1、1三角函数问题重在“变”变角、变式技法指导迁移搭桥思 维 流 程 找 突 破 口 1.常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换；(2)已知角与目标角的变换；(3)角与其倍角的变换；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用如： ( ) ( ) ，2 ( )( )，2 ( )( )， 2 ， 2 2 ( 2).( 2 )2常用的变式技巧主要从函数名、次数、系数方面入手，常见有：(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；(2)涉及 sin xcos x、sin xcos x 的问题，常做换元处理，如令 tsin xcos x ， ，将原问题转2 2化为关于
2、t 的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等.典例 (2018天津高考)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知bsin A acos .(B 6)(1)求角 B 的大小；(2)设 a2， c3，求 b 和 sin(2A B)的值快审题 求什么想什么求角 B 的大小，想到角 B 的三角函数值求三角函数值，想到由已知三角函数值求值给什么用什么已知边角关系式，用正弦定理统一角已知边的大小，用余弦定理求边差什么 求 sin(2A B)的值，缺少 2A 的三角函数值，2找什么 应找 A 的三角函数值.稳解题(1)在 ABC 中，
3、由正弦定理 ，asin A bsin B可得 bsin A asin B.又因为 bsin A acos ，(B 6)所以 asin B acos ，(B 6)即 sin B cos B sin B，32 12所以 tan B .3因为 B(0，)，所以 B . 3(2)在 ABC 中，由余弦定理及 a2， c3， B ， 3得 b2 a2 c22 accos B7，故 b .7由 bsin A acos ，可得 sin A .(B 6) 37因为 a c，所以 cos A .27所以 sin 2A2sin Acos A ，437cos 2A2cos 2A1 .17所以 sin(2A B)si
4、n 2 Acos Bcos 2 Asin B .437 12 17 32 3314题后悟道1利用正、余弦定理求解问题的策略32三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半” 针对训练已知 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 bcos C a csin B.(1)求角 B 的大小；(2)若 b5， a3 ，求 ABC 的面积 S.2解：(1)由正弦定理可得，sin Bcos Csin Asin Csin B，即 sin Bcos Csin( B C)sin Csin B，所以 cos Bsin Csin Csin
5、B0.因为 sin C0，所以 cos Bsin B0，即 tan B1，又 B(0，)，所以 B .34(2)法一：由余弦定理，可得 b2 a2 c22 accos B，即 52(3 )2 c223 ccos ，2 234整理得 c26 c70，解得 c1 或 c7(舍去)所以 ABC 的面积 S acsin B 3 1sin .12 12 2 34 32法二：由正弦定理 ，可得 ，asin A bsin B 32sin A 5sin34解得 sin A .35因为 B ，所以 A ，34 (0， 2)所以 cos A .1 sin2A1 (35)2 45由三角形的内角和定理可得 C A B
6、，所以 sin Csin( A B)sin Acos Bcos Asin B ，35 ( 22) 45 22 2104所以 ABC 的面积 S absin C 3 5 .12 12 2 210 32总结升华高考试题中的三角函数解答题相对比较传统，难度较低，大家在复习时，应“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要诀在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质， 仔细审题，快速运算 专 题 过 关 检 测 A 组“633”考点落实练一、选择题1(2019 届高三益阳、湘潭调研)已知 sin ，则 cos(2 )( )25A. B725 725C. D1
7、725 1725解析：选 D sin ，cos 2 12sin 2 1 ，25 825 1725cos(2 )cos 2 ，故选 D.17252(2018全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ABC 的面积为 ，则 C( )a2 b2 c24A. B. 2 3C. D. 4 6解析：选 C S absin C abcos C，12 a2 b2 c24 2abcos C4 12sin Ccos C，即 tan C1. C(0，)， C .故选 C. 43若 00，(0， 2)所以 sin ，cos .45 ( 45) 35 ( 35) 45 24254若 ，
8、 ，sin ，cos ，则 ( )(0， 2) 55 ( 2 ) 31010A. B. 6 4C. D. 3 12解析：选 B 由 sin ，及 ，得55 (0， 2)cos ，由 cos sin ，255 ( 2 ) 31010及 ，得 cos ，(0， 2) 1010所以 sin( )sin cos cos sin .31010 255 1010 55 22又因为 ，所以 .( 2， 2) 45在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 0，cos B0， B， 2 ABC 为钝角三角形6(2018南昌一模)已知台风中心位于城市 A 东偏北 ( 为锐角)的 15
9、0 千米处，6以 v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5 小时后到达距城市 A 西偏北 ( 为锐角)的 200千米处，若 cos cos ，则 v( )34A60 B80C100 D125解析：选 C 如图，台风中心为 B,2.5 小时后到达点 C，则在 ABC 中， ABsin ACsin ，即 sin sin ，又 cos cos 43 34 ，sin 2 cos 2 sin2 cos2 1sin 2 cos 2 ，sin cos 169 916 34 ，sin ，cos ，sin ，cos ，cos( )cos cos 35 45 45 35 sin sin 0， ， BC2 AB2 A
10、C2，(2.5 v)35 45 45 35 22150 2200 2，解得 v100，故选 C.二、填空题7(2018全国卷)已知 sin cos 1，cos sin 0，则 sin( )_.解析：sin cos 1，cos sin 0， 2 2得 12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin ，12sin( ) .12答案：128在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a23 b23 c22 bcsin A，3则 C 等于_解析：由余弦定理得 a2 b2 c22 bccos A，所以 b2 c22 bccos A3 b23 c22
11、 bcsin A，3即 sin Acos A ，2sin 2，3b2 c2bc (A 6) b2 c2bc7因此 b c， A A ，所以 C . 6 2 23 232 6答案： 69(2018长春质检)在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若其面积S b2sin A，角 A 的平分线 AD 交 BC 于点 D， AD ， a ，则 b_.233 3解析：由面积公式 S bcsin A b2sin A，可得 c2 b，即122.由 a ，并结合角平分线定理可得， BD ， CD ，cb 3 233 33在 ABC 中，由余弦定理得 cos B ，4b2 3 b22
12、2b3在 ABD 中，cos B ，即 ，4b2 43 4322b233 4b2 3 b222b34b2 43 4322b233化简得 b21，解得 b1.答案：1三、解答题10(2018全国卷)在平面四边形 ABCD 中， ADC90 ， A45 ， AB2， BD5.(1)求 cos ADB；(2)若 DC2 ，求 BC.2解：(1)在 ABD 中，由正弦定理得 ，即 ，BDsin A ABsin ADB 5sin 45 2sin ADB所以 sin ADB .25由题设知， ADB90，所以 cos ADB .1 225 235(2)由题设及(1)知，cos BDCsin ADB .25
13、在 BCD 中，由余弦定理得BC2 BD2 DC22 BDDCcos BDC258252 25，225所以 BC5.811(2018昆明调研)在 ABC 中， AC2 ， BC6， ACB150 .3(1)求 AB 的长；(2)延长 BC 至 D，使 ADC45 ，求 ACD 的面积解：(1)由余弦定理 AB2 AC2 BC22 ACBCcos ACB，得 AB2123622 6cos 15084，3所以 AB2 .21(2)因为 ACB150 ， ADC45 ，所以 CAD150 45 105 ，由正弦定理 ，得 CD ，CDsin CAD ACsin ADC 23sin 105sin 45
14、又 sin 105sin(60 45 )sin 60 cos 45cos 60 sin 45 ，2 64所以 CD3 ，3又 ACD180 ACB30 ，所以 S ACD ACCDsin ACD 2 (3 ) ( 1)12 12 3 3 12 32 312已知函数 f(x)2sin xcos x2 cos2x .3 3(1)求函数 y f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)已知 ABC 的三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，其中 a7，若锐角 A 满足f ，且 sin Bsin C ，求 bc 的值(A2 6) 3 13314解：(1) f(x)2sin xcos x2
15、 cos2x sin 2 x cos 2x2sin ，3 3 3 (2x 3)因此 f(x)的最小正周期为 T .22由 2k 2 x 2 k (kZ)， 2 3 32得 k x k (kZ)，12 712所以 f(x)的单调递减区间为 (kZ)k 12， k 712(2)由 f 2sin 2sin A ，且 A 为锐角，所以 A .(A2 6) 2(A2 6) 3 3 3由正弦定理可得 2R ，asin A 732 143sin Bsin C ，b c2R 133149则 b c 13，13314 143所以 cos A ，b2 c2 a22bc b c 2 2bc a22bc 12所以 b
16、c40.B 组大题专攻补短练1(2018天津五区县联考)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且8 sin2 2cos 2 C7.A B2(1)求 tan C 的值；(2)若 c ，sin B2sin A，求 a， b 的值3解：(1)在 ABC 中，因为 A B C，所以 ，则 sin cos .A B2 2 C2 A B2 C2由 8sin2 2cos 2 C7，得 8cos2 2cos 2 C7，A B2 C所以 4(1cos C)2(2cos 2C1)7，即(2cos C1) 20，所以 cos C .12因为 0 C，所以 C ， 3于是 tan Ct
17、an . 3 3(2)由 sin B2sin A，得 b2 a.又 c ，由余弦定理得 c2 a2 b22 abcos ，3 3即 a2 b2 ab3.联立，解得 a1， b2.2在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，满足 a2 c2 b22 bccos A4 c0，且 ccos A b(1cos C)(1)求 c 的值及判断 ABC 的形状；(2)若 C ，求 ABC 的面积 6解：(1)由 a2 c2 b22 bccos A4 c0 及正弦定理得a2 c2 b22 bc 4 c0，b2 c2 a22bc10整理，得 c2.由 ccos A b(1cos C)及
18、正弦定理，得sin Ccos Asin B(1cos C)，即 sin Bsin Ccos Asin Bcos Csin(A C)sin Acos Ccos Asin C，所以 sin Bcos Csin Acos C，故 cos C0 或 sin Asin B.当 cos C0 时， C ，故 ABC 为直角三角形； 2当 sin Asin B 时， A B，故 ABC 为等腰三角形(2)由(1)知 c2， A B，则 a b，因为 C ，所以由余弦定理，得 64 a2 a22 a2cos ，解得 a284 ， 6 3所以 ABC 的面积 S a2sin 2 .12 6 33已知 ABC 的
19、三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 ABC 的面积为 S accos B.32(1)若 c2 a，求角 A， B， C 的大小；(2)若 a2，且 A ，求边 c 的取值范围 4 3解：由已知及三角形面积公式得S acsin B accos B，12 32化简得 sin B cos B，3即 tan B ，又 0B， B .3 3(1)法一：由 c2 a 及正弦定理得，sin C2sin A，又 A C ，23sin 2sin A，(23 A)11化简可得 tan A ，而 0A ，33 23 A ， C . 6 2法二：由余弦定理得， b2 a2 c22 accos
20、B a24 a22 a23 a2， b a，3 a b c1 2，3 A ， C . 6 2(2)由正弦定理得， ，asin A bsin B csin C即 c ，asin Csin A 2sin Csin A由 C A，得23c 2sin(23 A)sin A2(32cos A 12sin A)sin A 1.3cos A sin Asin A 3tan A又由 A ，知 1tan A ， 4 3 32 c 1，故边 c 的取值范围为2， 13 34 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sin A cos 3A0， a2 ， b2.7(1)求 c 的值；(2
21、)设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC，求 ABD 的面积解：(1)因为 sin A cos A0，3所以 sin A cos A，3所以 tan A .3因为 A(0，)，所以 A .23由余弦定理得 a2 b2 c22 bccos A，代入 a2 ， b2 得 c22 c240，7解得 c4 或 c6(舍去)，所以 c4.(2)由(1)知 c4.12因为 c2 a2 b22 abcos C，所以 1628422 2cos C，7所以 cos C ，所以 sin C ，277 217所以 tan C .32在 Rt CAD 中，tan C ，ADAC所以 ，即 AD .32 AD2 3即 S ADC 2 ，12 3 3由(1)知 S ABC bcsin A 24 2 ，12 12 32 3所以 S ABD S ABC S ADC2 .3 3 3
