1、131.4 空间向量的坐标表示对 应 学 生 用 书 P56空间向量的坐标表示在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在 x 轴， y 轴， z 轴上分别取三个单位向量 i， j， k.问题 1：用 i， j， k 表示， 1.提示： AC i j， 1 j k.问题 2：若 1 xi yj zk，则 x， y， z 为多少？与点 C1的坐标有什么关系？提示： i j k， x1， y1， z1，( x， y， z)(1,1,1)与 C1的坐标相同 在空间直角坐标系 O xyz 中，分别取与 x 轴、 y 轴、 z 轴方向相同的单位向量i、 j、 k
2、作为基向量对于空间任意一个向量 a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组( x， y， z)，使 a xi yj zk，有序实数组( x， y， z)叫做向量 a 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，记作 a( x， y， z).空间向量的坐标运算一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为 F1， F2， F3，它们两两垂直，且| F1|3 000 N，| F2|2 000 N，| F3|2 000 3N.问题 1：若以 F1， F2， F3的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示： F(3
3、 000,2 000,2 000 )3问题 2：巨石受到的合力有多大？提示：| F|5 000 N.1设 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)，则 a b( a1 b1， a2 b2， a3 b3)，2a b( a1 b1， a2 b2， a3 b3)， a( a 1， a 2， a 3)， R.2空间向量平行的坐标表示为a b(a0) b1 a 1， b2 a 2， b3 a 3( R)3一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标1确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标(2)通过向量间的坐标运算
4、求得新向量的坐标2空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量对 应 学 生 用 书 P57空间向量的坐标表示例 1 如图所示， PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M、 N 分别是 AB、 PC 的中点，并且 PA AB1.求向量 MN的坐标思路点拨 以 AB、 D、 P为单位正交基底建立空间直角坐标系，用 AB、AD、 P表示 MN，得其坐标精解详析 PA AB AD1， PA平面 ABCD， AB AD，、 、是两两垂直的单位向量设 B e1， e2， AP e3，以 e1， e2， e3为基底
5、建立空间直角坐标系 A xyz.法一： MN N C12 123 AB P ( AC)12 12 ( B D)12 12 D e2 e3，12 12 12 12 MN .(0，12， 12)法二： 如图所示，连结 AC、 BD 交于点 O.则 O 为 AC、 BD 的中点 BC AD，12 12N P，12 M O P e2 e3，12 12 12 12 .(0，12， 12)一点通 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：1.已知 ABCD A1B1C1D1是棱长为 2 的正方体， E， F 分别为 BB1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出 DB， ，DF的坐标解：设 x、 y
6、、 z 轴的单位向量分别为 e1， e2， e3，其方向与各轴上的正方向相同，则 1B A 1B42 e12 e22 e3， DB(2,2,2) E A BE2 e12 e2 e3， (2,2,1)又 F e2， D(0,1,0)2.在直三棱柱 ABO A1B1O1中， AOB ， AO4， BO2， AA14， D 为 A1B1的中点， 2在如图所示的空间直角坐标系中，求 D、 1AB的坐标解：(1) ( ) 1 ( A)12 1O B.12 12又| |4，|4，| O|2， D(2，1，4)(2) A 1 ( A 1) OB .又|2，| |4，| 1|4， 1(4,2，4)3已知向量
7、p 在基底 a， b， c下的坐标是(2,3，1)，求 p 在基底a， a b， a b c下的坐标解：由已知 p2 a3 b c，设 p x a y(a b) z(a b c)( x y z)a( y z)b z c.由向量分解的惟一性，得Error! 解得Error! p 在基底 a， a b， a b c下的坐标为(1,4，1).空间向量的坐标运算5例 2 已知 a(2，1，2)， b(0，1,4)，求： a b， a b,3a2 b.思路点拨 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似精解详析 a b(2，1，2)(0，1,4)(20，1(1)，24)(2，2,2)
8、a b(2，1，2)(0，1,4)(20，1(1)，24)(2,0，6)3a2 b3(2，1，2)2(0，1,4)(6，3，6)(0，2,8)(6，5,2)一点通 空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用4已知 a(1，2,4)， b(1,0,3)， c(0,0,2)求：(1) a( b c)；(2)4a b2 c.解：(1) b c(1,0,5)， a( b c)(1，2,4)(1,0,5)(0，2，1)(2)4a b2 c(4，8,16)(1,0,3)(0,0,4)(3，8,17)5已知 O 为原点， A， B， C， D 四点的坐
9、标分别为： A(2，4,1)， B(3，2,0)，C(2,1,4)， D(6,3,2)，求满足下列条件的点 P 的坐标(1) P2( )；(2) .解：(1) AB C (3,2,0)(2,1,4)(5,1，4)， O2(5,1，4)(10,2，8)，点 P 的坐标为(10,2，8)(2)设 P(x， y， z)，则 P( x2， y4， z1)，又 AB(1,6，1)， DC(8，2,2)， (9,8，3)，( x2， y4， z1)(9,8，3)，Error! 解得Error!所以点 P 的坐标为(11,4，2).6空间向量的平行例 3 已知四边形 ABCD 的顶点坐标分别是 A(3，1,
10、2)， B(1,2，1)，C(1,1，3)， D(3，5,3)，求证：四边形 ABCD 是一个梯形思路点拨 证明 AB C且 D不平行 C，或证 D且| A| C|即可精解详析 (1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)， (3，5,3)(1,1，3)(4，6,6)， ， 24 3 6 36 AB与 CD共线，即 AB CD，又 (3，5,3)(3，1,2)(0，4,1)，(1,1，3)(1,2，1)(2，1，2)， ， A与 BC不平行0 2 4 1 1 2四边形 ABCD 为梯形一点通 利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应该遵循的步骤是：(1)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标；(2
11、)写出相应向量的坐标；(3)证明两个向量平行；(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一向量所在的直线上，从而证得线线平行6设 a(1,2，1)， b(2,3,2)若( ka b)( a3 b)，求 k 的值解： ka b( k,2k， k)(2,3,2)( k2,2 k3,2 k)，a3 b(1,2，1)(6,9,6)(7，7，7)( ka b)( a3 b)， ， k .k 27 2k 3 7 2 k 7 137.如图，在长方体 OAEB O1A1E1B1中， OA3， OB4， OO12，点 P 在棱 AA1上，且 AP2 PA1，点 S 在棱 BB1上，且 SB12 BS，点7Q、
12、R 分别是棱 O1B1、 AE 的中点求证： PQ RS.证明：如图，建立空间直角坐标系，则 A(3,0,0)， B(0,4,0)， O1(0,0,2)， A1(3,0,2)，B1(0,4,2) PA2 PA1， SB12 BS，Q、 R 分别是棱 O1B1、 AE 的中点， P ， Q(0,2,2)， R(3,2,0)， S . (3， 0，43) (0， 4， 23)于是 . PQ.( 3， 2，23) RPQ， PQ RS.1运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)
13、转化为几何结论2用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内对应课时跟踪训练(二十一) 1已知 a(1，2,1)， a b(1,2，1)，则 b_.解析： b a( a b)(1，2,1)(1,2，1)(2，4,2)答案：(2，4,2)2已知点 A 在基底 a， b， c下的坐标为(2,1,3)，其中a 4i 2j， b 2j 3k， c 3k j，则点 A 在基底 i， j， k下的坐标为_解析：由题意知点 A 对应向量为 2a b 3c2(4 i2 j)(
14、2 j3 k)3(3 k j)88 i3 j12 k，故点 A 在基底 i， j， k下的坐标为(8,3,12)答案：(8,3,12)3已知向量 a(2，1,3)， b(1,4，2)， c(7,0， )，若 a、 b、 c 三个向量共面，则实数 _.解析：由 a、 b、 c 共面可得 c xa yb，Error! 解得 10.答案：104已知 a(2 x,1,3)， b(1，2 y,9)，若 a b，则 x_，y_.解析： a(2 x,1,3)， b(1，2 y,9)，又 a b，显然 y0， ，2x1 1 2y 39 x ， y .16 32答案： 16 325已知点 A(4,1,3)， B
15、(2，5,1)， C 为线段 AB 上一点，且 AC B，则 C 点坐13标为_解析：设 C 点坐标( x， y， z)，则 A( x4， y1， z3)(2，6，2)， AB (2，6，2) ，13 13 ( 23， 2， 23)Error! 解得：Error!答案：( ，1， )103 736已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M， N 分别是 AB， PC 的中点，并且PA AD1，试建立适当的坐标系并写出向量， DC的坐标解：如图，因为 PA AD AB1，且 PA平面 ABCD， AD AB，所以可设 AD e1， B e2， AP e3，以 e1， e2， e3为基底
16、建立空间直角坐标系 Axyz.因为 C e2，9MN A P N MA P C12 B ( D )12 12 e2 e3 ( e3 e1 e2) e1 e3.12 12 12 12所以 N ， C(0,1,0)(12， 0， 12)7已知 A、 B、 C 三点的坐标分别是(2，1,2)，(4,5，1)、(2,2,3)求点 P 的坐标，使：(1)OP ( )；12(2)A ( B C)12解：(2,6，3)， A(4,3,1)(1)OP (6,3，4) ，12 (3， 32， 2)则点 P 的坐标为 .(3，32， 2)(2)设 P 为( x， y， z)，则 AP( x2， y1， z2) (
17、AB C) ，12 (3， 32， 2) x5， y ， z0，则点 P 的坐标为 .12 (5， 12， 0)8. 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， DA DC4， DD13，点 P 是线段 BD1上一动点，E 是 BC 的中点，当点 P 在什么位置时， PE A1B?解：以 D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(4,0,3)， B(4,4,0)， C(0,4,0)， D1(0，0,3) E 为 BC 的中点， E(2,4,0) 1(4,4,0)(4,0,3)(0,4，3)，BD(0,0,3)(4,4,0)(4，4,3)，(4,4,0)(2,4,0)(2,0,0)设 P 1，则 EP B E 1BD. E(2,0,0)， 1D(4 ，4 ，3 )，10 EP(24 ，4 ，3 )由 PE A1B，得 1，Error! .12此时点 P 为 BD1的中点故当点 P 为 BD1的中点时， PE A1B.
