1、第一章 常用逻辑用语,1 命题,一,二,思考辨析,一、命题,一,二,思考辨析,名师点拨1.并不是任何语句都是命题,只有那些能判断真假的语句才是命题.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句都不是命题. 2.对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题. 3.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题不一定都是定理,因为命题有真假之分,而定理一定是真命题. 4.数学上有一些命题虽然表面上不是“若p,则q”的形式,但可以将它的表述做适当改变,写成“若p,则q”的形式,从而得到该命题的条件和结论.,一,二,思考辨析,解析:(1)不能判断真假,故不是命题
2、;(2)(3)(4)都可以判断真假,故都是命题.因为是命题的序号为(2)(3)(4).故填(2)(3)(4). 答案:(2)(3)(4),【做一做2】 把下列命题改写成“若p,则q”的形式. (1)偶数能被2整除.,解:(1)若一个数是偶数,则这个数能被2整除.,一,二,思考辨析,二、四种命题及其关系 1.四种命题之间的关系,一,二,思考辨析,2.四种命题的真假关系 四种命题的真假性,有且仅有下面的四种情况:,四种命题的真假性之间的关系如下: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.,一,二,思考辨析,特别提醒1.“逆命题、否
3、命题、逆否命题”都是相对于原命题而言的,都是相对概念,如命题“若x2,则x24”相对于命题“若x=2,则x2=4”是否命题,而相对于命题“若x2=4,则x=2”则是逆否命题. 2.不是“若p,则q”形式的命题,最好先改写成“若p,则q”的形式,再讨论其他三种命题,这样容易分清条件和结论.,一,二,思考辨析,【做一做3】 “若xy,则x2y2”的逆否命题是( ) A.若xy,则x2y2 B.若xy,则x2y2 C.若x2y2,则xy D.若xy,则x2y2 答案:C,一,二,思考辨析,【做一做4】 已知命题:“若x0,y0,则xy0”,则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数
4、为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:原命题是“x0,y0xy0”. 原命题正确, 它的逆否命题也是正确的. 逆命题为“若xy0,则x0,y0”. xy0时也可能x0,y0, 故逆命题为假命题,而否命题与逆命题是等价命题, 否命题也为假命题,故真命题有两个. 答案:B,一,二,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)含有变量的语句也可能是命题. ( ) (2)如果一个语句判断为假,那么它就不是命题. ( ) (3)有些命题在形式上可以不是“若p,则q”的形式. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,命题的判断 【例1】 下列语句是不是命题
5、?若是,判断其真假;若不是,请说明理由. (1)矩形是平行四边形; (2)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗? (3)一个数不是合数就是质数; (4)大角所对的边大于小角所对的边; (5)若x+y是有理数,则x,y都是有理数; (6)求证方程x2+x+1=0无实根. 思维点拨:判断一个语句是不是命题,就是看它能否判断真假,一个命题不是真就是假,二者必居其一,而不能模棱两可;不能辨别真假的语句,一定不是命题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(1)是命题,是真命题. (2)不是命题,没有对垂直于同一条直线的两条直线平行与否进行判断. (3)是命题,1既不是合数也不是质数,是假命题. (4
6、)是命题,在同一个三角形或全等三角形中才符合上述结论,是假命题. (5)是命题,是假命题. (6)不是命题,因为它是祈使句,不涉及真假. 反思感悟判定一个语句是不是命题,主要把握以下两点: (1)含义模糊不清,不能辨其真假的语句,不是命题.另外,在语句中含有比喻、形容等词的词义模糊不清的,都不是命题. (2)不要误以为判断为假的语句不是命题,只不过它是假命题而已.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1判断下列语句是不是命题,若是,判断其真假,并说明理由. (1)请你把这道题解出来. (2)若xR,则x2+4x+40. (3)你是高一的学生吗? (4)并非所有的人都喜欢苹果. (5)方程
7、x2-5x+6=0的根是x=2. (6)60x+94.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(1)是祈使句,不是命题. (2)x2+4x+4=(x+2)20,可以判断真假,是命题,且是真命题. (3)是疑问句,不涉及真假,不是命题. (4)是命题,真命题,有的人喜欢苹果,有的人不喜欢苹果. (5)是命题,假命题,因为还有一根是x=3. (6)不是命题,这种含有未知数的语句,在没有给定变量的值之前,是无法确定其真假的.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,命题的结构 【例2】 指出下列命题中的条件p和结论q. (1)若a,b,c成等差数列,则2b=a+c. (2)若两个三角形相似,则它们的对应角
8、相等. (3)偶函数的图像关于y轴成轴对称. (4)菱形的对角线互相垂直. 思维点拨:一般而言,“若”“如果”“只要”后面是条件,“则”“那么”“就有”后面是结论. 解:(1)条件p:a,b,c成等差数列,结论q:2b=a+c. (2)条件p:两个三角形相似,结论q:这两个三角形的对应角相等. (3)条件p:一个函数是偶函数,结论q:这个函数的图像关于y轴成轴对称. (4)条件p:一个四边形是菱形,结论q:该四边形的对角线互相垂直.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟当一个命题的条件和结论不是很明显时,我们可以把它的表述作适当改变,写成“若p,则q”的形式,如(3)改写成“如果一个函数
9、是偶函数,那么它的图像关于y轴成轴对称”,再分别指出条件p、结论q.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2把下列命题写成“若p,则q”的形式,并指出条件与结论. (1)相似三角形的对应边成比例; (2)当0a1时,函数y=ax是减函数; (3)平行于同一个平面的两平面平行. 解:(1)若两个三角形相似,则它们的对应边成比例. 条件p:两个三角形相似,结论q:两个三角形的对应边成比例. (2)若0a1,则函数y=ax是减函数. 条件p:0a1,结论q:函数y=ax是减函数. (3)若两个平面平行于同一个平面,则这两个平面平行. 条件p:两个平面平行于同一个平面,结论q:这两个平面平行.,
10、探究一,探究二,探究三,思维辨析,四种命题及其关系 【例3】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假. (1)等底等高的两个三角形是全等三角形; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧; (3)若m0或n0,则m+n0. 思维点拨:判断命题的真假要抓住原命题与逆否命题是等价命题,否命题与逆命题是等价命题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(1)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高,真命题. 否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等,真命题. 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高,假命题. (2)逆命题:若一条直线经过圆
11、心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线.真命题. 否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧.真命题. 逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(3)逆命题:若m+n0, 则m0或n0.真命题. 否命题:若m0,且n0, 则m+n0.真命题. 逆否命题:若m+n0, 则m0,且n0.假命题. 反思感悟命题的四种形式之间的关系,提供了一个判断命题真假的变通手段,由于互为逆否命题的两个命题是等价命题,它们同真或同假,所以当一个命题不易判断时,可以通过判断其逆否命题的真假来
12、判断原命题的真假,如判断“若ab0,则a0或b0”的真假,直接去看,是不易判断其真假的,但判断其逆否命题“若a0,且b0,则ab0”就容易多了.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3给出下列命题: “等边三角形的三个内角都是60”的逆命题; “若k0,则一元二次方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题; “全等三角形的面积相等”的否命题. 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:中的逆命题为“三个内角都是60的三角形是等边三角形”,显然这是真命题; 中,由k0,得=4+4k0,因此一元二次方程x2+2x-k=0有实根,因此原命题正确,再根据原命题与其对应的逆否命
13、题同真同假,故为真命题; 为假命题,也就是说“不全等的三角形,面积不相等”是错误的. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,改写命题时忽略大前提致误 【典例】 将命题“当a0时,函数y=ax+b的值随x的增大而增大”写成“若p,则q”的形式,并写出其否命题. 易错分析:原命题有两个条件:“a0”和“x增大”,其中“a0”是大前提,将原命题改写为“若p,则q”的形式时,要把“a0”置于“若”字的前面,把“x增大”作为条件.在写其他命题时,“a0”都必须置于“若”字的前面. 正解:“若p,则q”的形式:当a0时,若x增大,则函数y=ax+b的值也增大. 否命题:当a0时,若x不增大,则函数y
14、=ax+b的值也不增大.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得1.含有大前提的命题,改写成“若p,则q”的形式时,要注意其书写格式为“大前提,若p,则q”. 2.对于含有大前提的命题,在写其他三种命题时,应保持大前提不变.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练命题“已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2”的逆否命题为 . 答案:已知x,y为正整数,若y3且x2,则yx+1,1 2 3 4,1.下列语句中,不能称为命题的是( ) A.512 B.x0 C.若ab,则a+cb+c D.三角形的三条中线交于一点 解析:分析各语句能否判断出真假,选项A能判断为假,选项C,D能判
15、断为真,而选项B中,因为在给x赋值之前,不能判断x0的真假,所以x0不是命题. 答案:B,1 2 3 4,2.给出命题:“已知a,b,c,d是实数,若ab,且cd,则a+cb+d.”对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,其中的真命题有 个. 解析:从表面上看需要判定原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题的真假,若利用互为逆否命题的等价性,其实只需要判定两个命题的真假就可以了.为了简化解题过程,我们采用特例法. 令a=1,b=2,c=4,d=3满足ab,且cd这一条件,但是有a+c=5=b+d这一结论成立,故原命题是错误的,当然其逆否命题也是错误的.原命题的否命题为“若a=b或c=d,则a
16、+c=b+d”,令a=b=1,c=2,d=3,则a+cb+d,这说明其否命题是错误的,从而其逆命题也是错误的. 答案:0,1 2 3 4,3.逆否命题为“菱形的对角线互相垂直”的原命题是 . 解析:先将已知命题化为“若p,则q”的形式:若一个四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直,所以原命题是:若一个四边形的对角线不互相垂直,则这个四边形不是菱形. 答案:对角线不互相垂直的四边形不是菱形,1 2 3 4,4.写出命题“若x0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假. 解:原命题:若x0为真命题. 逆命题:若x2-3x+20,则x1.逆命题为假命题. 否命题:若x1,则x2-3x+20.否命题为假命题. 逆否命题:若x2-3x+20,则x1.逆否命题为真命题.,
