1、- 1 -1 从平面向量到空间向量课后训练案巩固提升1.下面几个命题: 向量的模是一个正实数; 所有的单位向量相等; 所有的零向量相等; 一条直线的方向向量是相等的 .其中错误的命题个数为( )A.4 B.3 C.2 D.1解析:0 的模为 0,故 错;所有单位向量的模相等,但方向不一定相同,故 错, 对;一条直线的方向向量不唯一,故 错 .答案:B2.在四边形 ABCD 中,若 ,且 | |=| |,则四边形 ABCD 为( )A.菱形 B.矩形C.正方形 D.不确定解析:若 ,则 AB=DC,且 AB DC,所以四边形 ABCD 为平行四边形 .又 | |=| |,即AC=BD,所以四边形
2、 ABCD 为矩形 .答案:B3.把空间所有单位向量归结到一个共同的始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )A.一个圆 B.两个孤立的点C.一个球面 D.一个平面解析:半径为 1 的球面上所有点到球心的距离为 1.答案:C4.在正三棱锥 A-BCD 中, E,F 分别为棱 AB,CD 的中点,设 = ,= ,则 += ( )A. B. C. D.解析:如图,取 BC 的中点 G,连接 EG,FG,则 EG AC,FG BD,故 FEG= , EFG=. 三棱锥A-BCD 是正三棱锥, AC BD,EG FG,即 EGF= .+= FEG+ EFG= .答案:D5. 导学号 90074018
3、下列命题: 两个相反向量必是共线向量; 温度含有零上温度和零下温度,所以温度是向量; 已知空间四边形 ABCD,则由四条线段 AB,BC,CD,DA 分别确定的四个向量之和为零向量;- 2 - 不相等的两个空间向量的模必不相等 .其中,真命题的序号为 . 答案: 6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E,F,G,H 分别是 AB,AD,BC,CC1的中点,则 = .解析:连接 DB,BC1,DC1.ABCD-A 1B1C1D1为正方体, BDC1为等边三角形 .E ,F,G,H 分别是 AB,AD,BC,CC1的中点,EF BD,GH BC1.= .答案:7.如图,已知 ABCD
4、-A1B1C1D1为平行六面体,若以此平行六面体的顶点为向量的始点、终点,求:(1)与 相等的向量;(2) 的相反向量;(3)与 平行的向量 .解如图,连接 AD1,CD1.(1)与 相等的向量为 .- 3 -(2) 的相反向量为 .(3)与 平行的向量为 .8.如图,在正方体 ABCD-ABCD中,求:(1),;(2),.解(1) ABCD-ABCD 为正方体,AB AB,AD DC,AB CD.=0,= ,=.(2) 在正方体 ABCD-ABCD中 AD BC,= .连接 AC,则 ACD为等边三角形, = .9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PD平面 ABCD,底面 ABCD 为正
5、方形,且 PD=CD,E,F 分别是 PC,PB 的中点 .(1)试求以 F 为起点的直线 DE 的一个方向向量;(2)试求以 F 为起点的平面 PBC 的一个法向量 .解(1)如图,取 AD 的中点 M,连接 MF,EF,- 4 -E ,F 分别是 PC,PB 的中点, EF BC.又 BC AD,EF AD,EF DM, 四边形 DEFM 是平行四边形,MF DE, 是以 F 为起点的直线 DE 的一个方向向量 .(2)PD 平面 ABCD,PD BC.又 BC CD,且 PD DC=D,BC 平面 PCD.DE 平面 PCD,DE BC.又 PD=CD,E 为 PC 的中点, DE PC.又 BC PC=C,DE 平面 PBC, 是平面 PBC 的一个法向量,由(1),可知 , 就是以 F 为起点的平面 PBC 的一个法向量 .
