1、1第 6 讲 双曲线考纲解读 1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)(重点)2.掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点预测 2020 年高考会考查：双曲线定义的应用与标准方程的求解；渐近线方程与离心率的求解试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主.对应学生用书 P1491双曲线的定义平面内与两个定点 F1， F2(|F1F2|2 c0)的距离的差的绝对值为常数(小于| F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做 双曲
2、线这两个定点叫做双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫做01 02 双曲线的 焦距03 集合 P M|MF1| MF2|2 a，| F1F2|2 c，其中 a， c 为常数且 a0， c0：(1)当 ac 时， P 点不存在07 2双曲线的标准方程和几何性质23必记结论(1)焦点到渐近线的距离为 b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：3x2 y2 ( 0)(3)等轴双曲线离心率 e 两条渐近线 y x 相互垂直21概念辨析(1)平面内到点 F1(0,4)， F2(0，4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线( )(2)双曲线方程 (m0， n0， 0)的渐近线方
3、程是 0，即x2m2 y2n2 x2m2 y2n2 0.( )xm yn(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .( )2(4)若双曲线 1( a0， b0)与 1( a0， b0)的离心率分别是 e1， e2，则x2a2 y2b2 y2b2 x2a2 1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)( )1e21 1e2答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)已知双曲线 y21( a0)两焦点之间的距离为 4，则双曲线的渐近线方程是( )x2a2A y x B y x33 3C y x D y x233 32答案 A解析 双曲线 y21( a0)两焦点之间的距离为 4，x2a22 c4
4、，解得 c2； c2 a214， a ；3双曲线的渐近线方程是 y x，13即 y x.故选 A.33(2)设 P 是双曲线 1 上一点， F1， F2分别是双曲线左、右两个焦点，若x216 y220|PF1|9，则| PF2|_.答案 17解析 由题意知| PF1|90)的离心率为 ，则 a_.x2a2 y24 52答案 4解析 由已知， b24， e ，即 2 ，又因为 a2 b2 c2，所以 ca 52 c2a2 (52) 54 a2 4a2， a216， a4.54题型 双曲线的定义及应用一1若双曲线 1 的左焦点为 F，点 P 是双曲线右支上的动点， A(1,4)，则x24 y212
5、|PF| PA|的最小值是( )A8 B9 C10 D12答案 B解析 由题意知，双曲线 1 的左焦点 F 的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点x24 y212为 B，则 B(4,0)，由双曲线的定义知| PF| PA|4| PB| PA|4| AB|44 59，当且仅当 A， P， B 三点共线且 P 在 A， B 之间时取等 4 1 2 0 4 2号| PF| PA|的最小值为 9.故选 B.2已知 F1， F2为双曲线 C： x2 y22 的左、右焦点，点 P 在 C 上，| PF1|2| PF2|，则 cos F1PF2_.答案 34解析 由双曲线的定义有| PF1| PF2| PF2
6、|2 a2 ，2| PF1|2| PF2|4 ，2则 cos F1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| . 42 2 22 2 4224222 34条件探究 举例说明 2 中，若将条件“| PF1|2| PF2|”改为“ F1PF260” ，求F1PF2的面积解 不妨设点 P 在双曲线的右支上，则| PF1| PF2|2 a2 ，在 F1PF2中，由余弦2定理，得cos F1PF2 ，|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| 12| PF1|PF2|8，5 S F1PF2 |PF1|PF2|sin602 .12 3(1)应用双曲线的定义需注
7、意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离” 若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用(2)在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将| PF1| PF2|2 a 平方，建立与| PF1|PF2|间的联系 1 F1， F2分别是双曲线 C： 1 的左、右焦点， P 为双曲线 C 右支上一点，且x29 y27|PF1|8，则 PF1F2的周长为( )A15 B16 C17 D18答案 D解析 由已知得 a3， b ， c 4，所以| F1F2|2 c8.由双
8、曲线的定义7 a2 b2可知，| PF1| PF2|2 a6，又| PF1|8，所以| PF2|2.所以 PF1F2的周长是|PF1| PF2| F1F2|18.2方程 12 的化简结果为( ) x 10 2 y2 x 10 2 y2A. 1 B. 1x236 y264 x264 y236C. 1( x0) D. 1( x0)x236 y264 x264 y236答案 C解析 由已知得点 P(x， y)到点 F1(10,0)和点 F2(10，0)的距离之差为 12，显然120)x236 y264题型 双曲线的标准方程及应用二1已知动圆 M 与圆 C1：( x4) 2 y22 外切，与圆 C2：
9、( x4) 2 y22 内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )A. 1( x ) B. 1( x )x22 y214 2 x22 y214 2C. 1( x ) D. 1( x )x22 y214 2 x22 y214 2答案 A6解析 设动圆的半径为 r，由题意可得 MC1 r ， MC2 r ，所以2 2MC1 MC22 2 a，故由双曲线的定义可知动点 M 在以 C1(4,0)， C2(4,0)为焦点，实轴2长为 2a2 的双曲线的右支上，即 a ， c4 b2 16214，故其标准方程为 2 2x221( x )y214 22根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为 12，离
10、心率为 ；54(2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；(3)经过两点 P(3,2 )和 Q(6 ，7)7 2解 (1)设双曲线的标准方程为 1 或 1( a0， b0)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由题意知，2 b12， e ，ca 54 b6， c10， a8.双曲线的标准方程为 1 或 1.x264 y236 y264 x236(2)双曲线经过点 M(0,12)， M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且a12.又 2c26， c13， b2 c2 a225.双曲线的标准方程为 1.y2144 x225(3)设双曲线方程为 mx2 ny21( mn0)Erro
11、r! 解得Error!双曲线的标准方程为 1.y225 x275求双曲线标准方程的两种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a， b， c 的方程并求出 a， b， c 的值与双曲线 1 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2 y2b2 ( 0)x2a2 y2b2(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值注意：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论也可以设双曲线方程为 mx2 ny21( mn0， b0)的左、右焦点，若 F1， F2， P(0,2b)x2a2 y2b2为等边三角形的三个顶点，且
12、双曲线经过 Q( ， )点，则该双曲线的方程为( )5 3A x2 1 B. 1y23 x22 y22C. 1 D. 1x23 y29 x24 y212答案 D解析 F1和 F2分别为双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点， F1， F2， P(0,2b)构x2a2 y2b2成正三角形，2 b c，即有 3c24 b23( a2 b2)， b23 a2；双曲线 1 过点 Q( ， )，3x2a2 y2b2 5 3 1，解得 a24， b212，5a2 33a2双曲线方程为 1.故选 D.x24 y2122已知双曲线过点(4， )，且渐近线方程为 y x，则该双曲线的标准方程为312_答案 y
13、21x24解析 因为此双曲线的渐近线方程为 y x，即 y0，所以可设此双曲线方程为12 x2 y2 ( 0)x24又因为此双曲线过点(4， )，所以 ( )2 ， 1，所以此双曲线的标准方程3424 3为 y21.x248题型 双曲线的几何性质三角度 1 与双曲线有关的范围问题1(2015全国卷)已知 M(x0， y0)是双曲线 C： y21 上的一点， F1， F2是 C 的x22两个焦点若 0， b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个x2a2 y2b2区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率 e 的取值范围是( )9A. B.(1，52) (52， )
14、C. D.(1，54) (54， )答案 B解析 依题意，注意到题中的双曲线 1 的渐近线方程为 y x，且“右”区x2a2 y2b2 ba域是由不等式组Error!所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有 1 ，因此题2ba ba12中的双曲线的离心率 e ，选 B.1 (ba)2 (52， )1与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中 0 等来解决2与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率 e 是一个比值，故只需根据条件得到关于 a，
15、b， c 的一个关系ca式，利用 b2 c2 a2消去 b，然后变形成关于 e 的关系式，并且需注意 e1.(2)双曲线 1( a0， b0)的渐近线是令 0，即得两渐近线方程 0.x2a2 y2b2 x2a2 y2b2 xa yb(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答 1(2016全国卷)已知方程 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间x2m2 n y23m2 n的距离为 4，则 n 的取值范围是( )A(1,3) B(1， )3C(0,3) D(0， )3答案 A解析 由题意可知， c2( m2 n)(3 m2 n)4 m2，其中 c 为半焦距，2 c22| m|4，| m|1
16、，方程 1 表示双曲线，x2m2 n y23m2 n( m2 n)(3m2 n)0， m20， b0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的x2a2 y2b2距离为 1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( )10A2 B. 2C2 D42答案 B解析 因为双曲线 C： 1 的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为x2a2 y2b2y x，所以 a b.因为顶点到一条渐近线的距离为 1，所以 a1，所以 a b ，双22 2曲线 C 的方程为 1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 b .x22 y22 23(2018全国卷)设 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的左、
17、右焦点， Ox2a2 y2b2是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若| PF1| |OP|，则 C 的离心率6为( )A. B2 5C. D.3 2答案 C解析 由题可知| PF2| b，| OF2| c，| PO| a.在 Rt POF2中，cos PF2O ，|PF2|OF2| bc在 PF1F2中，cos PF2O ，|PF2|2 |F1F2|2 |PF1|22|PF2|F1F2| bc c23 a2，b2 4c2 6a 22b2c bc e .故选 C.3题型 直线与双曲线的综合问题四已知双曲线 C： x2 y21 及直线 l： y kx1.(1)若 l 与 C
18、有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围；(2)若 l 与 C 交于 A， B 两点， O 是坐标原点，且 AOB 的面积为 ，求实数 k 的值2解 (1)若双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点，则方程组Error!有两个不同的实数根，整理得(1 k2)x22 kx20，所以Error!解得 |x2|时， S OAB S OAD S OBD (|x1| x2|)12 |x1 x2|；当 A， B 在双曲线的两支上且 x1x2时， S OAB S ODA S OBD (|x1| x2|)12 12 |x1 x2|.12所以 S OAB |x1 x2| ，12 2所以( x1 x2)2( x1
19、 x2)24 x1x2(2 )2，2即 2 8，解得 k0 或 k .( 2k1 k2) 81 k2 62又因为 0， b0)，四点 P1(4,2)，x2a2 y2b2P2(2,0)， P3(4,3)， P4(4，3)中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )A. B. 52 52C. D.72 72答案 C解析 由双曲线的对称性可知 P3(4,3)， P4(4,3)在双曲线上，且 P1(4,2)一定不在双曲线上， P2(2,0)也在双曲线上， a2， b ， c ， e .3 772典例 2 如果双曲线 1( a0， b0)两渐近线的夹角是 60，则该双曲线的离x2a2 y2b2心率是
20、_答案 或 2233解析 易知双曲线的渐近线的斜率是 .又两渐近线的夹角为 60，则 tan30或ba batan60，即 e21 或 e213，又 e1，所以 e 或 e2，故该双曲线的离心率ba 13 23313为 或 2.233典例 3 (2018华南师大附中二模)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右x2a2 y2b2焦点分别为 F1， F2，点 F2关于直线 y x 的对称点为 M，若点 M 在双曲线 C 上，则双曲线baC 的渐近线方程为_答案 y2 x解析 设点 F2关于直线 y x 的对称点是 M 在双曲线的左支上， MF2交渐近线于点 N，ba则| MN| NF2| b，| ON| a，又因为 O 是 F1F2的|bc|b2 a2 |OF2|2 |NF2|2 c2 b2中点， N 是 MF2的中点，所以| MF1|2 a，又由双曲线的定义知| MF2| MF1|2 a，所以2b2 a2 a 2，所以双曲线 C 的渐近线方程为 y2 x.ba
