1、1第 10 章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第 5 讲A 组 基础关1连掷两次骰子分别得到点数 m， n，则向量( m， n)与向量(1,1)的夹角 90的概率是( )A. B. 512 712C. D.13 12答案 A解析 ( m， n)(1,1) m nn.基本事件总共有 6636(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共 1234515(个) P .1536 5122从集合 A2，1,2中随机抽取一个数记为 a，从集合 B1,1,3中随机抽取一个数记为 b，则直线 ax y b0
2、不经过第四象限的概率为( )A. B. 29 13C. D.49 14答案 A解析 ( a， b)所有可能的结果为 9 种由 ax y b0 得 y ax b，当Error!时，直线不经过第四象限，符合条件的( a， b)的结果为(2,1)，(2,3)，共 2 种，所以直线 ax y b0 不经过第四象限的概率 P ，故29选 A.3某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名作为样本，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人要从这 6 人中，随机选出 2 人参加一项技术比赛，选出的 2 人至少有 1 人为优秀工人的概率为( )
3、A. B. 815 492C. D.35 19答案 C解析 由已知得，样本均值为 22，故优秀工人只有 2 人故所求概率为 Px 20 60 30 7 9 1 56 ，故选 C.C26 C24C26 915 354现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是( )A. B. 15 25C. D.35 45答案 C解析 由题意得以 1 为首项，3 为公比的等比数列的 10 个数为1，3,9，27，其中有 5 个负数，1 个正数 1，共计 6 个数小于 8，所以从这 10 个数中随机抽取一个数，它小于 8 的概率是
4、 .610 355(2018山东济宁检测)学校为了奖励数学竞赛中获奖的优秀学生，将梅、兰、竹、菊四幅名画送给获奖的甲、乙、丙三位学生，每个学生至少获得一幅，则在所有送法中甲得到名画“竹”的概率是( )A. B. 23 12C. D.13 16答案 C解析 先分 3 组，C 6，再分配 A 6，由分步计数原理可知总方法数24 3NC A 36，满足条件方法数 N1C A A 12，概率 P .故选 C.243 232 3N1N 1236 136某微信群中四人同时抢 3 个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为( )A. B. 14 34C. D.35 12答案 D解析 3 个红
5、包分配给四人共有 A 种分法， “甲、乙两人都抢到红包”指从 3 个红包34中选 2 个分配给甲、乙，其余 1 个分配给另外二人，其概率为 ，故选 D.C23A2A12A34 322432 127已知集合 M1,2,3,4， N( a， b)|a M， b M， A 是集合 N 中任意一点， O 为3坐标原点，则直线 OA 与 y x21 有交点的概率是( )A. B. 12 13C. D.14 18答案 C解析 易知过点(0,0)与 y x21 相切的直线为 y2 x(斜率小于 0 的无需考虑)，集合 N 中共有 16 个元素，其中使直线 OA 的斜率不小于 2 的有(1,2)，(1,3)，
6、(1,4)，(2,4)，共 4 个，故所求的概率为 .故选 C.416 148从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为_答案 35解析 如图，从 A， B， C， D， O 这 5 个点中任取 2 个，共有 10 种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有( A， B)，( A， C)，( A， D)，( B， C)，( B， D)，( C， D)共 6种，因此所求概率 P .610 359(2018抚州模拟)如图所示是某市 2017 年 4 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于 100 表示
7、空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某同志随机选择 4 月 1 日至 4 月 12 日中的某一天到达该市，并停留 3 天该同志到达当日空气质量重度污染的概率为_4答案 512解析 某同志随机选择 4 月 1 日至 4 月 12 日中的某一天到达该市，并停留 3 天，基本事件总数 n12,4 月 1 日至 4 月 12 日空气质量重度污染的天数有 5 天，即该同志到达当日空气质量重度污染包含的基本事件个数 m5，所以该同志到达当日空气质量重度污染的概率 P .mn 51210(2019江苏苏州模拟)若 a， b0,1,2，则函数 f(x) ax22 x b 有零点的概率为_
8、答案 23解析 a， b0,1,2，当函数 f(x) ax22 x b 没有零点时， a0，且 44 ab1，( a， b)有 3 种情况：(1,2)，(2,1)，(2,2)基本事件总数 n339，函数 f(x) ax22 x b 有零点的概率为 P1 .39 23B 组 能力关1(2018南昌模拟)如图，在三棱锥 S ABC 中， SA平面 ABC， AB BC，现从该三棱锥的 6 条棱中任选 2 条，则这 2 条棱互相垂直的概率为( )A. B.13 14C. D.25 29答案 A解析 由已知 SA平面 ABC， AB BC，可推得 SB BC，从该三棱锥的 6 条棱中任选 2条，共有
9、15 种不同的选法，其中互相垂直的 2 条棱有( SA， AB)，( SA， BC)，( SA， AC)，(SB， BC)，( AB， BC)，共 5 种情况，所以这 2 条棱互相垂直的概率 P .515 132下面三行三列的方阵中有九个数 aij(i1,2,3； j1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )5A. B. 37 47C. D.114 1314答案 D解析 从九个数中任取三个数的不同取法共有 C 84(种)，取出的三39987123个数分别位于不同的行与列的取法共有 C C C 6(种)，所以至少有两个数位于同行13 12 1或同列的概率为 1 .6
10、84 13143某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为 a， b，则构成椭圆 1 且离心率 ex2a2 y2b2的概率是_32答案 13解析 同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有 36 种情况，当 ab 时， e 2b，符合 a2b 的情况有：当 b1 时，有 a3,4,5,6 四种情况；1 b2a2 32 ba12当 b2 时，有 a5,6 两种情况总共有 6 种情况，则概率是 .同理当 a636 16的概率也为 .综上可知 e 的概率为 .32 16 32 134(2018天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取 7
11、 名同学去某敬老院参加献爱心活动(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的 7 名同学分别用 A， B， C， D， E， F， G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概率解 (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3 人，2 人，2 人6(2)从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为 A， B， A， C，
12、A， D， A， E， A， F， A， G， B， C， B， D， B， E， B， F， B， G， C， D，C， E， C， F， C， G， D， E， D， F， D， G， E， F， E， G， F， G，共 21种由，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A， B， C，来自乙年级的是D， E，来自丙年级的是 F， G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为 A， B， A， C， B， C， D， E， F， G，共 5 种所以事件 M 发生的概率为 P(M) .521C 组 素养关1(2018成都模拟)某医疗科研项目组对 5 只
13、实验小白鼠体内的 A， B 两项指标数据进行收集和分析，得到的数据如下表：(1)若通过数据分析，得知 A 项指标数据与 B 项指标数据具有线性相关关系试根据上表，求 B 项指标数据 y 关于 A 项指标数据 x 的线性回归方程 x ；y b a (2)现要从这 5 只小白鼠中随机抽取 3 只，求其中至少有一只的 B 项指标数据高于 3 的概率参考公式： ， .b n i 1 xi x yi y n i 1 xi x 2 n i 1xiyi nx y n i 1x2i nx 2 a y b x 解 (1)由题意，可得 7， 3，x y xiyi110， x 255， .5 i 1 5 i 12i
14、 b 5 i 1xiyi 5x y 5 i 1x2i 5x 2 12 ， .a y b x a 12所求线性回归方程为 x .y 12 12(2)设 1 号至 5 号小白鼠依次为 a1， a2， a3， a4， a5，则在这 5 只小白鼠中随机抽取 3只的情况有a1a2a3， a1a2a4， a1a2a5， a1a3a4， a1a3a5， a1a4a5， a2a3a4， a2a3a5， a2a4a5， a3a4a5，共 10 种随机抽取的 3 只小白鼠中至少有一只的 B 项指标数据高于 3 的情况有a1a2a4， a1a2a5， a1a3a4， a1a3a5， a1a4a5， a2a3a4，
15、a2a3a5， a2a4a5， a3a4a5，共 9 种7从这 5 只小白鼠中随机抽取 3 只，其中至少有一只的 B 项指标数据高于 3 的概率为.9102(2019吉林模拟)12 月 10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项指标分别记为 x， y， z，并对它们进行量化：0 表示不合格，1 表示临界合格，2 表示合格，再用综合指标 x y z 的值评定
16、人工种植的青蒿的长势等级：若 4，则长势为一级；若 2 3，则长势为二级；若 0 1，则长势为三级为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了 10 块青蒿人工种植地，得到如下结果：(1)在这 10 块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标 z 相同的概率；(2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为 m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为 n，记随机变量 X m n，求 X 的分布列及其数学期望解 (1)由表可知：空气湿度指标为 0 的有 A1，空气湿度指标为 1 的有 A2， A3， A5， A8， A9， A10，空气湿度指标为
17、2 的有 A4， A6， A7，在这 10 块青蒿人工种植地中任取两地，基本事件总数 nC 45，210这两地的空气湿度的指标 z 相同包含的基本事件个数 mC C 18，26 23这两地的空气湿度的指标 z 相同的概率P .mn 1845 25(2)由题意得 10 块青蒿人工种植的综合指标如下表：其中长势等级是一级( 4)有 A2， A3， A4， A6， A7， A9，共 6 个，8长势等级不是一级( 4)的有 A1， A5， A8， A10，共 4 个，随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4,5，P(X1) ，C13C12C16C14 14P(X2) ，C13C1 C12C12C16C14 724P(X3) ，C13C1 C1C12 C12C1C16C14 724P(X4) ，C12C1 C1C1C16C14 18P(X5) ，C1C1C16C14 124 X 的分布列为：E(X)1 2 3 4 5 .14 724 724 18 124 2912
