1、 5 二项式定理一 二一 二名 师 点 拨 1.一个二项展开式的某一项的二项式系数 与这一项的系数 (二项式系数与数字系数的积 )是两个不同的概念 ,二项式系数一定为正值 ,而项的系数既可以是正值也可以是负值 ,还可以是 0.一 二答案 :2 一 二二、二项式系数表当 n依次取 1,2,3, 时 ,(a+b)n展开式的二项式系数如图所示 :上图所示的表叫作二项式系数表 .在二项式系数表中 ,有如下两个结论 :一 二一 二名 师 点 拨 1.如果二项式的幂指数是偶数 ,中间一项的二项式系数最大 ;如果二项式的幂指数是奇数 ,中间两项的二项式系数相等并且最大 .一 二一 二思考辨析判断下列 说 法
2、是否正确 ,正确的在后面的括号内打 “”,错误 的打“”.(1)二 项 式定理中字母 a,b的 顺 序是可以任意 变换 的 . ( )(2)“二 项 式系数 ”与 “二 项 式的展开式系数 ”可以相等 . ( )(3)(a+b)n的展开式第 5项 是 ( )(4)(1+x)n中 ,令 x=1可得展开式的所有 项 系数和 为 2n. ( )(5)(a+b)n的展开式中某一 项 的二 项 式系数与 a,b无关 . ( ) 答案 (1) (2) (3) (4)探究一 探究二 探究三 思维辨析【例 1】 (1)求 的展开式 ;(2)化 简 (x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)
3、2+5(x-1).分析 (1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开.(2)分析式子的结构形式 ,逆用二项式定理求 解 .探究一 探究二 探究三 思维辨析探究一 探究二 探究三 思维辨析反思感悟 1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开 ,对于形式较复杂的二项式 ,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形 ,然后再展开 ,以使运算得到简化 .记准、记熟二项式 (a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提 .2.逆用二项式定理更要注意二项展开式的结构特点 ,如果项的系数是正负相间 ,则是 (a-b)n的形式 .探究一 探究二 探究三 思维辨析探究一 探究二
4、 探究三 思维辨析【例 2】 已知在 的展开式中 ,第 9项为 常数 项 ,求 :(1)n的 值 ;(2)展开式中 x5的系数 ;(3)含 x的整数次 幂 的 项 的个数 .分析 先根据通项确定 n的值 ,再 根据特定项的特征逐一求 解 .探究一 探究二 探究三 思维辨析探究一 探究二 探究三 思维辨析反思感悟 1.在通项公式 五个元素 ,只要知道其中四个就可以求出第五个 ,同时注意幂指数 n是正整数 ,r是自然数 ,且 r n.在未知 r,n的情况下 ,用通项公式解题 ,一般都需要先将通项公式转化为方程 (组 )求出 r,n,再代入通项公式求解 .2.利用通项公式可以解决以下问题 :(1)求
5、指定项 .(2)求特征项 ,如常数项 ,即字母的次数为零 ;有理项 ,即字母的次数为整数等 .(3)求指定项、特征项的系数 .探究一 探究二 探究三 思维辨析探究一 探究二 探究三 思维辨析答案 :(1)B (2)D (3)15 探究一 探究二 探究三 思维辨析【例 3】 设 ,求下列各式的 值 .(1)a0;(2)a1+a2+a3+a4+ +a100;(3)a1+a3+a5+ +a99;(4)(a0+a2+ +a100)2-(a1+a3+ +a99)2;(5)|a0|+|a1|+ +|a100|.探究一 探究二 探究三 思维辨析分析 要求常数项 a0只需令 x=0即可 ,而要求除了常数项 a
6、0之外的其他项的系数和 ,则令 x=1求得所有项的系数和 ,由 a1,a3,a5,a7对应的x的指数幂都是奇数 ,剩下各项对应的 x的指数幂都是偶数 ,分别令x=1,x=-1,可区别指数幂为奇数或偶数的项 .|a0|+|a1|+ +|a100|.只要根据 a0,a1,a2, ,a100的正负去绝对值号 ,再进行求 解 .探究一 探究二 探究三 思维辨析探究一 探究二 探究三 思维辨析反思感悟 二项式定理给出的是一个恒等式 ,对于 a,b的一切值都成立 .因此 ,可将 a,b设定为一些特殊的值 .在使用赋值法时 ,令 a,b等于多少 ,应就具体情况而定 ,有时取 “1”,有时取 “-1”,也有时
7、要取其他值 .一般地 ,若 f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn,则 f(x)展开式各项系数之和探究一 探究二 探究三 思维辨析变式训练 3 已知 (1-2x)7=a0+a1x+a2x2+ +a7x7,求 : (1)a1+a2+ +a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)|a0|+|a1|+|a2|+ +|a7|.解 (1)令 x=0可得 (1-0)7=a0,则 a0=1.令 x=1可得 (1-21)7=a0+a1+a2+ +a7,即 a0+a1+a2+ +a7=(-1)7=-1,所以 a1+a2+ +a7=-1-a0=-2.(2)由 (1)得 x=1时 ,a0+a1+a2+ +a
8、7=(-1)7=-1.令 x=-1得 a0-a1+a2- -a7=(1+2)7=37.-得 2(a1+a3+a5+a7)=-1-37,(3)|a0|+|a1|+|a2|+ +|a7|=a0-a1+a2- -a7=37.探究一 探究二 探究三 思维辨析因二项式系数与项的系数混淆而致误【典例】 设 (x- )n展开式中 ,第二 项 与第四 项 的系数之比 为12,试求含 x2的项 .易错分析 二项式中二项式系数与展开式中某一项的系数及某一项这些不同的概念容易混淆而致误 .探究一 探究二 探究三 思维辨析探究一 探究二 探究三 思维辨析1 2 3 41.化 简 (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得 ( )A.x4 B.(x-1)4 C.(x+1)4D.x5解析 原式 =(x-1+1)4=x4.故选 A.答案 A51 2 3 4 51 2 3 43.在二 项 式 的展开式中 ,各 项 系数之和 为 A,各 项 二 项式系数之和 为 B,且 A+B=72,则 n= . 解析 (赋值法 )由题意可知 ,B=2n,令 x=1,得 A=4n,由 A+B=72,得4n+2n=72,即 2n=8,n=3.答案 35
