1、习题课直线与圆锥曲线的综合问题,一,二,三,一、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系有三种:相交、相切、相离.对应交点个数有两个、一个、无交点.特别注意有一个交点的情况,对于封闭曲线椭圆来说,相切时就只有一个交点;对于双曲线,与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点;对于抛物线,与对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点.,一,二,三,二、与弦有关的问题 圆锥曲线中,与弦有关的题目最常见,问题主要有:(1)已知直线、圆锥曲线方程,求弦长;(2)已知弦长,求圆锥曲线方程或参数;(3)由弦的性质求参数;(4)中点弦所在的直线方程等.解题方法一般为设直线方程,并与曲线方程联立得方程组,化为一
2、元二次方程后,从根与系数的关系,判别式等方面入手求解.,一,二,三,分析:由直线AB过焦点F,倾斜角为 ,可求出直线方程,再由弦长公式即可求出.,解:如图,不妨取椭圆的一个焦点为F(1,0),代入椭圆方程并整理得19x2-30x-5=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),一,二,三,一,二,三,三、综合问题 由于解析几何是通过代数运算来解决几何问题,而圆锥曲线又以其独特的性质成为研究的重点,这就使圆锥曲线的性质与函数、不等式、数列、三角变换、平面向量等知识联系密切,以圆锥曲线为载体来研究数学问题就成了数学中综合性最强、能力要求最高的高考考点之一.,一,二,三,【做一做2】 已知定点F(0
3、,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C. (1)求动点C的轨迹方程; (2)过点F的直线l2交轨迹于P,Q两点,交直线l1于点R,求 的最小值.,解:(1)由题意,知点C到点F的距离等于它到直线l1的距离, 点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线, 动点C的轨迹方程为x2=4y. (2)由题意,知直线l2的方程可设为y=kx+1(k0). 与抛物线方程联立消去y,得x2-4kx-4=0. 设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.,一,二,三,探究一,探究二,与弦有关的问题 1.由弦长求曲线方程 【例1】 椭圆ax2+by2=
4、1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB,思维点拨:利用直线与椭圆的方程联立后的一元二次方程,表示出弦长公式及中点坐标,可得到关于a,b的方程组.,消去y得(a+b)x2-2bx+b-1=0. 因为由题意知a+b0,探究一,探究二,设AB的中点为C(x0,y0),探究一,探究二,反思感悟利用韦达定理表示出弦长公式,是此类问题的常规解法.,探究一,探究二,(1)求椭圆E的离心率; (2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2= 的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.,探究一,探究二,解:(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,(2)由(1)知
5、,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.,易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得,(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),探究一,探究二,探究一,探究二,2.由弦的性质求参数值 【例2】 设双曲线C: -y2=1(a0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B. (1)求双曲线C的离心率e的取值范围;,思维点拨:由于直线与双曲线交于两点,所以联立后二次方程中0,可得a的取值范围,从而求得e的范围,利用向量的坐标,转化为二次方程根的问题,求得a的值.,探究一,探究二,解:(1)由双曲线C与直线l相交于
6、两个不同的点,探究一,探究二,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),反思感悟解决此类问题时应注意运算能力的培养,以及综合应用知识分析和解决问题的能力及数形结合思想.,探究一,探究二,(1)求此椭圆的方程; (2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.,探究一,探究二,探究一,探究二,3.中点弦问题 【例3】 求以(1,-1)为中点的抛物线y2=8x的弦所在直线的方程. 思维点拨:要求过点(1,-1)的弦所在的直线方程,只需求出斜率即可,用“点差法”求直线的斜率.,探究一,探究二,解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(
7、x2,y2),弦所在直线的方程为y+1=-4(x-1), 即4x+y-3=0.,探究一,探究二,反思感悟圆锥曲线中的中点弦问题,利用点差法是简单而有效的方法.,探究一,探究二,变式训练3已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.,解:设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x,y),则y1+y2=2y.,当直线AB的斜率不存在,即ABx轴时,AB的中点为(2,0),适合上式,探究一,探究二,综合问题 【例4】如图,已知A(-3p,0)(p0),B,C两点分别在y轴和x轴上运动,并且满足(1)求动点Q的轨迹方程; (2)设过
8、点A的直线与点Q的轨迹交于E,F两点,且已知A(3p,0),求直线AE,AF的斜率之和.,探究一,探究二,轨迹方程.(2)设出过A点的直线方程,与点Q的轨迹方程联立,用一元二次方程根与系数的关系求解.,解:(1)设Q(x,y),B(0,y0),C(x0,0),探究一,探究二,(2)设过点A的直线方程为y=k(x+3p)(k0),E(x1,y1),F(x2,y2).,由y1y2=12p2,得kAE+kAF=0, 即直线AE,AF的斜率之和为0. 反思感悟向量与圆锥曲线有着密切的联系,常用向量的关系表示曲线的几何性质,并用向量的坐标运算求解,已成为高考考查的热点.,探究一,探究二,(1)点P的轨迹
9、是什么曲线?,思维点拨:向量用坐标表示,把两向量的夹角转化为两直线所成的角,用数形结合法解题.,解:(1)设点P(x,y),由M(-1,0),N(1,0),探究一,探究二,点P的轨迹是以原点为圆心, 为半径的右半圆(不含端点).,探究一,探究二,(2)点P的坐标为(x0,y0),1 2 3 4 5,1.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A,B两点,则|AB|=( ),答案:C,1 2 3 4 5,2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线l交抛物线于A,B两点,且|AF|BF|,则 的值为( ),答案:A,1 2 3 4 5,3.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( ),答案:B,1 2 3 4 5,4.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则AOB的面积为 .,解析:由题意知抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为l:x=-1,可,1 2 3 4 5,(1)求点G的轨迹C的方程.,|OS|=|AB|)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.,1 2 3 4 5,存在直线方程为x-y-2=0或x+y-2=0,使四边形OASB的对角线相等.,
