1、19.1 直线的方程最新考纲 考情考向分析1.理解平面直角坐标系，理解直线的倾斜角与斜率的概念.2.掌握直线方程的点斜式、两点式及一般式，了解直线方程与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点.题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.1.直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.(2)范围：直线 l 倾斜角的范围是0，180).2.斜率公式(1)若直线 l 的倾斜角
2、90，则斜率 ktan .(2)P1(x1， y1)， P2(x2， y2)在直线 l 上且 x1 x2，则 l 的斜率 k .y2 y1x2 x13.直线方程的五种形式名称 方程 适用范围点斜式 y y0 k(x x0) 不含直线 x x0斜截式 y kx b 不含垂直于 x 轴的直线两点式 y y1y2 y1 x x1x2 x1(x1 x2， y1 y2)不含直线 x x1和直线 y y1截距式 1( ab0)xa yb 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax By C0(A2 B20)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率 k 就
3、越大吗？提示 倾斜角 0，)，当 时，斜率 k 不存在；因为 ktan .当 2 ( 2)2 时， 越大，斜率 k 就越大，同样 时也是如此，但当 (0，)且(0， 2) ( 2， ) 时就不是了. 22.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( )(2)若直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 .( )(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等
4、.( )(4)经过任意两个不同的点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程( y y1)(x2 x1)( x x1)(y2 y1)表示.( )题组二 教材改编2.P86T3若过点 M(2， m)， N(m，4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( )A.1B.4C.1 或 3D.1 或 4答案 A解析 由题意得 1，解得 m1.m 4 2 m3.P100A 组 T9过点 P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.答案 3 x2 y0 或 x y50解析 当截距为 0 时，直线方程为 3x2 y0；当截距不为 0 时，设直线方程为 1，xa ya则 1，解得 a5
5、.所以直线方程为 x y50.2a 3a题组三 易错自纠4.直线 x( a21) y10 的倾斜角的取值范围是( )A. B.0， 4 34， )C. D. 0， 4 ( 2， ) 4， 2) 34， )3答案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为 ，1a2 1又1 0，在 y 轴上的截距 0，故直线CA CB经过第一、二、四象限，不经过第三象限.6.过直线 l： y x 上的点 P(2，2)作直线 m，若直线 l， m 与 x 轴围成的三角形的面积为 2，则直线 m 的方程为.答案 x2 y20 或 x2解析 若直线 m 的斜率不存在，则直线 m 的方程为 x2，直线 m，直线 l 和 x
6、轴围成的三角形的面积为 2，符合题意；若直线 m 的斜率 k0，则直线 m 与 x 轴没有交点，不符合题意；若直线 m 的斜率 k0，设其方程为 y2 k(x2)，令 y0，得 x2 ，依题意有 2k 1222，即 1，解得 k ，所以直线 m 的方程为 y2 (x2)，即|22k| |1 1k| 12 12x2 y20.综上可知，直线 m 的方程为 x2 y20 或 x2.题型一 直线的倾斜角与斜率例 1 (1)直线 xsin y20 的倾斜角的范围是( )A.0，) B. 0， 4 34， )C. D. 0， 4 0， 4 2， )答案 B解析 设直线的倾斜角为 ，则有 tan sin ，
7、又 sin 1，1， 0，)，所以 0 或 0， b0，直线 l 的方程为 1，所以 1.xa yb 2a 1b| | | ( a2，1)(2， b1)MA MB MA MB 2( a2) b12 a b5(2 a b) 5 4，(2a 1b) 2ba 2ab当且仅当 a b3 时取等号，此时直线 l 的方程为 x y30.命题点 2 由直线方程解决参数问题例 4 已知直线 l1： ax2 y2 a4， l2：2 x a2y2 a24，当 00， b0)，xa yb因为直线 l 经过点 P(4，1)，所以 1.4a 1b(1) 12 ，4a 1b 4a1b 4ab所以 ab16，当且仅当 a8
8、， b2 时等号成立，所以当 a8， b2 时， AOB 的面积最小，此时直线 l 的方程为 1，即 x4 y80.x8 y2(2)因为 1， a0， b0，4a 1b所以| OA| OB| a b( a b) 5 52 9，当且仅当(4a 1b) ab 4ba ab4baa6， b3 时等号成立，所以当| OA| OB|取最小值时，直线 l 的方程为 1，即x6 y3x2 y60.1.(2018浙江省东阳中学期中)下列四条直线中，倾斜角最大的是( )A.y x1 B.y2 x19C.y x1 D.x1答案 C解析 直线方程 y x1 的斜率为 1，倾斜角为 45，直线方程 y2 x1 的斜率
9、为 2，倾斜角为 (600， b0 时， a0，所以 A ， B(0，12 k)，(1 2kk ， 0)故 S |OA|OB| (12 k)12 12 1 2kk (44)4，12(4k 1k 4) 12当且仅当 4k ，即 k 时取等号，1k 12故 S 的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 x2 y40.13.过点 A(3，1)且在两坐标轴上截距相等的直线有( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条答案 B解析 当所求的直线与两坐标轴的截距都不为 0 时，设该直线的方程为 x y a，把(3，1)代入所设的方程得 a2，则所求直线的方程为 x y2，即 x y20；当所求的直线
10、与两坐标轴的截距为 0 时，设该直线的方程为 y kx，把(3，1)代入所设的方程得 k ，13则所求直线的方程为 y x，即 x3 y0.13综上，所求直线的方程为 x y20 或 x3 y0，故选 B.14.设点 A(2，3)， B(3，2)，若直线 ax y20 与线段 AB 没有交点，则 a 的取值范围是( )A. B.( ， 52 43， ) ( 43， 52)C. D. 52， 43 ( ， 43 52， )答案 B14解析 直线 ax y20 恒过点 M(0，2)，且斜率为 a， kMA ， kMB ，3 2 2 0 52 2 23 0 43结合题意可知 a ，且 a0， c0)恒过点 P(1， m)，且 Q(4，0)到动直线 l0的最大距离为 3，求 的最小值.12a 2c解 动直线 l0： ax by c30( a0， c0)恒过点 P(1， m)， a bm c30.又 Q(4，0)到动直线 l0的最大距离为 3， 3，解得 m0. a c3.4 12 m2则 (a c) ，12a 2c 13 (12a 2c) 13(52 c2a 2ac) 13(52 2 c2a2ac) 32当且仅当 c2 a2 时取等号. 的最小值为 .12a 2c 3215
