1、1专题检测（十六） 计数原理、概率、随机变量及其分布列A组“633”考点落实练一、选择题1投篮测试中，每人投 3次，至少投中 2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A0.648 B0.432C0.36 D0.312解析：选 A 3 次投篮投中 2次的概率为 P(k2)C 0.62(10.6)，投中 3次的23概率为 P(k3)0.6 3，所以通过测试的概率为 P(k2) P(k3)C 0.62(10.6)230.6 30.648.2小赵、小钱、小孙、小李到 4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A“4 个人去的景点不
2、相同” ，事件 B“小赵独自去一个景点” ，则 P(A|B)( )A. B.29 13C. D.49 59解析：选 A 小赵独自去一个景点共有 4333108 种可能性，4 个人去的景点不同的可能性有 A 432124 种， P(A|B) .424108 293(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立设 X为该群体的 10位成员中使用移动支付的人数， DX2.4， P(X4)0.5，所以 p0.6.4若 5的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中的常数项为( )(xax)(2x 1x)A40 B20C20 D402解析：选 D 令 x1，可得
3、a12， a1， 5的展开式中 项的系数为(1) 3C(2x1x) 1x22， x项的系数为 C 23， 5的展开式中的常数项为(1) 3C 22C 2340.故35 25 (x1x)(2x 1x) 35 25选 D.5( x22 x3 y)5的展开式中 x5y2的系数为( )A60 B180C520 D540解析：选 D ( x22 x3 y)5可看作 5个( x22 x3 y)相乘，从中选 2个 y，有 C 种选25法；再从剩余的三个括号里边选出 2个 x2，最后一个括号选出 x，有 C C 种选法，所以23 1x5y2的系数为 32C C 2C 540.25 23 16在平面区域( x，
4、 y)|0 x2，0 y4内随机投入一点 P，则点 P的坐标( x， y)满足 y x2的概率为( )A. B.12 13C. D.23 34解析：选 B 不等式组Error!表示的平面区域如图中长方形 OABC，其面积为 248，不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，其面积为 x2dx x3Error! ，因此所求的概率 P .20 13 83838 13二、填空题7在(x 24) 5的展开式中，含 x6的项为_解析：因为(x 24) 5的展开式的第 r1 项 Tr1 C (x2)5r (4) r(4) rC x102r ，r5 r5令 102r6，解得 r2，所以含 x6的
5、项为 T3(4) 2C x6160x 6.25答案：160x 68已知在四棱锥 PABCD中，PA底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，PAAB2，现在该四棱锥内部或表面任取一点 O，则四棱锥 OABCD的体积不小于 的概率为_23解析：当四棱锥 OABCD的体积为 时，设 O到平面 ABCD的距离为 h，23则有 22h ，解得 h .13 23 123如图所示，在四棱锥 PABCD内作平面 EFGH平行于底面 ABCD，且平面 EFGH与底面ABCD的距离为 .12因为 PA底面 ABCD，且 PA2，所以 ，PHPA 34又四棱锥 PABCD与四棱锥 PEFGH相似，所以四棱锥 OAB
6、CD的体积不小于 的概率为 P 3 3 .23 V四 棱 锥 PEFGHV四 棱 锥 PABCD (PHPA) (34) 2764答案：27649在一投掷竹圈套小玩具的游戏中，竹圈套住小玩具的全部记 2分，竹圈只套在小玩具一部分上记 1分，小玩具全部在竹圈外记 0分某人投掷 100个竹圈，有 50个竹圈套住小玩具的全部，25 个竹圈只套在小玩具一部分上，其余小玩具全部在竹圈外，以频率估计概率，则该人两次投掷后得分 的数学期望是_解析：将“竹圈套住小玩具的全部” ， “竹圈只套在小玩具一部分上” ， “小玩具全部在竹圈外”分别记为事件 A，B，C，则 P(A) ，P(B)P(C) .50100
7、12 25100 14某人两次投掷后得分 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，且 P(0) ，14 14 116P(1)2 ，14 14 18P(2) 2 ，14 14 12 14 516P(3)2 ，14 12 14P(4) .12 12 14故 的分布列为 0 1 2 3 4P 116 18 516 14 14所以 E()0 1 2 3 4 .116 18 516 14 14 52答案：52三、解答题410(2019 届高三贵阳摸底考试)某高校学生社团为了解“大数据时代”下毕业生对就业情况的满意度，对 20名毕业生进行问卷计分调查(满分 100分)，得到如图所示的茎叶图，(1)计算男生打
8、分的平均分，观察茎叶图，评价男、女生打分的分散程度；(2)从打分在 80分以上的毕业生中随机抽取 3人，求被抽到的女生人数 X的分布列和数学期望解：(1)男生打分的平均分为(55536265717073748681)69.110由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散(2)打分在 80分以上的毕业生有 3女 2男，X 的可能取值为 1,2,3，P(X1) ， P(X2) ，C13C2C35 310 C23C12C35 35P(X3) ，C3C02C35 110X 的分布列为X 1 2 3P 310 35 110E(X)1 2 3 .310 35 110 9511为调查大学生这个微信用户群
9、体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取 300位同学进行调查，结果如下：微信群数量0至 5个 6至 10个11至 15个16至 20个20个以上合计频数 0 90 90 x 15 3005频率 0 0.3 0.3 y z 1(1)求 x， y， z的值；(2)以这 300人的样本数据估计该市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生(数量很大)中随机抽取 3人，记 X表示抽到的是微信群个数超过 15的人数，求 X的分布列、数学期望和方差解：(1)由已知得 09090 x15300，解得 x105，所以 y 0.35， z 0.05.105300 15300(2)依题意可知，微信群个
10、数超过 15的概率为 P .105 15300 25X的所有可能取值为 0,1,2,3.依题意得， X B .(3，25)所以 P(X k)C k 3k (k0,1,2,3)k3(25)(35)所以 X的分布列为X 0 1 2 3P 27125 54125 36125 8125所以 E(X)3 ，25 65D(X)3 .25 (1 25) 182512在 10件产品中，有 3件一等品，4 件二等品，3 件三等品从这 10件产品中任取3件，求：(1)取出的 3件产品中一等品件数 X的分布列和数学期望(2)取出的 3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率解：(1)由于从 10件产品中任取 3件的结
11、果为 C ，310从 10件产品中任取 3件，其中恰有 k件一等品的结果数为 C C ，k33 k7那么从 10件产品中任取 3件，其中恰有 k件一等品的概率为 P(X k) ， k0,1,2,3.Ck3C3 k7C310所以随机变量 X的分布列是X 0 1 2 36P 724 2140 740 1120所以 X的数学期望 E(X)0 1 2 3 .724 2140 740 1120 910(2)设“取出的 3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A，“恰好取出 1件一等品和 2件三等品”为事件 A1，“恰好取出 2件一等品”为事件 A2，“恰好取出 3件一等品”为事件 A3，由于事件 A
12、1， A2， A3彼此互斥，且 A A1 A2 A3而 P(A1) ，C13C23C310 340P(A2) P(X2) ， P(A3) P(X3) ，740 1120所以取出的 3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A) P(A1) P(A2) P(A3) .340 740 1120 31120B组大题专攻补短练1(2019 届高三阜阳质检)从某市的高一学生中随机抽取 400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过 60 kg的概率；(2)假设该市高一学生的体重 X服从正态分布 N(57， 2)利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于 5457 kg 之间的概率；从该市高一学生中随机抽取 3人，记体重介于 5457 kg之间的人数为 Y，利用(1)的结论，求 Y的分布列及 E(Y)解：(1)这 400名学生中，体重超过 60 kg的频率为(0.040.01)5 ，14由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过 60 kg的概率为 .14(2) X N(57， 2)，由(1)知 P(X60) ，14 P(X ，34 5007 33 5007 23 500711所以要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装三台发电机
