1、专题四 数 列 第1讲 等差数列与等比数列,高考导航,热点突破,备选例题,阅卷评析,1.(2018全国卷,理4)设Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5等于( ) (A)-12 (B)-10 (C)10 (D)12,高考导航 演真题明备考,真题体验,B,2.(2017全国卷,理3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) (A)1盏 (B)3盏 (C)5盏 (D)9盏,B,3.(2016全国卷,理3
2、)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100等于( ) (A)100 (B)99 (C)98 (D)97,C,4.(2017全国卷,理4)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8,C,5.(2017全国卷,理9)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为( ) (A)-24 (B)-3 (C)3 (D)8,A,6.(2016全国卷,理15)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为 .,答案:64,7.(2018全国卷,理
3、14)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6= .,答案:-63,8.(2018全国卷,理17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式;,解:(1)设an的公差为d, 由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-9.,(2)求Sn,并求Sn的最小值.,考情分析,1.考查角度 考查等差数列、等比数列基本量的计算,考查等差数列、等比数列性质的应用,考查等差数列、等比数列的判断与证明等. 2.题型及难易度 选择题、填空题、解答题均有,难度中等偏下.,热点突破 剖典例促迁移,
4、热点一,等差、等比数列的基本运算,【例1】 (1)(2018山东济南二模)已知an是公差为2的等差数列,Sn为数列an的前n项和,若S5=15,则a5等于( ) (A)3 (B)5 (C)7 (D)9,(3)(2018福建百校高三临考冲刺)若干个连续奇数的和3+5+7+(4n-1)等于( ) (A)2n2+n (B)n2+2n (C)4n2+2n (D)4n2-1,方法技巧 解等差数列、等比数列基本运算问题的基本思想是方程思想,即通过等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式得出基本量(等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比),然后再通过相关公式求得结果.,热点二,等差、等比数列的性质,【
5、例2】 (1)(2018山东青岛二模)已知等差数列an中,若a4=15,则它的前7项和为( ) (A)120 (B)115 (C)110 (D)105,(2)(2018东北四市一模)等差数列an中,已知|a6|=|a11|,且公差d0,则其前n项和取最小值时的n的值为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9,解析:(2)等差数列的公差为正数,则a11=-a6, 所以a6+a11=a8+a9=0, 据此可得a80,故其前n项和取最小值时的n的值为8.选C.,(4)(2018浙江温州市一模)已知数列an是公差不为0的等差数列,bn=数列bn的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A,B,C,则
6、( ) (A)A+B=C (B)B2=AC (C)(A+B)-C=B2 (D)(B-A)2=A(C-B),解析:(4)因为an是公差不为0的等差数列, 所以bn是公比不为1的等比数列,由等比数列的性质,可得A,B-A,C-B成等比数列, 所以可得(B-A)2=A(C-B).故选D.,(2)等比数列的主要性质:若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq,特别是m+n=2p (m,n,pN*)时,aman=;把公比不等于-1的等比数列等距分段后,各段之和还是等比数列,若公比等于1,则各段之和既成等比数列也成等差数列.,热点训练2:(1)(2018辽宁沈阳育才学校一模)在等差数列a
7、n中,Sn为其前n项和,若a3+a4+a8=25,则S9等于( ) (A)60 (B)75 (C)90 (D)105,答案:(1)B,(2)若等差数列an满足a7+a8+a90,a7+a100,a7+a10=a8+a90,a90, 所以n=8时,数列an的前n项和最大. 答案:(2)8,热点三,等差数列、等比数列的判定,(2)(2018云南玉溪高三适应训练)已知数列an满足Sn=2an-n(nN*). 证明:an+1是等比数列;,求a1+a3+a5+a2n+1(nN*).,是否存在实数,使得数列an为等比数列,若存在,求出;若不存在,说明理由.,热点四,等差、等比数列的综合,【例4】 (201
8、8郑州三模)已知等差数列an的公差d0,其前n项和为Sn,若a2+a8=22,且a4,a7,a12成等比数列. (1)求数列an的通项公式;,方法技巧 解等差数列、等比数列综合题的基本思想是方程思想,即列出等差数列、等比数列基本量的方程或者方程组,解方程或者方程组求得基本量,求出等差数列、等比数列的通项公式,在此基础上求解其他问题.,备选例题 挖内涵寻思路,(2)求an+bn的前n项和.,【例3】 (2018湖南岳阳一中一模)已知数列an的首项a1=1,其前n项和为Sn,且对任意正整数n,有n,an,Sn成等差数列. (1)求证:数列Sn+n+2成等比数列;,(1)证明:因为n,an,Sn成等
9、差数列, 所以2an=n+Sn, 又an=Sn-Sn-1(n2), 所以2(Sn-Sn-1)=n+Sn,即Sn=2Sn-1+n, 所以Sn+n+2=2Sn-1+2n+2, 即Sn+n+2=2Sn-1+(n-1)+2. 又因为S1+1+2=40, 所以Sn+n+2是首项为4,公比为2的等比数列.,(2)设bn=nan,求数列bn前n项和Tn.,【例4】 (2018江西二模)已知等差数列an的公差d0,a1=0,其前n项和为Sn,且a2+2,S3,S4成等比数列.,阅卷评析 抓关键练规范,【典例】 (2018全国卷,理17)(12分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式;,解:(1)因为等比数列an中,a1=1,a5=4a3, 所以1q4=4(1q2),2分 解得q=2,3分 当q=2时,an=2n-1,4分 当q=-2时,an=(-2)n-1,5分 所以an的通项公式为an=2n-1或an=(-2)n-1.6分,(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.,【答题启示】 (1)在等差、等比数列的通项公式与前n项和公式中,有五个量,利用方程思想可“知三求二”. (2)在等比数列中要注意对公比q的值讨论,而本题易忽略q=-2时的情况,另外在数列中nN*.,
