1、习题课抛物线方程及性质的综合应用,一,二,一、利用抛物线的定义解题 若抛物线的焦点为F,准线为l,点P在抛物线上,则点P到点F的距离等于点P到准线l的距离.,一,二,二、抛物线的焦半径与焦点弦 1.抛物线的焦半径 抛物线上的点到焦点的距离叫做焦半径,其长度如下:,一,二,2.抛物线的焦点弦 过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.若抛物线y2=2px(p0)的焦点弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论: (1)|AB|=x1+x2+p; (2)|AB|=2x0+p(x0是A,B两点横坐标的中点值); (3)AB垂直于对称轴时,AB叫通径,焦点弦中通径最短;,(6)以AB为
2、直径的圆必与准线相切.,一,二,【做一做1】 抛物线y2=8x上一点P到x轴距离为12,则点P到抛物线焦点F的距离为( ) A.20 B.8 C.22 D.24,答案:A,解析:抛物线标准方程为y2=6x,2p=6,故通径的长度等于6. 答案:C,一,二,【做一做3】 过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45的直线,则它被抛物线截得的弦长为( ) A.8 B.16 C.32 D.61 解析:由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=16. 答案:B 【做一做
3、4】 若抛物线y2=-16x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为 . 解析:根据抛物线的定义可知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F(-4,0),所以P点横坐标为-2,代入抛物线方程得y=4 ,故点P的坐标为(-2,4 ). 答案:(-2,4 ),一,二,【做一做5】 已知抛物线x2=4y,经过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2为定值.,证明:抛物线x2=4y的焦点F(0,1),设直线AB的斜率为k,则其方程为y-1=kx.,探究一,探究二,规范解答,利用抛物线的定义解决问题 【例1】
4、 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,且经过点M(2,y0),若点M到焦点的距离为3,则|OM|等于( ),答案:B 反思感悟利用抛物线的定义解题,其实质是利用抛物线的定义,进行了两种距离之间的一种转化,即抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转化,通过这种转化,可以简化解题过程.,探究一,探究二,规范解答,变式训练1在抛物线y2=12x上,与焦点的距离等于9的点的坐标是 .,解析:抛物线的焦点为F(3,0),准线x=-3,抛物线上的点P,探究一,探究二,规范解答,【例2】 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,
5、并求出取最小值时点P的坐标.,思维点拨:根据抛物线的定义,就是在抛物线上找一点P,使得点P到点A的距离与点P到准线的距离之和最小,然后可借助平面几何知识求解.,探究一,探究二,规范解答,解:如图所示,作PNl于点N(l为准线),作ABl于点B, 则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|AB|,当且仅当点P为AB与抛物线的交点时,等号成立.,探究一,探究二,规范解答,反思感悟这类与抛物线有关的最值问题,一般涉及抛物线上的动点到焦点或准线的距离,可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离),构造出“两点间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”,使问题获解.,探究一,探究二,规
6、范解答,变式训练2定点M 与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为( ),探究一,探究二,规范解答,解析:如图所示,连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|MF|,知d1+d2最小值是|MF|,当且仅当点P在线段MF上时,等号成立,而直线MF的方程,答案:C,探究一,探究二,规范解答,抛物线的焦点弦问题 【例3】 已知抛物线方程为y2=2px(p0),过此抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|= p,求AB所在直线的方程. 思维点拨:依题意只需求出直线AB的斜率即可利用点斜式求得方程,可根据焦点弦长度公式
7、求解.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,(方法二),探究一,探究二,规范解答,反思感悟求抛物线的焦点弦长度的两种方法: 一是运用一般的弦长公式.二是直接利用焦点弦长度公式,即如果AB是抛物线y2=2px(p0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,这种方法的实质是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的定义的重要应用.,探究一,探究二,规范解答,变式训练3设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点. (1)设l的斜率为2,求|AB|的大小;,解:
8、(1)依题意得F(1,0),所以直线l的方程为y=2(x-1). 设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.,探究一,探究二,规范解答,(2)证明:设直线l的方程为x=ky+1,设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2 =-4k2+4k2+1-4=-3,探究一,探究二,规范解答,抛物线中的定点与定值问题 【典例】如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证:直线
9、BC的斜率是定值.【审题策略】 欲证明直线BC的斜率为定值,可写出直线BC的方程,然后说明其斜率为定值,或直接用k0= 写出斜率,然后说明k0的值与参数无关;而已知直线AB,AC过定点,AB与AC两直线倾斜角互补,故两直线方程可用同一参数(直线AB的斜率k)来表示.,探究一,探究二,规范解答,【规范展示】 设直线AB的斜率为k(k0). 因为直线AB,AC的倾斜角互补,所以直线AC的斜率为-k(k0). 又直线AB的方程是y=k(x-4)+2,消去y整理得, k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0. 因为A(4,2),B(xB,yB)是上述方程组的解,探究一,探究二,规范
10、解答,故直线BC的斜率为定值.,探究一,探究二,规范解答,【答题模板】 第1步:由已知条件寻求直线AB,AC斜率之间的关系 第2步:写出AB的方程并与抛物线方程联立,利用根与系数的关系求得点B的横坐标. 第3步:根据AB,AC斜率之间的关系,写出点C的横坐标. 第4步:利用两点连线的斜率公式写出直线BC的斜率,整理得到结果. 第5步:得出结论.,探究一,探究二,规范解答,失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下: (1)不能根据AB与AC两直线倾斜角互补,得出其斜率互为相反数,从而无法用一个参数设出直线方程; (2)直线方程与抛物线方程联立后,不能利用根与系数的关系正确地求得点B的
11、坐标; (3)考虑不到利用AB与AC的斜率互为相反数来写出点C坐标; (4)化简整理出现错误.,探究一,探究二,规范解答,变式训练已知抛物线y2=-8x的顶点为O,点A,B在抛物线上,且OAOB,求证:直线AB经过一个定点.,因此直线AB经过定点(-8,0).,1 2 3 4 5,1.抛物线y2=mx的焦点为F,点P(2,2 )在此抛物线上,M为线段PF的中点,则点M到该抛物线准线的距离为( ),答案:D,1 2 3 4 5,答案:B,1 2 3 4 5,3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|= . 解析:|AB|=x1+x2+p=6+2=8. 答案:8,1 2 3 4 5,4.抛物线y=x2上的点到直线y=2x-4的距离最短的点的坐标是 .,解析:设与直线y=2x-4平行且与y=x2相切的直线方程为y=2x+b,由,标为x=1,故所求点的坐标为(1,1). 答案:(1,1),1 2 3 4 5,5.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点的直线交抛物线于A,B两点,且,解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
