1、1第 1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理考纲解读 1.理解两个计数原理(分类加法计数原理和分步乘法计数原理)(重点)2.能正确区分“类”和“步” ，并能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，对两个计数原理很少独立命题. 预测 2020年高考将会综合考查两个计数原理与排列组合知识. 试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型.1两个计数原理2两个计数原理的区别与联系21概念辨析(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同( )(2)在分步乘法计数原理中，只有各个步骤都完成后，这件事情才算完成( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤
2、中完成这个步骤的方法是各不相同的( )(4)如果完成一件事情有 n个不同的步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1,2,3， n)，那么完成这件事共有 m1m2m3mn种方法( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)从甲地到乙地，每天飞机有 5班，高铁有 10趟，动车有 6趟，公共汽车有 12班某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有( )A22 种 B33 种 C300 种 D3600 种答案 B解析 由分类加法计数原理知共有 51061233 种出行方案(2)某人有 3个电子邮箱，他要发 5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有( )A8 种 B15 种 C3 5种 D
3、5 3种答案 C解析 发 5封不同的电子邮件，分 5步，每一步有 3种方法，由分步乘法计数原理得不同的发送方法有 35种(3)从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数 a， b组成复数 a bi，其中虚数3有( )A30 个 B42 个 C36 个 D35 个答案 C解析 a bi为虚数， b0，即 b有 6种取法， a有 6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成 6636 个虚数(4)如图，要让电路从 A处到 B处接通(只考虑每个小并联单元只有一个开关闭合的情况)，可有_条不同的路径答案 9解析 分以下三种情况计数第一层有 326 种路径；第二层有 1种路径；第三层有 2种路径；
4、由分类加法计数原理知，共有 6129 种路径题型 分类加法计数原理的应用一1(2018石家庄模拟)满足 a， b1,1,2，则关于 x的方程 ax22 x b0 有实数解的有序数对( a， b)的个数为( )A9 B8 C7 D6答案 D解析 由 a， b的取值可知， ax22 x b0 有实数解的条件为 2 24 ab44 ab0.当 a1 时， b1，1,2，共 3种情况；当 a1 时，b1,1，共 2种情况；当 a2 时， b1，有 1种情况，共有 3216 种情况2已知椭圆 1，若 a2,4,6,8， b1,2,3,4,5,6,7,8，这样的椭圆有x2a2 y2b2_个( )A12 B
5、16 C28 D324答案 C解析 解法一：若焦点在 x轴上，则 ab， a2 时，有 1个； a4 时，有 3个； a6时，有 5个； a8 时，有 7个，共有 135716 个若焦点在 y轴上，则 ba， b3 时，有 1个； b4 时，有 1个； b5 时，有 2个；b6 时，有 2个； b7 时，有 3个， b8 时，有 3个共有 11223312个故共有 161228 个解法二：椭圆中 a b，而 a b有 4种情况，故椭圆的个数为 48428.1分类加法计数原理的用法及要求(1)用法：应用分类加法计数原理进行计数时，需要根据完成事件的特点，将要完成一件事的方法进行“分类”计算(2)
6、要求：各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事2使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则提醒：对于分类类型较多，而其对立事件包含的类型较少的可用间接法求解 1三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )A4 种 B6 种 C10 种 D16 种答案 B解析 分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有 3种方法(如图)，甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲同理，甲先传给丙时，满足条件有 3种踢法由分类加法计数原理，
7、共有 336 种传递方法故选 B.2(2019重庆模拟)在平面直角坐标系内，点 P(a， b)的坐标满足 a b，且 a， b都是集合1,2,3,4,5,6)中的元素又点 P到原点的距离| OP|5，则这样的点 P的个数为_答案 20解析 依题意可知，当 a1 时， b5,6,2 种情况；当 a2 时， b5,6,2 种情况；当 a3 时， b4,5,6,3 种情况；当 a4 时， b3,5,6,3 种情况；当 a5 或 6时， b各有 5种情况5由分类加法计数原理得点 P的个数为 22335520.题型 分步乘法计数原理二1(2016全国卷)如图，小明从街道的 E处出发，先到 F处与小红会合
8、，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A24 B18 C12 D9答案 B解析 分两步，第一步，从 E F，有 6条可以选择的最短路径；第二步，从 F G，有3条可以选择的最短路径由分步乘法计数原理可知有 6318 条可以选择的最短路径故选 B.2某市汽车牌照号码可以网上自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母 G， L中选择，其他四个号码可以从 09 这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主从左到右第一个号码只想在 1,3,5,7中选择，其他号码只想在 1,3,6,8,9中选择，则供他可选的车牌号码的种数为( )A21 B800 C960
9、 D1000答案 D解析 分步完成从左到右第一个号码有 4种选法，第二个号码有 2种选法，第三个号码有 5种选法，第四个号码有 5种选法，第 5个号码有 5种选法，共有425551000 种不同的选法条件探究 把举例说明 2中的条件“ G， L”改为“ B， C， D”， “1,3,5,7”改为“3,5,6,8,9”， “1,3,6,8,9”改为“1,3,6,9” ，其他条件不变，应如何解答？解 按照车主的要求，从左到右第一个号码有 5种选法，第二个号码有 3种选法，其余三个号码各有 4种选法因此车牌号码可选的所有可能情况有 53444960(种)1分步乘法计数原理的用法及要求(1)用法：应用
10、分步乘法计数原理时，需要根据要完成事件的发生过程进行“分步”计算(2)要求：每个步骤相互依存，其中的任何一步都不能单独完成这件事，只有当各个步6骤都完成，才算完成这件事2应用分步乘法计数原理的注意点(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，必须要经过几步才能完成这件事(2)解决分步问题时要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选取.在某一运动会百米决赛上，8 名男运动员参加 100米决赛其中甲、乙、丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8名运动员比赛的方式共有_种答案 2880解析 分两步安排这 8名运动员第一步：安排甲、乙、丙
11、三人，共有 1,3,5,7四条跑道可安排故安排方式有43224(种)第二步：安排另外 5人，可在 2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有 54321120(种)故安排这 8人的方式共有 241202880(种)题型 两个计数原理的综合应用三角度 1 与数字有关的问题1用数字 0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比 40000大的偶数共有( )A144 个 B120 个 C96 个 D72 个答案 B解析 由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是 4或 5.当万位数字为 4时，个位数字从 0,2中任选一个，共有 243248 个偶数；当万位数字为 5时，个位数
12、字从0,2,4中任选一个，共有 343272 个偶数故符合条件的偶数共有 4872120(个)角度 2 涂色、种植问题2(2019天津模拟)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )A24 B48 C72 D967答案 C解析 分两种情况： A， C不同色，先涂 A有 4种， C有 3种， E有 2种， B， D有 1种，有43224(种)涂法 A， C同色，先涂 A有 4种， E有 3种， C有 1种， B， D各有 2种，有432248(种)涂法故共有 244872 种涂色方法角度 3 分配问题3某校在暑假组织
13、社会实践活动，将 8名高一年级的学生平均分配到甲、乙两家公司，其中 2名英语成绩优秀的学生不能分给同一家公司，另 3名擅长电脑的学生也不能分给同一家公司，则不同的分配方案有( )A36 种 B38 种 C108 种 D114 种答案 A解析 由题意可知，有 2种分配方案：分给甲公司 2名擅长电脑的学生，有 3种可能；1 名英语成绩优秀的学生，有 2种可能；再从剩下的 3人中选 1人，有 3种可能，共有 32318 种分配方案分给甲公司 1名擅长电脑的学生，有 3种可能；1 名英语成绩优秀的学生，有 2种可能；再从剩下的 3人中选 2人，有 3种可能，共有32318 种分配方案由分类加法计数原理
14、，可知不同的分配方案共有 181836(种)，故选 A.1利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类(3)弄清分步、分类的标准是什么(4)利用两个计数原理求解2与数字有关的问题的解题思路一般按特殊位置由谁占领分类，每类中再分步计数，当分类较多时，也可用间接法求解如举例说明 1.3涂色(种植)问题的解题关注点和关键(1)关注点：分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素(2)关键是对每个区域逐一进行，分步处理如举例说明 2.4分配问题的解题思路一般按分配规则总体分类，每类中再分步计数如举例说明 3.提醒：对于较复
15、杂的两个原理综合应用的问题，可恰当画出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化，以图助解.1(2018吉林省实验中学四模)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量高的蔬菜，若这三8种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有( )1 2 3 4A.9种 B18 种 C12 种 D36 种答案 B解析 给四块菜地分别标记为 1号位，2 号位，3 号位，4 号位，若有两块菜地种植西红柿，则它们在 1、3,1、4 或 2、4 号位，其他两号位分别种植黄瓜和茄子，所以共有326 种种植
16、方式同理，两块菜地种植黄瓜或茄子也都有 6种种植方式，所以共有6318 种种植方式故选 B.2(2018石家庄模拟)为举办校园文化节，某班推荐 2名男生、3 名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器 1人，舞蹈 2人，演唱 2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为_(用数字作答)答案 24解析 若参加乐器培训的是女生，则各有 1名男生及 1名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有 32212(种)方案；若参加乐器培训的是男生，则各有 1名男生、1 名女生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有 23212(种)方案，所以共有 24种推荐方案3(2018湖北模拟)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数如22,121,3443,94249等显然 2位回文数有 9个：11,22,33，99.3 位回文数有 90个：101,111,121，191,202，999.则：(1)4位回文数有_个；(2)2n1( nN *)位回文数有_个答案 (1)90 (2)910 n解析 (1)4 位回文数相当于填 4个方格，首尾相同，且不为 0，共 9种填法；中间两位一样，有 10种填法共计 91090(种)填法，即 4位回文数有 90个(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格由计数原理，共有 910n种填法9
