,
5、5,6,解析 由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450， a590， a2a82a5180.,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,5.若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大.,8,解析 因为数列an是等差数列，且a7a8a93a80，所以a80. 又a7a10a8a90，所以a90. 故当n8时，其前n项和最大.,解析 设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.,6.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落
6、9.80 m，那么经过_秒落到地面.,1,2,3,4,5,6,20,即4.90t21 960，解得t20.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 等差数列基本量的运算,1.(2018全国)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5等于 A.12 B.10 C.10 D.12,自主演练,解析 设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，,将a12代入上式，解得d3， 故a5a1(51)d24(3)10.故选B.,2.(2018湖州德清县、长兴县、安吉县期中)已知等差数列an的公差为d，前n项的和为Sn，若a44，a2a810，则d_，an_.,解析 由题意得a2
7、a82a510，所以a55， 则等差数列an的公差da5a4541，ana4(n4)dn.,1 n,(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个. (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.,题型二 等差数列的判定与证明,例1 在数列an中，a12，an是1与anan1的等差中项.,师生共研,解 an是1与anan1的等差中项，,等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数. (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2. (3)通项公式法：得出anpnq后
8、，再根据定义判定数列an为等差数列. (4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，再使用定义法证明数列an为等差数列.,跟踪训练1 (2018温州市高考适应性测试)已知数列an的前n项积为Tn，且Tn1an.,题型三 等差数列性质的应用,命题点1 等差数列项的性质 例2 已知an为等差数列，a2a818，则an的前9项和S9等于 A.9 B.17 C.72 D.81,多维探究,解析 由等差数列的性质可得，a1a9a2a818，,命题点2 等差数列前n项和的性质 例3 (1)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57，S1021，则S15等于 A.35 B.42 C.49 D.63,解析 在等差
9、数列an中，S5，S10S5，S15S10成等差数列， 即7,14，S1521成等差数列， 所以7(S1521)214， 解得S1542.,等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq. (2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则 S2nn(a1a2n)n(anan1)； S2n1(2n1)an.,跟踪训练2 (1)已知等差数列an，a22，a3a5a715，则数列an的公差d等于 A.0 B.1 C.1 D.2,解析 a3a5a7 3a515， a55，a5a233d， 可得d1，故选B.,(2)(2018金华模拟)设等差数
10、列an的前n项和为Sn，若S130，S140，则Sn取最大值时n的值为 A.6 B.7 C.8 D.13,解析 根据S130，S140，a1a14a7a80，a80， 所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S23，S4S631，则S8S10等于 A.91 B.85 C.78 D.55,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 方法一 设an的公差为d，,1,2,3,4,5,6,7,8,9
11、,10,11,12,13,14,15,16,方法二 因为an是等差数列，所以可设Snan2bn，则,2.(2018嘉兴基础测试)在等差数列an中，a13，a1a2a321，则a3a4a5等于 A.45 B.42 C.21 D.84,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 根据等差数列的性质，可得a1a2a33a221，a27， 设等差数列an的公差为d， 又a13，d4， a3a4a53a43a26d212445，故选A.,3.(2018温州市适应性测试)已知数列an是公差不为0的等差数列，bn2an，数列bn的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为
12、A，B，C，则 A.ABC B.B2AC C.(AB)CB2 D.(BA)2A(CB),解析 令ann，则bn2n，设数列bn的前n项和为Sn， 令AS12， 则BS221226，CS321222314，可以排除选项A，B，C，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子
13、分得斤数为 A.65 B.176 C.183 D.184,解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an，其中d17，n8，S8996.,由等差数列通项公式得a865(81)17184.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2018浙江杭州二中期中)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An 和Bn，且 ，则使得为整数的正整数n的个数是A.5 B.4 C.3 D.2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由等差数列前n项和性质知，,6.在等差数列an中，若 0时，n的最小值为 A.1
14、4 B.15 C.16 D.17,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 数列an是等差数列，它的前n项和Sn有最小值， 公差d0，首项a10，an为递增数列.,由等差数列的性质知，2a8a1a150.,7.(2018绍兴教学质量调测)已知数列an中，a33，an1an2，则a2a4_，an_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6 2n3,解析 因为an1an2，所以an为等差数列， 所以公差d2， 由a12d3得a11， 所以
15、an1(n1)22n3，a2a42a36.,8.在等差数列an中，若a7 ，则sin 2a1cos a1sin 2a13cos a13_.,解析 根据题意可得a1a132a7， 2a12a134a72， 所以有sin 2a1cos a1sin 2a13cos a13 sin 2a1sin(22a1)cos a1cos(a1)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0,解析 依题意得a6S6S50，a7S7S60，则使an0的最大正整数n6，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.(2018浙江省部分重点中学
16、调研)设等差数列an的前n项和为Sn，若S6S7 S5，则使an0的最大正整数n_，满足SkSk10的正整数k_.,6 12,所以S12S130，即满足SkSk10的正整数k12.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(n23n3)2,an(n23n3)2，n1时也成立. an(n23n3)2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)证明：数列bn是等差数列；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求数列an的通项公式.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
17、,11,12,13,14,15,16,(1)求an和Sn；,a4a2(a3a5)2a4， 因此有1a22，a23，2d4，d2，a15， 因此有an2n7，Snn26n.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,易知仅当t1时，n为正整数，m为正整数， 因此可得m2时成立.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
18、,11,12,13,14,15,16,(tan a8tan a7tan a7tan a6tan a2tan a1)7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018宁波模拟)已知an，bn是公差分别为d1，d2的等差数列，且Ananbn，Bnanbn，若A11，A23，则An_；若Bn为等差数列，则d1d2_.,2n1,0,解析 因为an，bn是公差分别为d1，d2的等差数列，所以An也为等差数列，所以An1(n1)22n1， Bna1(n1)d1b1(n1)d2 d1d2n2(a1d2b1d12d1d2)n(a1d1)(b1d2)， 因为Bn为
19、等差数列，所以由等差数列的通项公式的特征可知d1d20.,15.(2019绍兴期中)已知数列an的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列(其中d1，d2为整数)，且对任意nN*，都有anan1，若a11，a22，且数列an的前10项和S1075，则d1_，a8_.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3 11,解析 因为a11，a22，所以a31d1，a42d2，a512d1， 对任意nN*，都有ana2，即1d12，解得d11；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
20、所以d1d26，所以d26d1，,又d1，d2为整数，所以d13，所以d23. 所以a82(41)d223311.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以a13a2(2n1)an2n， 所以a13a2(2n3)an12n2(n2，nN*)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当n1时，a12，符合上式，,所以b13b23n1bn3n， 所以b13b23n2bn13n3(n2，nN*)， 两式相减得bn32n(n2，nN*). 当n1时，b13，符合上式， 所以bn32n(nN*). 所以cn(2k)n2k1. 因为对任意的正整数n都有SnS6，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
