1、1专题检测（二十） “选填”压轴小题命题的 4大区域A组选择压轴小题命题点专练1(2018全国卷)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1， a)， B(2， b)，且 cos 2 ，则| a b|( )23A. B.15 55C. D1255解析：选 B 由 cos 2 ，23得 cos2 sin 2 ， ，23 cos2 sin2cos2 sin2 23即 ，tan ，1 tan21 tan2 23 55即 ，| a b| .故选 B.b a2 1 55 552(2019 届高三广州调研)若将函数 y2sin sin 的图象向左平移(x3) (6 x) (
2、 0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则 的最小值为( )A. B.6 12C. D.4 3解析：选 A 由 y2sin sin ，可得 y2sin cos sin(x3) (6 x) (x 3) (x 3)，该函数的图象向左平移 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 g(x)(2x23)sin sin ，因为 g(x)sin 为奇函数，2 x 23 (2x 2 23) (2x 2 23)所以 2 k( kZ)， (kZ)，又 0，故 的最小值为 ，选 A.23 k2 3 63.如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是直角梯形，AD BC， AB BC，侧面 PAB底面 A
3、BCD，若 PA AD AB kBC(01，则 的取值范围是( )baA. B. 1， 14) ( 1， 14)C. D. 1， 14 ( 1， 14解析：选 B 令 f(x) x2( a1) x a2 b1，关于 x的方程 x2( a1)x a2 b10 的两个实根分别为 x1， x2，且 01，Error!Error! 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示. 表示阴影部分中的点与原点连线的斜率，由Error!解ba得 P ， 10)的图象，由题意可得 g(x)的图象和 y kx3( x0)的图象有两个交点设 y kx3( x0)的5图象与曲线 y g(x)相切的切点为( m，ln
4、2m)，由 g( x) ，得 k .又 ln 2m km3，1x 1m解得 m ，则 k2e 2.由图象可得 00时， f( x)e x x 0，1ex (ex 1ex)所以 f(x)在(0，)上单调递增，所以|log 3x|1，解得 x3.13答案： 13， 35(2018郑州质检)我国古代数学专著九章算术对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为 1)如图所示，已知该几何体的高为 2 ，则2该几何体外接球的表面积为_解析：由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中如图中的三棱锥 AB
5、CD所示，其中 AB2 ， BC CD ，易知长方体的外接球即为三2 2棱锥 ABCD的外接球，设外接球的直径为 2R，所以 4R2(2 )2( )2(2 2)28 2212，则 R2 3，因此外接球的表面积 S4 R212.2答案：126(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA， SB互相垂直， SA与圆锥底面所成角为 30.若 SAB的面积为 8，则该圆锥的体积为_8解析：在 Rt SAB中， SA SB， S SAB SA28，12解得 SA4.设圆锥的底面圆心为 O，底面半径为 r，高为 h，在 Rt SAO中， SAO30 ，所以 r2 ， h2，所以圆锥的体积为 r2h
6、(2 )228.313 13 3答案：87(2018全国卷) ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.已知 bsin C csin B4 asin Bsin C， b2 c2 a28，则 ABC的面积为_解析： bsin C csin B4 asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又 sin Bsin C0，sin A .12由余弦定理得 cos A 0，b2 c2 a22bc 82bc 4bccos A ， bc ，32 4cos A 833 S ABC bcsin A .12 12 833 12 233
7、答案：2338(2018全国卷)已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则 f(x)的最小值是_解析： f( x)2cos x2cos 2 x2cos x2(2cos 2x1)2(2cos 2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，当 cos x 时， f( x)0， f(x)单调递增12当 cos x ， f(x)有最小值12又 f(x)2sin xsin 2 x2sin x(1cos x)，当 sin x 时， f(x)有最小值，32即 f(x)min2 .(32) (1 12) 3329答案：3329(2019 届高三湖北八校联考)我国南北朝时期的数学家祖
8、暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异” “势”是几何体的高， “幂”是截面面积其意思为：如果两个等高的几何体在同高处的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等已知双曲线 C的渐近线方程为 y2 x，一个焦点为( ，0)直线 y0 与 y3 在第一象限内与双曲线5及渐近线围成如图所示的图形 OABN，则它绕 y轴旋转一圈所得几何体的体积为_解析：由题意可得双曲线的方程为 x2 1，直线 y3 在第一象限内与渐近线的交y24点 N的坐标为 ，与双曲线在第一象限内的交点 B的坐标为 ，在所得几何体中，(32， 3) (132， 3)在高为 h处作一截面，则截面面积为 ，根据祖暅原
9、理，可得该几何体的(1h24 h24)体积与底面面积为 ，高为 3的圆柱的体积相同，故所得几何体的体积为 3.答案：310.如图，在平面四边形 ABCD中， O为 BD的中点，且OA3， OC5.若 7，则 的值是AB AD BC DC _解析：由 7 得，( )( )7，AB AD OB OA OD OA 即( )( )7，所以 27 27916，OB OA OB OA OB OA 所以| | |4.所以 ( )( )( OB OD BC DC OC OB OC OD OC )( ) 2 225169.OB OC OB OC OB 答案：911(2018贵阳适应性考试)已知底面是正六边形的六
10、棱锥 PABCDEF的七个顶点均在球 O的表面上，底面正六边形的边长为 1，若该六棱锥体积的最大值为 ，则球 O的表面3积为_解析：因为六棱锥 PABCDEF的七个顶点均在球 O的表面上，由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥 PABCDEF为正六棱锥时，体积最大设正六棱锥的高为 h，则 h ，解得 h2. 记球 O的半径为 R，根据平面截球13 (61211sin 60) 310面的性质，得(2 R)21 2 R2，解得 R ，所以球 O的表面积为 4 R24 2 .54 (54) 254答案：25412(2019 届高三惠州调研)在四边形 ABCD中， ， P为 CD上一点，已知|
11、AB DC |8，| |5， 与 的夹角为 ，且 cos ， 3 ，则 AB AD AB AD 1120 CP PD AP _.BP 解析： ， 3 ， ， AB DC CP PD AP AD DP AD 14AB BP ，又| |8，| |5，cos BC CP AD 34AB AB AD ， 85 22， 1120 AD AB 1120 | |2 | |2 25 11 12 2.AP BP AD 12AD AB 316 AB 答案：213(2019 届高三益阳、湘潭调研)已知圆 C1： x2( y2) 24，抛物线C2： y22 px(p0)， C1与 C2相交于 A， B两点，| AB|
12、 ，则抛物线 C2的方程为855_解析：法一：由题意，知圆 C1与抛物线 C2的其中一个交点为原点，不妨记为 B，设 A(m， n)| AB| ，855Error!解得Error! 即 A .(85， 165)将 A的坐标代入抛物线方程得 22 p ，(165) 85解得 p ，抛物线 C2的方程为 y2 x.165 325法二：由题意，知圆 C1与抛物线 C2的其中一个交点为原点，不妨记为 B，设A(m， n)由圆 C1的性质知 cos C1BA ，|AB|2|BC1| 255sin C1BA ，5511 n| AB|cos C1BA ，165m| AB|sin C1BA ，即 A ，将 A
13、的坐标代入抛物线方程得 22 p ，85 (85， 165) (165) 85 p ，165抛物线 C2的方程为 y2 x.325答案： y2 x32514已知等腰梯形 ABCD中， AB CD， AB2 CD4， BAD60 ，双曲线以 A， B为焦点，且与线段 CD(包括端点 C， D)有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是_解析：以 AB所在直线为 x轴， AB中点为坐标原点 O，过点 O且垂直于 AB的直线为 y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(2,0)， B(2,0)， C(1， )3设以 A， B为焦点的双曲线方程为 1( a0， b0)，则 c2.由 a2 b2 c2
14、，得x2a2 y2b2b24 a2，当 x1 时， y2 a2 5.要使双曲线与线段 CD(包括端点 C， D)有两个交点，4a2则 a2 53，解得 a242 或 0 a242 ，由 a242 得 a 12，舍4a2 3 3 3 3去， a242 ，即 0 a 1.双曲线的离心率 e 1.即该双曲3 3ca 23 1 3线的离心率的取值范围是 1，)3答案： 1，)315(2019 届高三武汉调研)过圆 ： x2 y24 外一点 P(2,1)作两条互相垂直的直线 AB和 CD分别交圆 于 A， B和 C， D点，则四边形 ABCD面积的最大值为_解析：如图所示， S 四边形 ABCD (PA
15、PD PBPC)，12取 AB， CD的中点分别为 E， F，连接 OE， OF， OP，则 S 四边形ABCD= (PE AE)(PF DF)( PE AE)(PF DF) PEDF AEPF，1212由题意知四边形 OEPF为矩形，则 OE PF， OF PE，结合柯西不等式有 S 四边形 ABCD OFDF AEOE ， OF2 OE2 DF2 AE2其中 OF2 OE2 OP2， DF2 AE24 OF24 OE28 OP2，据此可得 S 四边形 ABCD ，OP2 8 OP2 53 15综上，四边形 ABCD面积的最大值为 .15答案： 1516(2018湘东五校联考)已知函数 f(
16、x)3 mx (3 m)ln x，若对任意的1xm(4,5)， x1， x21,3，恒有( aln 3)m3ln 3|f(x1) f(x2)|成立，则实数 a的取值范围是_解析： f(x)3 mx (3 m)ln x， f( x) ，1x 3x 1 mx 1x2当 x1,3， m(4,5)时， f( x)0， f(x)在1,3上单调递增，| f(x1) f(x2)| f(3) f(1)6 m (3 m)ln 3， 23( aln 3) m3ln 36 m (3 m)ln 3， a6 .23 23m y6 在 m(4,5)上单调递减， 6 ，23m 9215 23m376 a .376答案： 376， )
