1、19.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲 考情考向分析1.会解决直线与圆的位置关系的问题.2.会判断圆与圆的位置关系.考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等.题型以选择、填空题为主，要求相对较低.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系.dr相离.(2)代数法： Error! 判 别 式 b2 4ac2.圆与圆的位置关系设圆 O1：( x a1)2( y b1)2 r (r10)，21圆 O2：( x a2)2( y b2)2 r (r20).2方法位置关系几何法：圆心
2、距 d 与 r1， r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 dr1 r2 无解外切 d r1 r2 一组实数解相交 |r1 r2|2，点 A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直3 12 5 22 13线与圆相切，即切线方程为 x30，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y5 k(x3)，即 kx y53 k0.又圆心为(1，2)，半径 r2，而圆心到切线的距离d 2，|3 2k|k2 1即|32 k|2 ， k ，k2 1512故所求切线方程为 5x12 y450 或 x30.题型一 直线与圆的位置关系命题点 1 位置关系的判断例 1 在 ABC 中，若 asinA
3、bsinB csinC0，则圆 C： x2 y21 与直线l： ax by c0 的位置关系是( )A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定答案 A解析 因为 asinA bsinB csinC0，4所以由正弦定理得 a2 b2 c20.故圆心 C(0，0)到直线 l： ax by c0 的距离 d 1 r，故圆 C： x2 y21 与|c|a2 b2直线 l： ax by c0 相切，故选 A.命题点 2 弦长问题例 2 若 a2 b22 c2(c0)，则直线 ax by c0 被圆 x2 y21 所截得的弦长为( )A. B.1C. D.12 22 2答案 D解析 因为圆心(0，0)到直线
4、 ax by c0 的距离 d ，因此根据直|c|a2 b2 |c|2|c| 22角三角形的关系，弦长的一半就等于 ，所以弦长为 .12 (22)2 22 2命题点 3 切线问题例 3 已知圆 C：( x1) 2( y2) 210，求满足下列条件的圆的切线方程.(1)与直线 l1： x y40 平行；(2)与直线 l2： x2 y40 垂直；(3)过切点 A(4，1).解 (1)设切线方程为 x y b0，则 ， b12 ，|1 2 b|2 10 5切线方程为 x y12 0.5(2)设切线方程为 2x y m0，则 ， m5 ，|2 2 m|5 10 2切线方程为 2x y5 0.2(3)
5、kAC ， 2 11 4 13过切点 A(4，1)的切线斜率为3，过切点 A(4，1)的切线方程为 y13( x4)，即 3x y110.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法几何法：利用 d 与 r 的关系.代数法：联立方程之后利用 判断.点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.5(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.跟踪训练 1 (1)(2018浙江名校联盟联考)已知
6、直线 l： y ax b(a0)，圆C： x2 y22 x0，且 a2 b212 ab，则直线 l 与圆 C 的位置关系是( )A.相离 B.不确定C.相切 D.相交答案 D解析 联立直线 l 的方程与圆的方程可得Error!(a21) x2(2 ab2) x b20， 48 ab4 b2.12 ab a2 b2， 4 a20.故直线 l 与圆 C 相交.(2)(2018浙江省台州市适应性考试)在直线 l： y kx1 截圆 C： x2 y22 x30 所得的弦中，最短弦的长度为_.答案 2 2解析 直线 l 是直线系，过定点(0，1)，定点(0，1)在圆 C 内，要使直线 l： y kx1
7、截圆C：( x1) 2 y24 所得的弦最短，必须使圆心(1，0)和定点(0，1)的连线与弦所在直线垂直，此时定点和圆心的连线，圆心和弦的一个端点的连线与弦的一半围成一个直角三角形，因为圆心与定点之间的距离为 ，半径为 2，所以最短弦的长度为 20 12 1 02 22 .22 22 2(3)过点 P(2，4)引圆( x1) 2( y1) 21 的切线，则切线方程为_.答案 x2 或 4x3 y40解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为 x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为 y4 k(x2)，即 kx y42 k0，直线与圆相切，圆心到
8、直线的距离等于半径，即 d 1，解得 k ，|k 1 4 2k|k2 12 |3 k|k2 1 43所求切线方程为 x y42 0，43 43即 4x3 y40.综上，切线方程为 x2 或 4x3 y40.题型二 圆与圆的位置关系命题点 1 位置关系的判断6例 4 分别求当实数 k 为何值时，两圆C1： x2 y24 x6 y120， C2： x2 y22 x14 y k0 相交和相切.解 将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：( x2) 2( y3) 21， C2：( x1) 2( y7) 250 k，则圆 C1的圆心为 C1(2，3)，半径 r11；圆 C2的圆心为 C2(1，7)，半径
9、r2 ， k0)截直线 x y0 所得线段的长度是 2 ，则2圆 M 与圆 N：( x1) 2( y1) 21 的位置关系是( )A.内切 B.相交 C.外切 D.相离答案 B解析 圆 M： x2( y a)2 a2(a0)，圆心坐标为 M(0， a)，半径 r1为 a，圆心 M 到直线 x y0 的距离 d ，|a|2由几何知识得 2( )2 a2，解得 a2.(|a|2) 2 M(0，2)， r12.又圆 N 的圆心坐标 N(1，1)，半径 r21，| MN| ，1 02 1 22 2r1 r23， r1 r21. r1 r211，两圆外离，故选 A.2 02 2 02 24.(2018金
10、华模拟)过点 P(1，2)作圆 C：( x1) 2 y21 的两条切线，切点分别为A， B，则 AB 所在直线的方程为( )A.y B.y34 12C.y D.y32 14答案 B解析 圆( x1) 2 y21 的圆心为(1，0)，半径为 1，以| PC| 2 为1 12 2 02直径的圆的方程为( x1) 2( y1) 21，将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为2y10，即 y .125.(2019台州调研)若点 A(1，0)和点 B(4，0)到直线 l 的距离依次为 1 和 2，则这样的直线有( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条答案 C解析 如图，分别以 A， B 为
11、圆心，1，2 为半径作圆. 由题意得，直线 l 是圆 A 的切线， A 到 l 的距离为 1，直线 l 也是圆 B 的切线， B 到 l 的距离为 2，所以直线 l 是两圆的公切线，共 3 条(2 条外公切线，1 条内公切线).6.直线 x2 y m0( m0)与 O： x2 y25 交于 A， B 两点，若| |2| |，则 m 的取OA OB AB 9值范围是( )A.( ，2 ) B.(2 ，5) C.( ，5) D.(2， )5 5 5 5 5答案 B解析 直线 x2 y m0 与 O： x2 y25 交于相异两点 A， B， O 点到直线 x2 y m0 的距离 d2| |，2 d2
12、| |，OA OB AB AB 即 d| |2 ，解得 d2.又 d0，解得 m(2 ，5).5|m|5 5 57.(2018浙江省杭州市七校联考)过 F(1，0)作直线 l 与圆( x4) 2 y24 交于 A， B 两点，若| AB|2 ，则圆心到直线 l 的距离为_，直线 l 的方程为3_.答案 1 y (x1)24解析 易知直线 l 的斜率存在，故可设直线 l： y k(x1)，得圆心(4，0)到直线 l 的距离d ，又由圆的弦、半径、弦心距三者间的关系得 d 1，得|k4 1|k2 1 4 321，即 k ，故直线 l 的方程为 y (x1).|k4 1|k2 1 24 248.(2
13、018宁波模拟)已知直线 l： mx y1.若直线 l 与直线 x my10 平行，则 m 的值为_；动直线 l 被圆 x22 x y2240 截得的弦长的最小值为_.答案 1 2 23解析 由直线 mx y1 与直线 x my10 平行得 m210，且 ，解得 m1.圆m1 1 1x22 x y2240 化为标准方程为( x1) 2 y225，直线 mx y1 过定点(0，1)，因为点(0，1)在圆( x1) 2 y225 内，则当直线 l 垂直于点(0，1)与圆心(1，0)连线所在的直线时，直线被圆截得的弦长最短，此时圆心到直线 mx y1 的距离即为点(0，1)与圆心(1，0)连线的长度
14、，即为 ，则直线被圆截得的弦长的最小值为 212 12 22 .25 22 239.已知圆 E： x2 y22 x0，若 A 为直线 l： x y m0 上的点，过点 A 可作两条直线与圆E 分别切于点 B， C，且 ABC 为等边三角形，则实数 m 的取值范围是_.答案 2 1，2 12 2解析 设圆 E 的圆心为 E，半径为 r，圆 E： x2 y22 x0，即( x1) 2 y21，则圆心10E(1，0)，半径 r 为 1，由题意知直线 l 上存在点 A，使得 sin30 ，即| AE|2 r.r|AE| 12又因为| AE| d(d 为圆心到直线 l 的距离)，故要使点 A 存在，只需
15、 d2 r2，可得2，解得 m2 1，2 1.|1 m|2 2 210.已知圆 C1： x2 y22 ay a240 和圆 C2： x2 y22 bx1 b20 外切，若aR， bR 且 ab0，则 的最小值为_.1a2 1b2答案 49解析 x2 y22 ay a240，即 x2( y a)24， x2 y22 bx1 b20，即( x b)2 y21.依题意可得 213，即 a2 b29，故 1.a2 b2a2 b29所以 ，1a2 1b2 (1a2 1b2)a2 b29 19(1 b2a2 a2b2 1) 19(2 2 b2a2a2b2) 49当且仅当 a b 时取等号.11.已知圆 C
16、： x2 y22 x4 y10， O 为坐标原点，动点 P 在圆 C 外，过 P 作圆 C 的切线，设切点为 M.(1)若点 P 运动到(1，3)处，求此时切线 l 的方程；(2)求满足条件| PM| PO|的点 P 的轨迹方程.解 把圆 C 的方程化为标准方程为( x1) 2( y2) 24，圆心为 C(1，2)，半径 r2.(1)当 l 的斜率不存在时，此时 l 的方程为 x1，C 到 l 的距离 d2 r，满足条件.当 l 的斜率存在时，设斜率为 k，得 l 的方程为 y3 k(x1)，即 kx y3 k0，则 2，解得 k .| k 2 3 k|1 k2 34 l 的方程为 y3 (x
17、1)，34即 3x4 y150.综上，满足条件的切线 l 的方程为 x1 或 3x4 y150.(2)设 P(x， y)，则| PM|2| PC|2| MC|2( x1) 2( y2) 24，|PO|2 x2 y2，| PM| PO|，( x1) 2( y2) 24 x2 y2，整理，得 2x4 y10，11点 P 的轨迹方程为 2x4 y10.12.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M： x2 y212 x14 y600 及其上一点 A(2，4).(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA
18、 的直线 l 与圆 M 相交于 B， C 两点，且| BC| OA|，求直线 l 的方程；(3)设点 T(t， 0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 ，求实数 t 的取值范围.TA TP TQ 解 (1)圆 M 的方程化为标准形式为( x6) 2( y7) 225，圆心 M(6，7)，半径 r5，由题意，设圆 N 的方程为( x6) 2( y b)2 b2(b0).且 b5.6 62 b 72解得 b1，圆 N 的标准方程为( x6) 2( y1) 21.(2) kOA2，可设 l 的方程为 y2 x m，即 2x y m0.又| BC| OA| 2 .22 42 5由题意，圆 M
19、 的圆心 M(6，7)到直线 l 的距离为 d 2 .52 (|BC|2 )2 25 5 5即 2 ，解得 m5 或 m15.|26 7 m|22 12 5直线 l 的方程为 y2 x5 或 y2 x15.(3)由 ，则四边形 AQPT 为平行四边形，TA TP TQ 又 P， Q 为圆 M 上的两点，| PQ|2 r10.| TA| PQ|10，即 10，t 22 42解得 22 t22 .21 21故所求 t 的取值范围为22 ，22 .21 2113.已知直线 l：( m2) x( m1) y44 m0 上总存在点 M，使得过 M 点作的圆C： x2 y22 x4 y30 的两条切线互相
20、垂直，则实数 m 的取值范围是( )A.m1 或 m2 B.2 m812C.2 m10 D.m2 或 m8答案 C解析 如图，设切点分别为 A， B.连接 AC， BC， MC，由 AMB MAC MBC90及| MA| MB|知，四边形 MACB 为正方形，故|MC| 2，若直线 l 上总存在点 M 使得过点 M 的两条切线互相垂直，只需圆心2 2(1，2)到直线 l 的距离 d 2，即| m 2 2m 2 4 4m|m 22 m 12m28 m200，2 m10，故选 C.14.若 O： x2 y25 与 O1：( x m)2 y220( mR)相交于 A， B 两点，且两圆在点 A 处的
21、切线互相垂直，则线段 AB 的长是_.答案 4解析 O1与 O 在 A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心， O1A OA.又| OA| ，| O1A|2 ，| OO1|5.5 5又 A， B 关于 OO1所在直线对称， AB 长为 Rt OAO1斜边上的高的 2 倍，| AB|2 4.525515.已知圆 O： x2 y29，点 P 为直线 x2 y90 上一动点，过点 P 向圆 O 引两条切线PA， PB， A， B 为切点，则直线 AB 过定点( )A. B.(49， 89) (29， 49)C.(1，2) D.(9，0)答案 C13解析 因为 P 是直线 x2 y90
22、 上的任一点，所以设 P(92 m， m)，因为 PA， PB 为圆x2 y29 的两条切线，切点分别为 A， B，所以 OA PA， OB PB，则点 A， B 在以 OP 为直径的圆(记为圆 C)上，即 AB 是圆 O 和圆 C 的公共弦，易知圆 C 的方程是 2 2 ，(x9 2m2 ) (y m2) 9 2m2 m24又 x2 y29，得，(2 m9) x my90，即公共弦 AB 所在直线的方程是(2 m9) x my90，即m(2x y)(9 x9)0，由Error!得 x1， y2.所以直线 AB 恒过定点(1，2)，故选 C.16.已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过
23、点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于点 A， B，以线段 AB 为直径的圆 E 上存在点 P， Q，使得以 PQ 为直径的圆过点 D ，求实数 t 的(32， t)取值范围.解 由题意可得直线 AB 的方程为 x y1，与 y24 x 联立消去 x，可得 y24 y40，显然 16160，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y24， y1y24，设 E(xE， yE)，则yE 2， xE yE13，又| AB| x1 x22 y11 y2128，所以圆 E 是以y1 y22(3，2)为圆心，4 为半径的圆，所以点 D 恒在圆 E 外.圆 E 上存在点 P， Q，使得以 PQ 为直径的圆过点 D ，即圆 E 上存在点 P， Q，使得 DP DQ，设过 D 点的两直线分别切圆 E(32， t)于 P， Q点，要满足题意，则 P DQ ，所以 ，整 2 |EP |DE| 4(3 32)2 (2 t)2 22理得 t24 t 0，解得 2 t2 ，故实数 t 的取值范围为 .314 472 472 2 472， 2 47214
