1、- 1 -浙江省“温州十校联合体”2018-2019 学年高一上学期期末考试数学试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接根据特殊角的三角函数值，得出答案.【详解】根据特殊角的三角函数值，可知 .故选 D.【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.从 到 内特殊角的三角函数值需要熟练记忆.2.已知函数 ，则 的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据 的范围，求得 的范围，由此求得 的值域.【
2、详解】由于 ， ，所以 ，故选 C.【点睛】本小题主要考查具体函数值域的求法，属于基础题.3.为了得到 的图象，只需将 的图象（ ）- 2 -A. 向左平移 个长度单位 B. 向右平移 个长度单位C. 向右平移 个长度单位 D. 向左平移 个长度单位【答案】A【解析】【分析】利用 ，可知 向左平移 个长度单位.【详解】由于 可化简为 ，故只需将 向左平移 个长度单位得到 ，故选 A.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，属于基础题.在平移变换的过程中，要注意一个是“左加右减” ，另一个是要注意 的系数的影响.4.函数 的部分图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由
3、奇偶性排除 ，由特殊点排除 ，从而可得结果.【详解】因为 ，所以 是偶函数，图象关于 轴对称，可排除选项 ；取 ，则 ，可排除 ，故选 C.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近- 3 -年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.5.已知 ，则 （ ）A. 7 B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所求表达式，然后分子分母同时除以 ，转化为 的
4、式子，再将代入，求得表达式的值.【详解】依题意，原式 ，分子分母同时除以 得 .故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查利用齐次方程三角函数式的值，属于基础题.对于 或者 的化简，要用到诱导公式，口诀是“奇变偶不变，符号看象限”.奇变的意思是若 为奇数，化简时函数名称要改变；若 为偶数，化简时函数名称不用改变.符号是将 看成锐角时， 所在的象限，原函数的正负 .6.已知定义域为 的偶函数 在 上是减函数，且 ，则不等式 的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的性质可得函数在 上单调递减，且 .由此将不等式 转化为 来求解得不等式的解集.- 4 -
5、【详解】由于函数是定义在 上的偶函数，且在 上递减，故函数在 上单调递增，且 .所以原不等式 转化为 ，即 ，或，解得 或 故选 A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性以及单调性，考查对数不等式的解法，属于中档题.7.在 中， ， ， ，则 在 方向上的投影是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将 转化为 ，将 两边平方，证得 ，在直角三角形 中，求得 夹角的余弦值，以及 ，代入公式 求得题目所求 在 方向上的投影.【详解】 ，两边平方并化简得 ，即 ，故三角形为直角三角形，所以 ， .所以 在 方向上的投影.故选 D.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积，考查向量投影的
6、计算，属于基础题.8.若函数 能够在某个长度为 3 的闭区间上至少三次出现最大值 3，且在上是单调函数，则整数 的值是（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】【分析】出现三次最大值，即为两个周期，由此得到 .根据函数在 上是单调函数，得到- 5 -.解两个关于 的不等式，由此求得 的取值范围，进而确定整数 的值.【详解】由于函数“在某个长度为 3 的闭区间上至少三次出现最大值 3”，即为两个周期，由此得到 ，即 .根据函数在 上是单调函数，由于函数是奇函数，图像关于原点对称，即函数在 上是单调函数，故 ，即 .由 得 ，解得 .由于 为整数，故 ，所以选 B.【点睛】本小
7、题主要考查三角函数的周期性与最大值，考查三角函数的单调性，属于中档题.9.设定义在 上的函数 ，对于给定的正数 ，定义函数 ，则称函数为 的“ 界函数”.关于函数 的“2 界函数” ，则下列等式不成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得函数 的“ 界函数” ，然后对四个选项逐一进行排除，由此得到正确选项.【详解】令 ，解得 或 ，根据“ 界函数”的定义，有.所以 ， ，故 A 选项成立.， ，故 B 选项不成立.， ，故 C 选项成立. ， ，故 D 选项成立.综上所述，本小题选 B.【点睛】本小题主要考查新定义函数的概念及应用，考查分段函数求值，考查分析问题和解
8、决问题的能力.属于中档题.解题的突破口在于理解新定义的函数：新定义的函数关键是函数值大于 ，或者函数值小于或等于 ，也就是先要求得函数值等于 时对应 的值，由此写出分- 6 -段函数“ 界函数”.10.已知函数 在 上有两个不同的零点，则 的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次函数零点的分布，列出关于 的不等式组，将 分别看作 ，画出不等式组对应的可行域.取可行域内的点代入 进行验证，利用排除法得出正确选项.【详解】根据二次函数零点的分布，列出关于 的不等式组 ，即.将 分别看作 ，画出不等式组对应的可行域如下图所示.取可行域内点代入 得到结果是 排除 选项.
9、取可行域内点 代入 ，得到结果是 ，排除 A,B 两个选项，故本小题选 D.- 7 -【点睛】本小题主要考查二次函数零点分布问题的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）11.已知 ，集合 ， ，则_， _.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用交集的知识求得两个集合的交集，先求得集合 的补集，然后求这个补集和集合 的并集.【详解】依题意可知 , ，故- 8 -.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查集合补集的概念及运算，考查并集的运算，属于基础题.12.已知向量 ， ，则 _，与 方
10、向相反的单位向量_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求得 的坐标，然后求它的模.用 求得 的坐标.【详解】依题意 ，故 .与 方向相反的单位向量 为.【点睛】本小题主要考查平面向量加法的坐标运算，考查平面向量模的坐标表示，考查相反的向量，考查单位向量等知识，属于基础题.对于两个向量 ，也即是两个向量加法的结果还是一个向量.向量 方向上的单位向量的求法是 .13.（1）计算 _， （2）若 ，则 _【答案】 (1). 3 (2). 【解析】【分析】（1）利用指数和对数运算公式，求得运算结果.（2）先求得 的值，代入所求表达式，利用对数运算公式化简，求得结果.【详解】 （1）原式
11、.（2）依题意- 9 -，故 .【点睛】本小题主要考查指数运算公式，考查对数运算公式，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知扇形的周长为 8，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角 等于_ 【答案】2【解析】【分析】设出扇形的半径，求得扇形面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值，及此时扇形的半径和对应圆心角 .【详解】设扇形的半径为 ，则对应的弧长为 ，扇形的面积为，当且仅当 时等号成立，此时弧长为 ，对应的圆心角为 .【点睛】本小题主要考查扇形的周长、面积公式，考查利用基本不等式求面积的最大值，考查基本不等式等号成立的条件，还考查了弧长与圆心角弧度数的对应关系，属于基础题.对于基本不等式
12、，它可以变形为 ，也可以变形为 ，具体选择哪一个，要看题目所给条件来决定.15.已知函数 ，当 时， ，则 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】等价为函数是减函数，根据指数函数、对数函数的单调性，列出不等式组，解不等式组求得 的取值范围.- 10 -【详解】由于 等价为函数是减函数，故 ，解得 .【点睛】本小题主要考查函数单调性的识别，考查指数函数、对数函数的单调性的运用，属于基础题.16.已知平面向量 与 的夹角为锐角， ， ，且 的最小值为 ，若向量 满足，则 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据 的最小值为 可知 的夹角为 ，画出向量对应的平面图形，建立平面直角坐标系，求得 两点
13、的坐标，设出 的坐标，代入 ，求得 坐标满足的方程，根据这个方程对应的曲线是圆，由圆上的点和原点的距离的最大值和最小值，求得 的取值范围.【详解】画出图像如下图所示，其中 ，设 .由于 的最小值为 ，根据向量加法的几何意义可知 ,而 ，故 ， .以 为坐标原点，分别为 轴建立如图所示的平面直角坐标系， ，设 .由于，即 ，化简得 ，即 对应的点在以为圆心，半径为 的圆上，而 表示圆上的点到原点的距离.圆心到原点的距离为，故 的取值范围是 .- 11 -【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查平面向量加法的几何意义，考查建立平面直角坐标系的方法研究向量模的取值范围，考查化归与转化的数学思想
14、方法、考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.解题的关键点在于将 的坐标满足的方程转化为圆的方程，将模的为题转化为圆上的点到原点距离来求解.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知平面上三点 ， ， . （1）若 ，求实数 的值.（2）若 是以 为斜边的直角三角形，求实数 的值.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）根据模的运算公式列方程，解方程求得 的值.（2）先求得 的坐标，根据题意,利用 列方程，解方程求得 的值.【详解】 （1）由于 ，则 ，解得 .（2）- 12 -由题意得 为直角，则 .即 ，故 .【点睛】本小题
15、主要考查向量模的运算，考查向量加法的坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.18.已知函数 ， 的部分图像如图所示，函数图像与 轴的交点为，并且与 轴交于 两点，点 是函数 的最高点，且 是等腰直角三角形.（1）求函数 的解析式.（2）若函数 在 上有两个不同的解，求 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）根据 是等腰直角三角形求得 的长，也即是半周期的值，由此求得周期并求得的值.代入点 求得 的值，由此求得函数的解析式.（2）求得函数 在区间 上的值域，根据 有两个交点，求得 的取值范围.【详解】解：（1）因为 是函数 的最高点，所以 .又 为等腰直角三角形，.
16、， ， .又因为过点 ，所以 .， .所以 .（2） ， .- 13 -因为 有两个交点，所以 .【点睛】本小题主要考查根据三角函数的图像求三角函数的解析式，考查三角函数的值域的求法，属于中档题.19.已知函数 ， 为常数. （1）若 ，求证 为奇函数；并指出 的单调区间.（2）若对于 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）当 时，先求出函数 的定义域，然后证明 ，由此证得函数是奇函数.由于 ，根据复合函数单调性同增异减可知，函数在 上为增函数.（2）将原不等式分离常数得到 ，利用单调性求得左边函数的最小值，由此求得 的取值范围.【详解】 （
17、1）当 时， .的定义域为 .当 时，.- 14 -是奇函数.的单调增区间为 .（2）由.令 ，只需要 .由（1）知 在 上是增函数，所以 .则 的取值范围是 .【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的证明，考查函数单调性的识别以及应用，考查复合函数的单调性，考查分离常数法解不等式恒成问题.要证明一个函数是奇函数，首先要求得函数的定义域，然后根据奇函数的定义，证明 来证明.不等式恒成立问题，一个重要的解题策略就是分离常数法.20.若函数 ， 为常数. （1）若 在 上的最大值为 3，求 的值.（2）已知 ，若存在实数 ，使得函数 有三个零点，求 的取值范围.【答案】 （1） 或 （2）【解析】【分析
18、】（1）利用零点分段法去绝对值，将原函数表示为分段函数的形式，对 分成 两类讨论函数的最大值，由此求得 的取值范围.（2）将函数有三个零点的问题，转化为函数与直线 有三个不同交点，构造函数 ，将其表示为分段函数的形式，对 分成 ， ，两类，结合函数的图像，求得 的取值范围.- 15 -【详解】 （1）当 时， ， .当 时， ， .综上， 或 .（2）有三个零点 有三个不同实根函数 与直线 有三个不同交点.令 ，则 .当 时， 在 上单增，在 上单减，在 上单增.，即 .， .当 时， 在 上单增，在 上单减，在 上单增.，即 .， .综上： .【点睛】本小题主要考查含有绝对值符合的函数的解题策略，考查零点问题，考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.- 16 - 17 -
