1、1第 8 讲 曲线与方程考纲解读 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，能用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题(重点)2.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，并掌握求曲线方程的两种常见题型：根据曲线确定方程，可用待定系数法；求轨迹方程，可用直接法、定义法、代入法(相关点法)、参数法(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个命题热点预测 2020 年高考将会有以下两种命题方式：用定义法求曲线的方程；由已知条件直接求曲线的方程题型为解答题中的一问，试题难度中等偏上考查知识点多，能力要求较高，尤其是运算变形能力解题时注意函数与方程思想及等价转化思想的应用.求曲线方
2、程的基本步骤1概念辨析(1)f(x0， y0)0 是点 P(x0， y0)在曲线 f(x， y)0 上的充要条件( )(2)方程 x2 xy x 的曲线是一个点和一条直线( )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2 y2.( )(4)方程 y 与 x y2表示同一曲线( )x2答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)已知点 A(2,0)， B(3,0)，动点 P(x， y)满足 x26，则点 P 的轨迹是( )PA PB A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案 D解析 (2 x， y)， (3 x， y)，则 (2 x)(3 x)( y)PA PB PA PB 2 x
3、26，化简得 y2 x，轨迹为抛物线(2)方程 x 所表示的曲线是( )1 4y2A双曲线的一部分 B椭圆的一部分C圆的一部分 D直线的一部分答案 B解析 x 两边平方，可变为 x24 y21( x0)，表示的曲线为椭圆的一部1 4y2分(3)已知点 P 是直线 2x y30 上的一个动点，定点 M(1,2)， Q 是线段 PM 延长线上的一点，且| PM| MQ|，则 Q 点的轨迹方程是( )A2 x y10 B2 x y50C2 x y10 D2 x y50答案 D解析 设 Q(x， y)，则 P 为(2 x,4 y)，代入 2x y30 得 2x y50.(4)已知 M(2,0)， N(
4、2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是_答案 x2 y24( y0)解析 由题意得点 P 的轨迹是以线段 MN 为直径的圆(除去 M， N 两点)，其圆心坐标为(0,0)，半径 r |MN|2，所以点 P 的轨迹方程是 x2 y24( y0)12题型 定义法求轨迹方程一1过点 F(0,3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A x212 y B y212 xC y212 x D x212 y3答案 A解析 由题意得动圆圆心到点 F(0,3)和直线 y3 的距离相等，所以动圆圆心的轨迹是以 F(0,3)为焦点，直线 y3 为准线的抛物线，其方程为 x2
5、12 y.2如图所示，已知点 C 为圆( x )2 y24 的圆心，点 A( ，0) P 是圆上的动点，2 2点 Q 在圆的半径 CP 所在的直线上，且 0， 2 .当点 P 在圆上运动时，求点 QMQ AP AP AM 的轨迹方程解 由( x )2 y24 知圆心 C( ，0)，半径 r2.2 2 0， 2 ，MQ AP AP AM MQ AP，点 M 为 AP 的中点，因此 QM 垂直平分线段 AP.如图，连接 AQ，则|AQ| QP|，| QC| QA| QC| QP| CP|2.又| AC|2 2，根据双曲线的定义，点 Q 的轨迹是以 C( ，0)， A( ，0)为焦点，2 2 2实轴
6、长为 2 的双曲线由 c ， a1，得 b21，由此点 Q 的轨迹方程为 x2 y21.2条件探究 若将举例说明 2 中的条件“圆 C 的方程( x )2 y24”改为“圆 C 的方2程( x )2 y216” ，其他条件不变，求点 Q 的轨迹方程2解 由( x )2 y216 知圆心 C( ，0)，半径 r4.2 2 0， 2 ，MQ AP AP AM 4 QM 垂直平分 AP，连接 AQ，则| AQ| QP|，| QC| QA| QC| QP| r4.根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 C( ，0)， A( ，0)为焦点，长轴长为 4 的椭2 2圆由 c ， a2，得 b .2 2因此点
7、Q 的轨迹方程为 1.x24 y22定义法求轨迹方程的适用条件及关键点(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，见举例说明 1,2.(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制见巩固迁移 ABC 的顶点 A(5,0)， B(5,0)， ABC 的内切圆的圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是_答案 1( x3)x29 y216解析 如图，| AD| AE|8，
8、| BF| BE|2，| CD| CF|，所以|CA| CB|826.5根据双曲线的定义，所求轨迹是以 A， B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为 1( x3)x29 y216题型 直接法求轨迹方程二1(2018豫北名校联考)已知 ABC 的顶点 B(0,0)， C(5,0)， AB 边上的中线长|CD|3，则顶点 A 的轨迹方程为_答案 ( x10) 2 y236( y0)解析 设 A(x， y)，由题意可知 D .(x2， y2)又| CD|3， 2 29，(x2 5) (y2)即( x10) 2 y236，由于 A， B， C 三点不共线，点 A 不能落在 x 轴上，即 y0
9、，点 A 的轨迹方程为( x10) 2 y236( y0)2已知椭圆 C： 1( ab0)的一个焦点为( ，0)，离心率为 .x2a2 y2b2 5 53(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若动点 P(x0， y0)为椭圆 C 外一点，且过点 P 所引的椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程解 (1)由题意，得 c ， e ，5ca 53因此 a3， b2 a2 c24，故椭圆 C 的标准方程是 1.x29 y24(2)若两切线的斜率均存在，设过点 P(x0， y0)的切线方程是y k(x x0) y0，则由Error! 得6 1，x29 k x x0 y024即(9 k24) x
10、218 k(y0 kx0)x9( y0 kx0)240， 18 k(y0 kx0)236(9 k24)( y0 kx0)240，整理得( x 9) k22 x0y0k y 40.20 20又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为 k1， k2，于是有 k1k21，即 1，y20 4x20 9即 x y 13( x03)20 20若两切线中有一条斜率不存在，则易得Error! 或Error! 或Error! 或Error!经检验知均满足 x y 13.20 20因此，动点 P(x0， y0)的轨迹方程是 x2 y213.(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其
11、一般步骤是：设点列式化简检验求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点如举例说明 1.(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形 1(2018银川模拟)设点 A 为圆( x1) 2 y21 上的动点， PA 是圆的切线，且|PA|1，则 P 点的轨迹方程为( )A y22 x B( x1) 2 y24C y22 x D( x1) 2 y22答案 D解析 如图，设 P(x， y)，圆心为 M(1,0)，连接 MA，则 MA PA，且| MA|1.7又| PA|1，| PM| ，|MA|2 |PA|2 2即| PM|22，(
12、 x1) 2 y22.故选 D.2已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8.求动圆圆心的轨迹 C 的方程解 如图，设动圆圆心为 O1(x， y)，由题意，知| O1A| O1M|，当 O1不在 y 轴上时，过 O1作 O1H MN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点，| O1M| .又| O1A| ， ，x2 42 x 4 2 y2 x 4 2 y2 x2 42化简得 y28 x(x0)又当 O1在 y 轴上时， O1与 O 重合，点 O1的坐标(0,0)也满足方程 y28 x，动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28 x.题型 相关点法(代入法)求轨迹方程三
13、1动点 P 在抛物线 y2 x21 上移动，若 P 与点 Q(0，1)连线的中点为 M，则动点M 的轨迹方程为( )A y2 x2 B y4 x2C y6 x2 D y8 x2答案 B解析 设 M(x， y)， P(x0， y0)，因为 P 与点 Q(0，1)连线的中点为 M，所以x02 x， y02 y1，又因为点 P 在抛物线 y2 x21 上移动，所以 2y12(2 x)21，即y4 x2.故选 B.82如图，已知 P 是椭圆 y21 上一点， PM x 轴于 M.若 .x24 PN NM (1)求 N 点的轨迹方程；(2)当 N 点的轨迹为圆时，求 的值解 (1)设点 P，点 N 的坐
14、标分别为 P(x1， y1)，N(x， y)，则 M 的坐标为( x1,0)，且 x x1， ( x x1， y y1)(0， y y1)，PN ( x1 x， y)(0， y)，NM 由 得(0， y y1) (0， y)PN NM y y1 y ，即 y1(1 )y. P(x1， y1)在椭圆 y21 上，x24则 y 1， (1 )2y21，x214 21 x24故 (1 )2y21 即为所求的 N 点的轨迹方程x24(2)要使点 N 的轨迹为圆，则(1 )2 ，14解得 或 .12 32所以当 或 时， N 点的轨迹是圆12 32代入法求轨迹方程的四步骤9设 F(1,0)， M 点在 x 轴上， P 点在 y 轴上，且 2 ， ，当点 P 在 y 轴上运动MN MP PM PF 时，求点 N 的轨迹方程解 设 M(x0,0)， P(0， y0)， N(x， y)， ， ( x0， y0)， (1， y0)，PM PF PM PF ( x0， y0)(1， y0)0， x0 y 0.20由 2 ，得( x x0， y)2( x0， y0)，MN MP Error! 即Error! x 0，即 y24 x.y24故所求的点 N 的轨迹方程是 y24 x.
