1、1第 1 讲 等差数列与等比数列(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号等差数列、等比数列的基本运算 1,2,3,4,5,7,8等差数列、等比数列的性质 9,10等差数列、等比数列的证明 11,12等差数列、等比数列的综合 6,11,12一、选择题1.(2018吉林省百校联盟联考)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 2a11=a9+7,则 S25等于( D )(A) (B)145 (C) (D)1751452 1752解析:由题意可得 2a11=a9+a13,所以 a13=7,所以S25= 25= 25=25a13=257=175.选 D.2.(2018天津南开中学模拟)
2、已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3= ,a2+a4= ,则52 54等于( D )(A)4n-1 (B)4n-1(C)2n-1 (D)2n-1解析:设等比数列a n的公比为 q,所以 q= = ,2+41+312所以 a1+a3=a1(1+q2)=a1(1+ )= ,14 52解得 a1=2,an=2( )n-1=( )n-2,12 12Sn= =4(1- ),2(112)112所以 = =2n-1.故选 D.3.(2018淄博二模)已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn,且满足 a2,2a5,3a8成等差数列,则2等于( A )(A) 或 (B) 或 3 (C) (D
3、) 或94 32 1312 94 131232解析:设等比数列a n的公比为 q,由题意得 4a5=a2+3a8,即 4a1q4=a1q+3a1q7,可得 3q6-4q3+1=0,解得 q3=1 或 q3= ,13所以 = 或 = .32 33694故选 A.4.(2018辽宁大连八中模拟)若记等比数列a n的前 n 项和为 Sn,a1=2,S3=6,则 S4等于( C )(A)10 或 8 (B)-10(C)-10 或 8 (D)-10 或-8解析:由等比数列求和公式,当 q1 时得S3= = =6,1(13)1 2(1)(1+2)1所以 q2+q-2=0,所以 q=-2 或 q=1(舍去)
4、,当 q=-2 时,S 4= =-10,当 q=1 时,S 4=4a1=8.故选 C.5.(2018云南玉溪高三适应性训练)程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996 斤棉花,分别赠送给 8 个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多 17 斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为( B )(A)65 斤 (B)184 斤 (C)183 斤 (D)176 斤解析:由题意可得,8 个孩子所得的棉花构成公差为 17 的等差数列,且前 8 项和为 996,设首
5、项为 a1,结合等差数列前 n 项和公式有S8=8a1+ d=8a1+2817=996.872解得 a1=65,则 a8=a1+7d=65+717=184(斤).即第八个孩子分得斤数为 184 斤.故选 B.6.(2018安徽江南十校二模)已知等差数列a n的公差为 d,前 n 项和为 Sn, =a2 +a2 017且 =d ,则 S2 018等于( B )(A)0 (B)1 009 (C)2 017 (D)2 0183解析:因为 =d ,所以 - =d( - ),即 =(1+d) -d ,又 =a2 +a2 017 ,所以所以 1=1,= 12 017,所以 S2 018= =1 009(1
6、+1+2 017d)=1 009.故选 B.7.(2018百校联盟联考)我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是“现有一根金杖,长 5 尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下 1 尺,重 4 斤;在细的一端截下 1 尺,重 2 斤.问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为 M,现将该金杖截成长度相等的 10段,记第 i 段的重量为 ai(i=1,2,10),且 a10,所以(a 2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)0,因为 2n+12n,所以|a 2n+1-a2n|a2n-a2n-1|,所以
7、 a2n+1-a2n0(n2),又 a3-a1=50,所以 a2n+1-a2n0(n1)成立,由a 2n是递减数列,所以 a2n+2-a2nTn对于任意的 nN *恒成立,求角 B 的取值范围.解:(1)因为 an=2an-1+2n,两边同时除以 2n,可得 = +1,2所以 - =1,2又 =1,所以数列 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列;2所以 =1+(n-1)1=n,2所以 an=n2n.(2)由(1)知,a n=n2n,则 bn=log2 =n,所以 = = - ,所以 Tn=1- + - + - + - =1- Tn对于任意 nN *恒成立,所以 2sin B1,6即 sin B ,12又 B(0,),所以 B ,56所以 B , .56
