1、1第 2 课时 直线与椭圆题型一 直线与椭圆的位置关系1.若直线 y kx1 与椭圆 1 总有公共点，则 m 的取值范围是( )x25 y2mA.m1 B.m0C.00 且 m5， m1 且 m5.2.已知直线 l： y2 x m，椭圆 C： 1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：x24 y22(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组Error!将代入，整理得 9x28 mx2 m240.方程根的判别式 (8 m)249(2 m24)8 m2144.(1)当 0，即3 3 时，方程没有实数根，可知原
2、方程组没有实数解.这时2 2直线 l 与椭圆 C 没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法2(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.题型二 弦长及中点弦问题命题点 1 弦长问题例 1 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 y21 相交于 A， B 两点，则| AB|的最大值为( )x24A.2B. C. D.455 4105 8105答案 C解析 设 A， B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，直线 l 的方程为 y x t，由Error!消去
3、y，得 5x28 tx4( t21)0，则 x1 x2 t， x1x2 .85 4t2 15| AB| |x1 x2| 1 k2 1 k2 x1 x22 4x1x2 ，2 ( 85t)2 44t2 15 425 5 t2当 t0 时，| AB|max .4105命题点 2 中点弦问题例 2 已知 P(1，1)为椭圆 1 内一定点，经过 P 引一条弦，使此弦被 P 点平分，则x24 y22此弦所在的直线方程为_.答案 x2 y30解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为 y1 k(x1)，弦所在的直线与椭圆相交于 A， B 两点，设 A(x1， y1)， B(x2， y2).由E
4、rror!消去 y 得，(2 k21) x24 k(k1) x2( k22 k1)0， x1 x2 ，又 x1 x22， 2，4kk 12k2 1 4kk 12k2 1解得 k .12故此弦所在的直线方程为 y1 (x1)，12即 x2 y30.3方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k，弦所在的直线与椭圆相交于A， B 两点，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1，x214 y212 1，x24 y22得 0，x1 x2x1 x24 y1 y2y1 y22 x1 x22， y1 y22， y1 y20， k .x1 x22 y1 y2x1 x2 12此弦所在的直线方
5、程为 y1 (x1)，12即 x2 y30.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| AB| (k 为直线斜率).1 k2x1 x22 4x1x2 (1 1k2)y1 y22 4y1y2(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.跟踪训练 1 已知椭圆 E： 1( ab0)的半焦距为 c，原点 O 到经过两点( c，0)，(0， b)的x2a2
6、y2b2直线的距离为 c.12(1)求椭圆 E 的离心率；(2)如图， AB 是圆 M：( x2) 2( y1) 2 的一条直径，若椭圆 E 经过 A， B 两点，求椭圆52E 的方程.解 (1)过点( c，0)，(0， b)的直线方程为 bx cy bc0，则原点 O 到该直线的距离 d ，bcb2 c2 bca4由 d c，得 a2 b2 ，解得离心率 e .12 a2 c2 ca 32(2)方法一 由(1)知，椭圆 E 的方程为 x24 y24 b2.依题意，圆心 M(2，1)是线段 AB 的中点，且| AB| .10易知， AB 与 x 轴不垂直，设其方程为 y k(x2)1，代入得(
7、14 k2)x28 k(2k1)x4(2 k1) 24 b20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ，8k2k 11 4k2x1x2 ，42k 12 4b21 4k2由 x1 x24，得 4，解得 k ，8k2k 11 4k2 12从而 x1x282 b2.于是| AB| |x1 x2| ，1 (12)2 52 x1 x22 4x1x2 10b2 2由| AB| ，得 ，解得 b23，10 10b2 2 10故椭圆 E 的方程为 1.x212 y23方法二 由(1)知，椭圆 E 的方程为 x24 y24 b2，依题意，点 A， B 关于圆心 M(2，1)对称，且| A
8、B| ，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，10则 x 4 y 4 b2， x 4 y 4 b2，21 21 2 2两式相减并结合 x1 x24， y1 y22，得4( x1 x2)8( y1 y2)0，易知 AB 与 x 轴不垂直，则 x1 x2，所以 AB 的斜率 kAB ，y1 y2x1 x2 12因此直线 AB 的方程为 y (x2)1，12代入得 x24 x82 b20，所以 x1 x24， x1x282 b2，于是| AB| |x1 x2| .1 (12)2 52 x1 x22 4x1x2 10b2 2由| AB| ，得 ，解得 b23，10 10b2 2 10故椭圆 E
9、 的方程为 1.x212 y23题型三 椭圆与向量等知识的综合5例 3 (2019杭州质检)已知椭圆 C： 1( ab0)， e ，其中 F 是椭圆的右焦点，x2a2 y2b2 12焦距为 2，直线 l 与椭圆 C 交于点 A， B，线段 AB 的中点的横坐标为 ，且 (其中14 AF FB 1).(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求实数 的值.解 (1)由椭圆的焦距为 2，知 c1，又 e ， a2，12故 b2 a2 c23，椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)由 ，可知 A， B， F 三点共线，AF FB 设点 A(x1， y1)，点 B(x2， y2).若直线 AB x
10、 轴，则 x1 x21，不符合题意；当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时，设 l 的方程为 y k(x1).由Error! 消去 y 得(34 k2)x28 k2x4 k2120.的判别式 64 k44(4 k23)(4 k212)144( k21)0.Error! x1 x2 2 ， k2 .8k24k2 3 14 12 14将 k2 代入方程，得 4x22 x110，14解得 x .1354又 (1 x1， y1)， ( x21， y2)， ，AF FB AF FB 即 1 x1 (x21)， ，又 1， .1 x1x2 1 3 52思维升华一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平
11、面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想.跟踪训练 2(2018浙江名校联盟联考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆6C： 1( ab0)的离心率为 ，焦距为 2.x2a2 y2b2 12(1)求椭圆 C 的方程；(2)记斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，椭圆 C 上存在点 P 满足 ，求四边OP OA OB 形 OAPB 的面积.解 (1)由题意得 c1， a2， b ，3故椭圆 C 的方程是 1.x24 y23(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(x0， y0)，
12、直线 AB： y kx m，由Error!消去 y，可得(34 k2)x28 kmx4 m2120，故 48(4 k23 m2)0 且Error!由 ，可得Error!OP OA OB 又点 P 在椭圆 C 上，所以 1，x1 x224 y1 y223其中 x1 x2 ， 8km3 4k2y1 y2 k(x1 x2)2 m ，6m3 4k2代入 1 中，可得 4m234 k2.x1 x224 y1 y223|AB| |x1 x2| ，1 k2 1 k2433 4k2 m23 4k2设点 O 到直线 l 的距离为 d，则 d .|m|1 k2所以四边形 AOBP 的面积S| AB|d 3.433
13、 4k2 m2|m|3 4k2 12m24m271.若直线 mx ny4 与 O： x2 y24 没有交点，则过点 P(m， n)的直线与椭圆 1x29 y24的交点个数是( )A.至多为 1 B.2C.1 D.0答案 B解析 由题意知， 2，即 b0)，则 c1.因为过 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆x2a2 y2b2交于 A， B 两点，且| AB|3，所以 ， b2 a2 c2，所以 a24， b2 a2 c2413，b2a 32椭圆的方程为 1.x24 y235.经过椭圆 y21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l，交椭圆于 A， B 两点.设 O 为坐x22标原点，则 等于( )
14、OA OB A.3 B.13C. 或3 D.13 13答案 B解析 依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为 y0tan45( x1)，即y x1.代入椭圆方程 y21 并整理得 3x24 x0，解得 x0 或 x .所以两个交点坐x22 43标为A(0，1)， B ，所以 (0，1) .同理，直线 l 经过椭圆的左焦(43， 13) OA OB (43， 13) 13点时，也可得 .OA OB 136.设 F1， F2分别是椭圆 y21 的左、右焦点，若椭圆上存在一点 P，使x24( ) 0( O 为坐标原点)，则 F1PF2的面积是( )OP OF2 PF2 A.4B.3
15、C.2D.1答案 D解析 ( ) ( ) 0，OP OF2 PF2 OP F1O PF2 F1P PF2 9 PF1 PF2， F1PF290.设| PF1| m，| PF2| n，则 m n4， m2 n212，2 mn4， mn2， 12FPSA mn1.127.直线 y kx k1 与椭圆 1 的位置关系是_.x29 y24答案 相交解析 由于直线 y kx k1 k(x1)1 过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.8.(2018浙江余姚中学质检)若椭圆 C： 1 的弦被点 P(2，1)平分，则这条弦所在x212 y23的直线 l 的方程是_，若点 M 是直线 l
16、上一点，则 M 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和的最小值为_.答案 x2 y40 4655解析 当直线 l 的斜率不存在时不满足题意，所以设 l 的斜率为 k，椭圆 C： 1 的x212 y23弦被点 P(2，1)平分，由点差法得 k ，代入已知的中点 P 的坐标得到直线方程为12x2 y40.设点 M(x， y)，点 F2(3，0)关于 x2 y40 的对称点为 F2 ，连接(175， 45)F2 F1，交直线于点 M，此时距离之和最小，最小值为| F2 F1| .(325)2 (45)2 46559.已知椭圆 C： 1( ab0)的左焦点为 F，椭圆 C 与过原点的直线相交于 A， B 两
17、点，x2a2 y2b2连接 AF， BF，若| AB|10，| AF|6，cos ABF ，则椭圆 C 的离心率 e_.45答案 57解析 设椭圆的右焦点为 F1，在 ABF 中，由余弦定理可解得| BF|8，所以 ABF 为直角三角形，且 AFB90，又因为斜边 AB 的中点为 O，所以| OF| c5，连接 AF1，因为A， B 关于原点对称，所以| BF| AF1|8，所以 2a14， a7，所以离心率 e .5710.已知直线 MN 过椭圆 y21 的左焦点 F，与椭圆交于 M， N 两点.直线 PQ 过原点 O 与x22MN 平行，且 PQ 与椭圆交于 P， Q 两点，则 _.|PQ
18、|2|MN|10答案 2 2解析 不妨取直线 MN x 轴，椭圆 y21 的左焦点 F(1，0)，令 x1，得 y2 ，x22 12所以 y ，所以| MN| ，此时| PQ|2 b2，22 2则 2 .|PQ|2|MN| 42 211.设 F1， F2分别是椭圆 E： 1( ab0)的左、右焦点， E 的离心率为 ，点(0，1)x2a2 y2b2 22是 E 上一点.(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 F1的直线交椭圆 E 于 A， B 两点，且 2 ，求直线 BF2的方程.BF1 F1A 解 (1)由题意知， b1，且 e2 ，c2a2 a2 b2a2 12解得 a22，所以椭圆 E 的
19、方程为 y21.x22(2)由题意知，直线 AB 的斜率存在且不为 0，故可设直线 AB 的方程为 x my1，设 A(x1， y1)， B(x2， y2).由Error! 得( m22) y22 my10，则 y1 y2 ，2mm2 2y1y2 ，1m2 2因为 F1(1，0)，所以 (1 x2， y2)， ( x11， y1)，BF1 F1A 由 2 可得 y22 y1，BF1 F1A 由可得 B ，(12， 144)则 2BFk 或 ，146 146所以直线 BF2的方程为y x 或 y x .146 146 146 14612.(2019绍兴质检)已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率
20、为 ，且经过点(3，1).x2a2 y2b2 63(1)求椭圆的标准方程；11(2)过点 P(6，0)的直线 l 交椭圆于 A， B 两点， Q 是 x 轴上的点，若 ABQ 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，求 l 的方程.解 (1)设椭圆 C 的焦距为 2c，由离心率 e 及 a2 b2 c2，得 a23 b2，ca 63则椭圆的方程为 1，x23b2 y2b2代入点(3，1)得 1，解得 b24，则 a212，3b2 1b2所以椭圆的标准方程为 1.x212 y24(2)设 AB 的中点坐标为( x0， y0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l： x ty6，则由E
21、rror!得( t23) y212 ty240，由 0，得 t26， y0 ， x0 ty06 ， 6tt2 3 18t2 3则 AB 的中垂线方程为 y t ，6tt2 3 (x 18t2 3)所以 Q .(12t2 3， 0)易知点 Q 到直线 l 的距离为 d ，(12t2 3， 0) | 12t2 3 6|1 t2 6t2 1t2 3|AB| ，1 t2 y1 y22 4y1y2431 t2t2 6t2 3所以 62 ，解得 t29，满足 t26，则 t3，3 t2 6所以直线 l 的方程为 x3y60.13.(2018台州模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的右焦点为 F2， O 为
22、坐标原点， M 为 yx2a2 y2b2轴上一点，点 A 是直线 MF2与椭圆 C 的一个交点，且| OA| OF2|2| OM|，则椭圆 C 的离心率为( )A. B. C. D.13 25 55 53答案 D解析 方法一 | OA| OF2|2| OM|， M 在椭圆 C 的短轴上，设椭圆 C 的左焦点为 F1，连12接 AF1，| OA| OF2|，| OA| |F1F2|， AF1 AF2，12从而 AF1F2 OMF2， ，|AF1|AF2| |OM|OF2| 12又| AF1|2| AF2|2(2 c)2，| AF1| c，| AF2| c，255 455又| AF1| AF2|2
23、 a， c2 a，即 .655 ca 53故选 D.方法二 | OA| OF2|2| OM|， M 在椭圆 C 的短轴上，在 Rt MOF2中，tan MF2O ，|OM|OF2| 12设椭圆 C 的左焦点为 F1，连接 AF1，| OA| OF2|，| OA| |F1F2|，12 AF1 AF2，tan AF2F1 ，|AF1|AF2| 12设| AF1| x(x0)，则| AF2|2 x，| F1F2| x，5 e ，故选 D.2c2a |F1F2|AF1| |AF2| 5xx 2x 5314.已知椭圆 1( ab0)短轴的端点为 P(0， b)， Q(0， b)，长轴的一个端点为x2a2
24、 y2b2M， AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若 PA， PB 的斜率之积等于 ，则点 P 到14直线 QM 的距离为_.答案 b455解析 设 A(x0， y0)，则 B 点坐标为( x0， y0)，则 ，即 ，y0 bx0 y0 b x0 14 y20 b2x20 1413由于 1，则 ，x20a2 y20b2 y20 b2x20 b2a2故 ，则 ，不妨取 M(a， 0)，则直线 QM 的方程为 bx ay ab0，b2a2 14 ba 12则点 P 到直线 QM 的距离为 d b.|2ab|a2 b2 2b1 (ba)2 45515.平行四边形 ABCD 内接于椭圆 1，
25、直线 AB 的斜率 k12，则直线 AD 的斜率 k2等x28 y24于( )A. B. C. D.212 12 14答案 C解析 设 AB 的中点为 G，则由椭圆的对称性知， O 为平行四边形 ABCD 的对角线的交点，则GO AD.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有Error! 两式相减得 ，x1 x2x1 x28 y1 y2y1 y24整理得 k12，x1 x22y1 y2 y1 y2x1 x2即 .又 G ，y1 y2x1 x2 14 (x1 x22 ， y1 y22 )所以 kOG ，即 k2 ，故选 C.y1 y22 0x1 x22 0 14 1416.过椭圆 1(
26、 ab0)上的动点 M 作圆 x2 y2 的两条切线，切点分别为 P 和 Q，y2a2 x2b2 b23直线 PQ 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 E 和 F，求 EOF 面积的最小值.解 设 M(x0， y0)， P(x1， y1)， Q(x2， y2)，由题意知 PQ 的斜率存在，且不为 0，所以 x0y00，则直线 MP 和 MQ 的方程分别为 x1x y1y ， x2x y2y .因为点 M 在 MP 和 MQ 上，所以b23 b23有 x1x0 y1y0 ， x2x0 y2y0 ，则 P， Q 两点的坐标满足方程 x0x y0y ，所以直线b23 b23 b23PQ 的方程为 x0x y0y ，可得 E 和 F ，b23 (b23x0， 0) (0， b23y0)14所以 S EOF |OE|OF| ，12 b418|x0y0|因为 b2y a2x a2b2， b2y a2x 2 ab|x0y0|，20 20 20 20所以| x0y0| ，ab2所以 S EOF ，b418|x0y0| b39a当且仅当 b2y a2x 时取“” ，20 20a2b22故 EOF 面积的最小值为 .b39a
