1、1第 3 讲 二项式定理考纲解读 1.会用计数原理证明二项式定理，并会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题(重点)2.熟练掌握二项式的展开式、展开式的通项及二项式系数的相关性质(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲为每年高考的必考点. 预测 2020 年将会考查：求二项式的特定项或项的系数；求二项式系数的最大项或二项式系数的和；与其他知识进行综合考查. 题型以客观题形式考查，难度不大，属中、低档题型.1二项式定理2二项式系数的性质23.常用结论(1)C C C C 2 n.0n 1n 2n n(2)C C C C C C 2 n1 .0n 2n 4n 1n 3n 5n(3)C 2C
2、 3C nC n2n1 .1n 2n 3n n(4)C C C C C C C .rm0n r 1m 1n 0mrn rm n(5)(C )2(C )2(C )2(C )2C .0n 1n 2n n n21概念辨析(1)(a b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a， b 无关( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项( a b)2n中系数最大的项是第 n 项( )(3)(a b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同( )(4)若(3 x1) 7 a7x7 a6x6 a1x a0，则 a7 a6 a1的值为 128.( )答案 (1) (2)
3、(3) (4)2小题热身3(1) 8的展开式中常数项为( )(x 12x)A. B. 3516 358C. D105354答案 B解析 二项展开式的通项为Tk1 C ( )8 k k kC x4 k，k8 x (12x) (12) k8令 4 k0，解得 k4，所以 T5 4C .(12) 48 358(2)(x y)n的二项展开式中，第 m 项的系数是( )AC BCmn m 1nCC D(1) m1 Cm 1n m 1n答案 D解析 ( x y)n的二项展开式中第 m 项的通项公式为TmC ( y)m1 xn m1 ，所以系数为 C (1) m1 .m 1n m 1n(3)若( x1) 5
4、 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，则 a0的值为( )A1 B0 C1 D2答案 A解析 令 x0 得，(1) 5 a0，即 a01.(4)若 n的展开式中所有二项式系数之和为 128，则 n_.(x3 1x)答案 7解析 由题意，可知 2n128，解得 n7.题型 二项展开式一角度 1 求二项展开式中的特定项或系数1(1)(2018全国卷) 5的展开式中 x4的系数为( )(x22x)A10 B20 C40 D804(2)(2019茂名模拟)已知 a cosxdx，则 6展开式中，常数项为20 (ax 1ax)_答案 (1) C (2)20解析 (1)由题可得 Tr1
5、C (x2)5r r C 2rx103r .令 103r4，则 r2，所r5 (2x) r5以 C 2r C 2240，故选 C.r5 25(2)因为 a cosxdx sinx 1， 6展开式的通项为 Tr1 C (ax)62r .20 (ax 1ax) r6令 62r0，解得 r3，代入得到常数项为 20.角度 2 已知二项展开式某项的系数求参数2(1)已知(2ax)(12x) 5的展开式中，含 x2项的系数为 70，则实数 a 的值为( )A1 B1 C2 D2(2)记 n的展开式中第 m 项的系数为 bm.若 b32b 4，则 n_.(2x1x)答案 (1)A (2)5解析 (1)(1
6、2x) 5展开式的通项公式为 Tr1 C (2x) r，所以(2ax)(12x) 5的r5展开式中，含 x2项的系数为2C (2) 2a C (2)70，解得 a1.25 15(2)Tr1 C (2x)nr r2 nr C xn2r .rn (1x) rnb 32b 4，2 n2 C 22 n3 C .2n 3n C C ，n5.2n 3n角度 3 多项展开式3(1)(2015全国卷)(x 2xy) 5的展开式中，x 5y2的系数为( )A10 B20 C30 D60(2)(2019陕西黄陵中学模拟) 5展开式中 x2的系数为( )(x1x 2)A120 B80 C20 D45答案 (1)C
7、(2)A解析 (1)(x 2xy) 5(x 2x)y 5的展开式中只有 C (x2x) 3y2中含 x5y2，易知25x5y2的系数为 C C 30，故选 C.2513(2) 5 5 10.(x1x 2) (x 1x)2 (x 1x)Tr1 C ( )10r r C x5r .r10 x (1x) r10令 5r2 解得 r3.T4 C x2120x 2，310所以 5展开式中 x2的系数为 120.(x1x 2)51求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将 Tk1 项写出并化简(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出 k.(3)
8、代回通项得所求见举例说明 1.2求解形如(ab) m(cd) n的展开式问题的思路(1)若 m，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(ab) 2(cd) n(a 22abb 2)(cd) n，然后分别求解(2)观察(ab)(cd)是否可以合并，如(1x) 5(1x) 7(1x)(1x) 5(1x)2(1x 2)5(1x) 2.(3)分别得到(ab) m，(cd) n的通项公式，综合考虑3求形如(abc) n展开式中特定项的四步骤1(2017全国卷) (1x) 6展开式中 x2的系数为( )(11x2)A15 B20 C30 D35答案 C解析 因为(1x) 6的通项为 C xr，所以 (1x
9、) 6展开式中含 x2的项为 1C x2r6 (11x2) 26和 C x4.1x2 46因为 C C 2 C 2 30，所以 (1x) 6展开式中 x2的系数为 30.故26 46 266521 (1 1x2)选 C.2若(1ax) 7(a0)的展开式中 x5与 x6的系数相等，则 a_.答案 3解析 展开式的通项为 Tr1 C (ax)r，r76因为 x5与 x6系数相等，所以 C a5 C a6，解得 a3.57 673(2018河南鹤壁月考)(xy)(x2yz) 6的展开式中，x 2y3z2的系数为( )A30 B120 C240 D420答案 B解析 (x2y)z 6的展开式中含 z
10、2的项为 C (x2y) 4z2，(x2y) 4的展开式中 xy326项的系数为 C 23，x 2y2项的系数为 C 22，(xy)(x2yz) 6的展开式中 x2y3z2的系34 24数为 C C 23 C C 22480360120.故选 B.2634 2624题型 二项式系数的性质或各项系数的和二1(13x) 5a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x4a 5x5，则 a1a 2a 3a 4a 5_.答案 33解析 令 x1 得(2) 5a 0a 1a 2a 3a 4a 532.令 x0 得，1a 0；所以 a1a 2a 3a 4a 533.2(2018九江模拟)已知 n的展开式中，前
11、三项的系数成等差数列(x 124x)(1)求 n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项解 (1)由二项展开式知，前三项的系数分别为 C ， C ， C ，0n121n 142n由已知得 2 C C C ，解得 n8(n1 舍去)121n 0n 142n(2) 8的展开式的通项 Tr1 C ( )8r r2 r C x (r0,1，8)，(x 124x) r8 x (124x) r8 要求有理项，则 4 必为整数，即 r0,4,8，共 3 项，这 3 项分别是 T1x 4，T 53r4x，T 9 .358 1256x2(3)设第 r1 项的系数为 ar1 最大，则 ar1 2
12、r C ，r8则 1，ar 1ar 2 rCr82 r 1 Cr 18 9 r2r 1，ar 1ar 2 2 rCr82 r 1 Cr 18 2 r 18 r解得 2r3.当 r2 时，a 32 2 C 7，当 r3 时，a 42 3 C 7，28 38因此，第 3 项和第 4 项的系数最大，故系数最大的项为7结论探究 1 举例说明 1 条件不变，则|a0|a 1|a 2|a 3|a 4|a 5|_.答案 1024解析 (13x) 5各项系数之和为|a 0|a 1|a 2|a 3|a 4|a 5|.令 x1 得|a 0|a 1|a 2|a 3|a 4|a 5|4 51024.结论探究 2 举例
13、说明 1 条件不变，求 a0a 2a 4.解 令 x1 得(2) 5a 0a 1a 2a 3a 4a 5，令 x1 得 45a 0a 1a 2a 3a 4a 5，两式相加得3210242(a 0a 2a 4)，所以 a0a 2a 4496.1赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a，b 的一切值都成立因此，可将 a，b 设定为一些特殊的值在使用赋值法时，令 a，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，1 或 0”，有时也取其他值如：(1)形如(axb) n，(ax 2bxc) m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令 x1 即可(2)形如( ax by)n(a，
14、bR)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令 x y1 即可2二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法(1)一般地，若 f(x) a0 a1x a2x2 anxn，则 f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)(2)奇数项系数之和为a0 a2 a4 .f 1 f 12(3)偶数项系数之和为a1 a3 a5 .f 1 f 123求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大” “二项式系数最大”两者中的哪一个第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据( a b)n中 n 的奇偶及二次项系数的性质求解若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路
15、一：由于二项展开式中的系数是关于正整数 n 的式子，可以看作关于 n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值见举例说明 2.8思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组Error!即可求得答案.1(2019汕头质检)若( x2 m)9 a0 a1(x1) a2(x1) 2 a9(x1) 9，且(a0 a2 a8)2( a1 a3 a9)23 9，则实数 m 的值为_答案 3 或 1解析 令 x0，则(2 m)9 a0 a1 a2 a9，令 x2，则 m9 a0 a1 a2 a3 a9，又( a0 a2
16、a8)2( a1 a3 a9)2( a0 a1 a2 a9)(a0 a1 a2 a3 a8 a9)3 9，(2 m)9m93 9， m(2 m)3， m3 或 m1.2已知( x2)2n的展开式的二项式系数和比(3 x1) n的展开式的二项式系数和大3x992，则在 2n的展开式中，二项式系数最大的项为_，系数的绝对值最大的(2x1x)项为_答案 8064 15360 x4解析 由题意知，2 2n2 n992，即(2 n32)(2 n31)0，故 2n32，解得 n5.由二项式系数的性质知， 10的展开式中第 6 项的二项式系数最大，故二项式系数最大的(2x1x)项为T6C (2x)5 580
17、64.510 (1x)设第 k1 项的系数的绝对值最大，则Tk1 C (2x)10 k k(1) kC 210 kx102 k，k10 (1x) k10令Error!得Error! 即Error!解得 k .83 113 kZ， k3.故系数的绝对值最大的项是第 4 项，T4C 27x415360 x4.310题型 二项式定理的应用三1设复数 x (i 是虚数单位)，则 C xC x2C x3C x2017等2i1 i 1207 22017 32017 20179于( )Ai Bi C1i D1i答案 C解析 x 1i，C xC x2C x3C2i1 i 2i 1 i 1 i 1 i 1207
18、 22017 32017x2017(1 x)20171i 20171i1.20172已知 n 为满足 S aC C C C (a3)能被 9 整除的正数 a 的最小127 27 327 27值，则 n的展开式中，二项式系数最大的项为( )(x1x)A第 6 项 B第 7 项C第 11 项 D第 6 项和第 7 项答案 B解析 由于 S aC C C C a2 2718 9 a1(91)127 27 327 279 a1C 99C 98C 9C a19(C 98C 97C )09 19 89 9 09 19 89 a2， a3，所以 n11，从而 11的展开式中的系数与二项式系数只有符号差异，(
19、x1x)又中间两项的二项式系数最大，中间两项为第 6 项和第 7 项，且第 6 项系数为负，所以第7 项系数最大3计算 1.056.(精确到 0.01)解 1.05 6(10.05) 6160.05150.05 210.30.03751.34.二项式定理应用的常见题型及求解策略1整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项见举例说明 2.2二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式3利用二项式定理进行近似计算：当 n 不很大，| x|比较小时，(1 x)n1 nx.若精确度要求较高，则可使用更精确的公
20、式(1 x)n1 nx x2.见举例说明 3.n n 121(2018银川模拟)C 2C 4C 2 n1 C 等于( )1n 2n 3n nA3 n B23 n C. 1 D.3n2 3n 12答案 D解析 C 2C 4C 2 n1 C (C 2C 2 2C 2 nC ) (12) n 1n 2n 3n n12 0n 1n 2n n 12 12 12.3n 1228 836 被 49 除所得的余数是( )10A14 B0 C14 D35答案 B解析 由二项式定理展开得8836(71) 8367 83C 782C 72C 716183 813 8237 2M8377( M 是正整数)49 M491249 N(N 是正整数)8 836 被 49 除所得的余数是 0.3求 0.9986的近似值(精确到 0.001)解 0.998 6(10.002)6160.002150.002 210.0120.000060.988.易错防范 二项展开式中项的系数与二项式系数典例 (2018四川仁寿一中模拟)在 n的展开式中，各项系数与二项式系数(x 3x)和之比为 64，则 x3的系数为( )A15 B45 C135 D405答案 C解析 由题意 64， n6， Tr1 C x6 r r3 rC x ，令4n2n r6 (3x) r6 6 3， r2,3 2C 135.故选 C.3r2 2611
