1、19.6 双曲线最新考纲 考情考向分析了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系.主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数 a， b， c 及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.题型为选择、填空题.1.双曲线定义平面内与两个定点 F1， F2的距离的差的绝对值等于常数(小于| F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合 P M|MF1| MF2|2 a，| F1F2|2 c，其中 a， c 为常数且 a0， c0.(1)当 2a|F1F2|时， P 点不存在.2.双曲线的标准方程和
2、几何性质标准方程 1( a0， b0)x2a2 y2b2 1( a0， b0)y2a2 x2b2图形范围 x a 或 x a， yR xR， y a 或 y a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点 A1( a，0)， A2(a，0) A1(0， a)， A2(0， a)渐近线 y xba y xab离心率 e ， e(1，)，其中 cca a2 b2性质实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长| A1A2|2 a，线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长| B1B2|2 b； a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲2线的虚半轴长a， b，c 的关系c2 a2 b2 (ca0， cb0
3、)概念方法微思考1.平面内与两定点 F1， F2的距离之差的绝对值等于常数 2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示 不一定.当 2a| F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当 2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当 2a0 时，动点的轨迹是线段 F1F2的中垂线.2.方程 Ax2 By21 表示双曲线的充要条件是什么？提示 若 A0， B0，表示焦点在 y 轴上的双曲线.所以 Ax2 By21 表示双曲线的充要条件是 AB0， b0，二者没有大小要求，若 ab0， a b0，0b0 时，10 时，ca 1 (ba)2 2e (亦称等轴双曲线)，当 0 .2 2题组一 思考辨析1.判断
4、下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点 F1(0，4)， F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( )(2)方程 1( mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( )x2m y2n(3)双曲线方程 (m0， n0， 0)的渐近线方程是 0，即 0.( )x2m2 y2n2 x2m2 y2n2 xm yn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .( )2(5)若双曲线 1( a0， b0)与 1( a0， b0)的离心率分别是 e1， e2，则 x2a2 y2b2 x2b2 y2a2 1e211(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )1e2题组二
5、 教材改编32.P61T1若双曲线 1( a0， b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线x2a2 y2b2的离心率为( )A. B.55C. D.22答案 A解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为 0，即xa ybbxay0，2 a b.又 a2 b2 c2，5 a2 c2.bca2 b2 e2 5， e .c2a2 53.P61A 组 T3已知 ab0，椭圆 C1的方程为 1，双曲线 C2的方程为 1， C1x2a2 y2b2 x2a2 y2b2与 C2的离心率之积为 ，则 C2的渐近线方程为( )32A.x y0 B. xy02 2C.x2y0 D.
6、2xy0答案 A解析 椭圆 C1的离心率为 ，双曲线 C2的离心率为 ，所a2 b2a a2 b2a以 ，即 a44 b4，所以 a b，所以双曲线 C2的渐近线方程是 ya2 b2a a2 b2a 32 2x，即 x y0.12 24.P62A 组 T6经过点 A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.答案 1x215 y215解析 设双曲线的方程为 1( a0)，x2a2 y2a2把点 A(4，1)代入，得 a215(舍负)，故所求方程为 1.x215 y215题组三 易错自纠5.已知方程 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范x2m2 n y23m
7、2 n围是( )4A.(1，3) B.(1， )3C.(0，3) D.(0， )3答案 A解析 方程 1 表示双曲线，x2m2 n y23m2 n( m2 n)(3m2 n)0，解得 m20， b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为( )x2a2 y2b2A. B. C. D.73 54 43 53答案 D解析 由条件知 y x 过点(3，4)， 4，ba 3ba即 3b4 a，9 b216 a2，9 c29 a216 a2，25 a29 c2， e .故选 D.537.(2018浙江省镇海中学模拟)双曲线 C： y2 1 的渐近线方程为_，设双曲x24线 1( a0， b0
8、)经过点(4，1)，且与双曲线 C 具有相同的渐近线，则该双曲线的标x2a2 y2b2准方程为_.答案 y 1x2 x212 y23解析 双曲线 y2 1 的渐近线方程为 y x；与 y2 1 具有相同的渐近线的双曲x24 12 x24线方程可设为 y2 m(m0)，因为该双曲线经过点(4，1)，所以 m1 2 3，即该x24 424双曲线的方程为 y2 3，即 1.x24 x212 y23题型一 双曲线的定义例 1 (1)已知定点 F1(2，0)， F2(2，0)， N 是圆 O： x2 y21 上任意一点，点 F1关于点N 的对称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P
9、，则点 P 的轨迹是( )5A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆答案 B解析 如图，连接 ON，由题意可得| ON|1，且 N 为 MF1的中点，又 O 为 F1F2的中点，| MF2|2.点 F1关于点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，由垂直平分线的性质可得| PM| PF1|，| PF2| PF1| PF2| PM| MF2|23) D. 1( x4)x29 y216 x216 y297答案 C解析 由条件可得，圆与 x 轴的切点为 T(3，0)，由相切的性质得|CA| CB| TA| TB|8263).x29 y216(2)根据下列条件，求双曲线
10、的标准方程：虚轴长为 12，离心率为 ；54焦距为 26，且经过点 M(0，12)；经过两点 P(3，2 )和 Q(6 ，7).7 2解 设双曲线的标准方程为 1 或 1( a0， b0).x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由题意知，2 b12， e ，ca 54 b6， c10， a8.双曲线的标准方程为 1 或 1.x264 y236 y264 x236双曲线经过点 M(0，12)， M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12.又 2c26， c13， b2 c2 a225.双曲线的标准方程为 1.y2144 x225设双曲线方程为 mx2 ny21( mn0).
11、Error!解得Error!双曲线的标准方程为 1.y225 x275思维升华求双曲线标准方程的方法1.定义法根据双曲线的定义确定 a2， b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：(1)c2 a2 b2；(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于 2a.2.待定系数法(1)一般步骤8判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；设：根据中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程；列：根据题意，列出关于 a， b， c 的方程或者方程组；解：求解得到方程.(2)常见设法与双曲线 1 共渐近线的双曲线方程可设为 ( 0
12、)；x2a2 y2b2 x2a2 y2b2若双曲线的渐近线方程为 y x，则双曲线方程可设为 ( 0)；ba x2a2 y2b2若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为 1( mnb0)有共同焦点的双曲线方程可设为 1( b20， b0)的一条渐近线方程为 y x，且与椭圆 1x2a2 y2b2 52 x212 y23有公共焦点，则 C 的方程为( )A. 1 B. 1x28 y210 x24 y25C. 1 D. 1x25 y24 x24 y23答案 B解析 由 y x，可得 .52 ba 52由椭圆 1 的焦点为(3，0)，(3，0)，x212 y239可得 a2 b29.由可得 a24，
13、 b25.所以 C 的方程为 1.故选 B.x24 y25题型三 双曲线的几何性质命题点 1 与渐近线有关的问题例 3 过双曲线 1( a0， b0)的左焦点 F 作圆 O： x2 y2 a2的两条切线，切点为x2a2 y2b2A， B，双曲线左顶点为 C，若 ACB120，则双曲线的渐近线方程为( )A.y x B.y x333C.y x D.y x222答案 A解析 如图所示，连接 OA， OB，设双曲线 1( a0， b0)的焦距为 2c(c0)，x2a2 y2b2则 C( a，0)， F( c，0).由双曲线和圆的对称性知，点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则 ACO BCO ACB
14、 12060.12 12因为| OA| OC| a，所以 ACO 为等边三角形，所以 AOC60.因为 FA 与圆 O 切于点 A，所以 OA FA，在 Rt AOF 中， AFO90 AOF906030，所以| OF|2| OA|，即 c2 a，所以 b a，c2 a2 2a2 a2 3故双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x，即 y x.x2a2 y2b2 ba 3命题点 2 求离心率的值(或范围)例 4 (1)(2018丽水、衢州、湖州质检)已知 F1， F2分别为双曲线 1( a0， b0)的x2a2 y2b210左、右焦点， P 为双曲线右支上一点，满足 PF2F1 ，连
15、接 PF1交 y 轴于点 Q，若| QF2| 2c，则双曲线的离心率是( )2A. B.2 3C.1 D.12 3答案 C解析 设 O 为坐标原点，由题意可得， PF2 x 轴， OQ PF2，所以 Q 为 PF1的中点，易知F2(c， 0)，因为| QF2| c，所以| OQ| c，又| OQ| |PF2|，所以| PF2|2| OQ|2 c，所以212|PF1|2 c，根据双曲线的定义，得| PF1| PF2|2 a，即 2 c2 c2 a，所以 e 2 2ca 1.故选 C.12 1 2(2)(2018浙江省绍兴市适应性考试)如图，已知双曲线 C： 1( a0， b0)的左焦点x2a2
16、y2b2为 F， A 为虚轴的一个端点.若以 A 为圆心的圆与 C 的一条渐近线相切于点 B，且 t (tR)，则该双曲线的离心率为( )AB BF A.2 B. 5C. D.1 32 1 52答案 D解析 由题图知 F( c， 0)， A(0， b)，渐近线方程为 y x.由已知得 A， B， F 三点共ba线，且 AF OB.所以点 F 到渐近线 OB 的距离为 d b，| AF| ，又由|bc|a2 b2 c2 b2BOF OAF，得| FO|2| FB|FA|.即 c2 b ，即 c4 b2(c2 b2)，则 c4( c2 a2)c2 b2(2c2 a2)，整理得 c43 a2c2 a
17、40，即 e43 e210，解得 e2 .3 52 (e2 3 52 舍 去 )所以该双曲线的离心率 e ，故选 D.3 52 6 254 5 12思维升华 1.求双曲线的渐近线的方法11求双曲线 1( a0， b0)或 1( a0， b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数x2a2 y2b2 y2a2 x2b2等于 0，即令 0，得 y x；或令 0，得 y x.反之，已知渐近线方程x2a2 y2b2 ba y2a2 x2b2 ab为 y x，可设双曲线方程为 (a0， b0， 0).ba x2a2 y2b22.求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法求 a， b， c 的值，由
18、1 直接求 e.c2a2 a2 b2a2 b2a2列出含有 a， b， c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2 c2 a2消去 b，然后转化成关于 e的方程(或不等式)求解.(2)双曲线的渐近线的斜率 k 与离心率 e 的关系： k .ba c2 a2a c2a2 1 e2 1跟踪训练 3 (1)已知点 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦点， O 为坐标x2a2 y2b2原点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足| F1F2|2| OP|，| PF1|3| PF2|，则双曲线 C 的离心率的取值范围是( )A.(1，) B.102， )C. D.(1，102 (1，
19、 52答案 C解析 由| F1F2|2| OP|，可得| OP| c，故 PF1F2为直角三角形，且 PF1 PF2，则|PF1|2| PF2|2| F1F2|2.由双曲线的定义可得| PF1| PF2|2 a，则| PF1|2 a| PF2|，所以(| PF2|2 a)2| PF2|24 c2，整理得(| PF2| a)22 c2 a2.又| PF1|3| PF2|，即 2a| PF2|3| PF2|，可得| PF2| a，所以| PF2| a2 a，即2c2 a24 a2，可得 c a.102由 e ，且 e1，可得 10， b0)的左、右焦点，过 F1的直线 l 与双曲线的左、x2a2
20、y2b2右两支分别交于点 B， A，若 ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )12A. B.4C. D.7233 3答案 A解析 因为 ABF2为等边三角形，所以不妨设| AB| BF2| AF2| m，因为 A 为双曲线右支上一点，所以| F1A| F2A| F1A| AB| F1B|2 a，因为 B 为双曲线左支上一点，所以| BF2| BF1|2 a，| BF2|4 a，由 ABF260，得 F1BF2120，在 F1BF2中，由余弦定理得 4c24 a216 a222 a4acos120，得 c27 a2，则 e27，又 e1，所以 e .故选 A.7离心率问题离心率是椭圆、双
21、曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于 a， b， c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的 b 用 a， c 表示，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.例 1 已知椭圆 E： 1( ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线x2a2 y2b2l：3 x4 y0 交椭圆 E 于 A， B 两点.若| AF| BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则45椭圆 E 的离心率的取值范围是( )A
22、. B.(0，32 (0， 34C. D.32， 1) 34， 1)答案 A13解析 设左焦点为 F0，连接 F0A， F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形.| AF| BF|4，| AF| AF0|4， a2.设 M(0， b)，则 M 到直线 l 的距离 d ，1 b0， b0)的左、右焦点， P 是双曲线上一点，且 PF1 PF2，若 PF1F2的内切圆x2a2 y2b2半径为 ，则该双曲线的离心率为( )a2A. 1 B.63 12C. D. 16 12 6答案 C解析 由对称性不妨设点 P 在第一象限，如图，由题意设 PF1F2的内切圆切三边于 G， D， E 三点，则|PG|
23、PE|，| GF1| DF1|，| EF2| DF2|.又| PF1| PF2|2 a，则|GF1| EF2| DF1| DF2|2 a，设 D(x0，0)，则 x0 c( c x0)2 a，即 x0 a，所以切点 D 为双曲线的右顶点，| PF1| GP| GF1| | DF1| c a c，| PF2| PE| EF2| | DF2| ca2 a2 3a2 a2 a2 a c ，在 Rt PF1F2中，由勾股定理得 2 2(2 c)2，整理得a2 (3a2 c) (c a2)144c24 ac5 a20，则 4e24 e50，解得离心率 e (舍负)，故选 C.6 121.(2018浙江)
24、双曲线 y21 的焦点坐标是( )x23A.( ，0)，( ，0) B.(2，0)，(2，0)2 2C.(0， )，(0， ) D.(0，2)，(0，2)2 2答案 B解析 双曲线方程为 y21，x23 a23， b21，且双曲线的焦点在 x 轴上， c 2，a2 b2 3 1即该双曲线的焦点坐标为(2，0)，(2，0).故选 B.2.已知双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为( )x2a2 y2b2A.xy0 B.x y03C. xy0 D.2xy03答案 C解析 双曲线的方程是 1( a0， b0)，x2a2 y2b2双曲线的渐近线方程为 y x.ba又离心率
25、 e 2，ca c2 a， b a.c2 a2 3由此可得双曲线的渐近线方程为 y x x，3aa 3即 xy0.故选 C.33.已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右焦点为 F，点 B 是虚轴的一个端点，线段 BF 与x2a2 y2b2双曲线 C 的右支交于点 A，若 2 ，且| |4，则双曲线 C 的方程为( )BA AF BF A. 1 B. 1x26 y25 x28 y21215C. 1 D. 1x28 y24 x24 y26答案 D解析 不妨设 B(0， b)，由 2 ， F(c， 0)，BA AF 可得 A ，代入双曲线 C 的方程可得 1，即 ，(2c3， b3) 49 c2
26、a2 19 49 a2 b2a2 109 .b2a2 32又| | 4， c2 a2 b2，BF b2 c2 a22 b216，由可得 a24， b26，双曲线 C 的方程为 1，故选 D.x24 y264.设 F1， F2分别为双曲线 1 的左、右焦点，过 F1引圆 x2 y29 的切线 F1P 交双曲x29 y216线的右支于点 P， T 为切点， M 为线段 F1P 的中点， O 为坐标原点，则| MO| MT|等于( )A.4B.3C.2D.1答案 D解析 连接 PF2， OT，则有| MO| |PF2| (|PF1|2 a) (|PF1|6) |PF1|3，| MT|12 12 12
27、 12|PF1| F1T| |PF1| |PF1|4，于是有| MO| MT| 12 12 c2 32 12 (12|PF1| 3)1，故选 D.(12|PF1| 4)5.已知双曲线 x2 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，双曲线的离心率为 e，若双曲线上存y23在一点 P 使 e，则 的值为( )sin PF2F1sin PF1F2 F2P F2F1 A.3B.2C.3D.2答案 B解析 由题意及正弦定理得 e2，sin PF2F1sin PF1F2 |PF1|PF2| PF1|2| PF2|，由双曲线的定义知| PF1| PF2|2，| PF1|4，| PF2|2，又| F1F2|4，
28、16由余弦定理可知 cos PF2F1 ，|PF2|2 |F1F2|2 |PF1|22|PF2|F1F2| 4 16 16224 14 | | |cos PF2F1F2P F2F1 F2P F2F1 24 2.故选 B.146.已知双曲线 1 的右焦点为 F， P 为双曲线左支上一点，点 A(0， )，则 APF 周x24 y22 2长的最小值为( )A.4 B.4(1 )2 2C.2( ) D. 32 6 6 2答案 B解析 由题意知 F( ，0)，设左焦点为 F0，则 F0( ，0)，由题可知 APF 的周长 l 为6 6|PA| PF| AF|，而|PF|2 a| PF0|， l| PA
29、| PF0|2 a| AF| AF0| AF|2 a 0 62 2 02 22 4 44( 1)，当且仅当 A， F0， P 三点共线时取得6 02 0 22 2 2“” ，故选 B.7.已知离心率为 的双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， M 是双曲52 x2a2 y2b2线 C 的一条渐近线上的点，且 OM MF2， O 为坐标原点，若 S OMF216，则双曲线的实轴长是( )A.32B.16C.84D.4答案 B解析 由题意知 F2(c， 0)，不妨令点 M 在渐近线 y x 上，由题意可知ba|F2M| b，所以| OM| a.由 2OMFSA16，可
30、得 ab16，即 ab32，又bca2 b2 c2 b2 12a2 b2 c2， ，所以 a8， b4， c4 ，所以双曲线 C 的实轴长为 16.故选 B.ca 52 58.已知双曲线 C1： 1( a0， b0)，圆 C2： x2 y22 ax a20，若双曲线 C1的一条x2a2 y2b2 34渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则双曲线 C1的离心率的范围是( )A. B.(1，233) (233， )C.(1，2) D.(2，)答案 A17解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为 y x，即 bxay0，圆baC2： x2 y22 ax a20 可化为( x a)2 y2 a2，圆心 C2
31、的坐标为( a， 0)，半径 r a，34 14 12由双曲线 C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，得 2b，即 c24b2，|ab|a2 b212又知 b2 c2 a2，所以 c24(c2 a2)，即 c21，所以双曲线 C143 ca233的离心率的取值范围为 ，故选 A.(1，233)9.双曲线的焦点在 x 轴上，实轴长为 4，离心率为 ，则该双曲线的标准方程为3_，渐近线方程为_.答案 1 y xx24 y28 2解析 由 2a4， ，得 a2， c2 ， b2 ，ca 3 3 2所以双曲线的标准方程为 1，渐近线方程为 y x.x24 y28 210.已知 F1， F2分别是
32、双曲线 x2 1( b0)的左、右焦点， A 是双曲线上在第一象限内的y2b2点，若| AF2|2 且 F1AF245，延长 AF2交双曲线的右支于点 B，则 F1AB 的面积等于_.答案 4解析 由题意知 a1，由双曲线定义知| AF1| AF2|2 a2，| BF1| BF2|2 a2，| AF1|2| AF2|4，| BF1|2| BF2|.由题意知| AB| AF2| BF2|2| BF2|，| BA| BF1|， BAF1为等腰三角形， F1AF245， ABF190， BAF1为等腰直角三角形.| BA| BF1| |AF1| 42 ，22 22 2 1FABS |BA|BF1|
33、2 2 4.12 12 2 21811.已知焦点在 x 轴上的双曲线 1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是x28 m y24 m_.答案 (0，2)解析 对于焦点在 x 轴上的双曲线 1( a0， b0)，它的焦点( c，0)到渐近线x2a2 y2b2bx ay0 的距离为 b.双曲线 1，即 1，其焦点在 x 轴|bc|b2 a2 x28 m y24 m x28 m y2m 4上，则Error! 解得 40， b0)的右焦点为 F，左顶点为 A，以 F 为圆心， FA 为半x2a2 y2b2径的圆交 C 的右支于 P， Q 两点， APQ 的一个内角为 60，求双曲线 C 的离心率.解 设
34、左焦点为 F1，由于双曲线和圆都关于 x 轴对称，又 APQ 的一个内角为 60， PAF30， PFA120，| AF| PF| c a，| PF1|3 a c，在 PFF1中，由余弦定理得|PF1|2| PF|2| F1F|22| PF|F1F|cos F1FP，即 3c2 ac4 a20，即 3e2 e40， e (舍负).4313.(2018湖州模拟)已知双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2x2a2 y2b2的直线交双曲线的右支于 A， B 两点， AF1B90， AF1B 的内切圆的圆心的纵坐标为a，则双曲线的离心率为( )72A.2B.3C. D.
35、552答案 A解析 设内切圆的圆心 M(x， y)，圆 M 分别切 AF1， BF1， AB 于 S， T， Q，如图，连接 MS， MT， MF1， MQ，则| F1T| F1S|，故四边形 SF1TM 是正方形，边长为圆 M 的半径.由19|AS| AQ|，| BT| BQ|，得| AF1| AQ| SF1| TF1| BF1| BQ|，又| AF1| AF2| BF1| BF2|， Q 与 F2重合，| SF1| AF1| AF2|2 a，| MF2|2 a，即( x c)2 y24 a2，|MF1|2 a，( x c)2 y28 a2，2联立解得 x ， y24 a2 ，又 y a，a
36、2c b4c2 72故 4 a2 ，得 e 2.7a24 b4c2 ca14.如图，已知 F1， F2分别是双曲线 x2 1( b0)的左、右焦点，过点 F1的直线与圆y2b2x2 y21 相切于点 T，与双曲线的左、右两支分别交于 A， B，若| F2B| AB|，求 b 的值.解 方法一 因为| F2B| AB|，所以结合双曲线的定义，得| AF1| BF1| AB| BF1| BF2|2，连接 OT，在 Rt OTF1中，| OT|1，| OF1| c，| TF1| b，所以 cos F2F1A ，sin F2F1A ，bc 1c所以 A ，将点 A 的坐标代入双曲线得 1，化简得( c
37、 2bc， 21c) c2 2b2c2 4c2b2b64 b55 b44 b340，得( b22 b2)( b42 b33 b22 b2)0，而b42 b33 b22 b2 b2(b1) 2 b21( b1) 20，故 b22 b20，解得 b1 (负3值舍去)，即 b1 .3方法二 因为| F2B| AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1| BF1| AB| BF1| BF2|2，连接 AF2，则| AF2|2| AF1|4.连接 OT，在 Rt OTF1中，| OT|1，| OF1| c，| TF1| b，所以 cos F2F1A .bc在 AF1F2中，由余弦定理得cos F2F1A
38、，|F1F2|2 |AF1|2 |AF2|22|F1F2|AF1| c2 32c20所以 c232 b，又在双曲线中， c21 b2，所以 b22 b20，解得 b1 (负值舍去)，3即 b1 .315.(2018浙江省联盟学校联考)已知双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，直线 l 过 F2且交双曲线的右支于 A， B 两点，记 AF1F2的内切圆半径为 r1，BF1F2的内切圆半径为 r2，若 r1 r231，则直线 l 的斜率为( )A.1B. C. D.22 3答案 C解析 方法一 当 A 在第一象限时，如图 1，设 AF1F2的内切圆 O1分别
39、切 AF1， F1F2， F2A 于点 Q， P， N，则| AQ| AN|，| F1Q| F1P|，| F2P| F2N|，又| AF1| AF2|2 a，即(| AQ| F1Q|)(| AN| F2N|)2 a，| F1Q| F2N|2 a，| F1F2| F2P| F2N|2 a，即 2c2| F2P|2 a，| F2P| c a， P 为双曲线的右顶点，同理， BF1F2的内切圆 O2也切 F1F2于双曲线的右顶点，连接 O1P， O2P，则 O1， P， O2三点共线，且 O1O2 F1F2.连接 O1F2， O2F2，又 O1F2平分 F1F2A， O2F2平分 F1F2B， O1
40、F2O290，Rt O1F2PRt F2O2PRt O1O2F2，| O1F2|2| O1P|O1O2|，| O2F2|2| O2P|O1O2|， 3，|O1F2|2|O2F2|2 |O1P|O2P| r1r2则 tan O2O1F2 ，|O2F2|O1F2| 33 O2O1F230，则 O1F2P60， AF2P120， kAB .由对称性可得 A 在第四象限时， kAB .3 3综上，直线 l 的斜率为 .321方法二 当 A 在第一象限时，如图 2，设 AF1F2的内切圆 O1分别切 AF1， F1F2， F2A 于点 Q， P， N，则|AQ| AN|，| F1Q| F1P|，| F2
41、P| F2N|，又| AF1| AF2|2 a，即(| AQ| F1Q|)(| AN| F2N|)2 a，| F1Q| F2N|2 a，| F1F2| F2P| F2N|2 a，即 2c2| F2P|2 a，| F2P| c a， P 为双曲线的右顶点，同理， BF1F2的内切圆 O2也切 F1F2于双曲线的右顶点，连接 O1P， O2P，则 O1， P， O2三点共线，且 O1O2 F1F2.设 O2切 BF2于点 H，连接 O1N， O2H，则在直角梯形 O2HNO1中，|O2H| r2，| O1N| r13 r2，| O1O2| r1 r24 r2，作 O2T O1N 于点 T，则|O1
42、T| r1 r22 r2，故在 Rt O1O2T 中， O2O1T60， AF2P120， kAB .3由对称性可得 A 在第四象限时， kAB .3综上，直线 l 的斜率为 .316.(2018浙江省杭州地区四校联考)已知 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的左、x2a2 y2b2右焦点，点 P(在第一象限)在双曲线的右支上，直线 PF2的倾斜角为 120， PF1F2的面积S (a2 b2)，求双曲线 C 的离心率.32解 方法一 设 P(x0， y0)，易知| F1F2|2 c， c ，a2 b2所以 PF1F2的面积 S 2c|y0| c2，12 32解得| y0| c.
43、32因为直线 PF2的倾斜角为 120，所以| PF2| c.|y0|sin60在 PF1F2中，由余弦定理得| PF1|2| PF2|2| F1F2|22| PF2|F1F2|cos PF2F1 c2(2 c)22 c2ccos603 c2，所以| PF1| c.3由双曲线的定义可得 2a| PF1| PF2| c c( 1) c，3 3所以双曲线的离心率 e 1.ca 23 1 3方法二 设 P(x0， y0)，易知| F1F2|2 c， c ，a2 b2所以 PF1F2的面积 S 2c|y0| c2，12 3222解得| y0| c.32因为直线 PF2的倾斜角为 120，所以 x0 c ，所以 P .|y0|tan60c2 (c2， 32c)由点 P 在双曲线上可得 1，(c2)2a2(32c)2b2整理得 c48 c2a24 a40，即 e48 e240，解得 e242 或 e242 .3 3因为 e1，所以 e242 ，所以 e 1.3 4 23 3
