1、1考点强化练 17 直角三角形与锐角三角函数基础达标一、选择题1.已知在 ABC中, C= A+ B,则 ABC的形状是( )A.等边三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形答案 C2.(2018湖北孝感)如图,在 Rt ABC中, C=90,AB=10,AC=8,则 sin A等于( )A. B.35 45C. D.34 43答案 A解析 在 Rt ABC中, AB= 10,AC=8,BC= =6,AB2-AC2= 102-82 sinA= ,故选 A.BCAB=610=35二、填空3.(2018浙江湖州)如图,已知菱形 ABCD,对角线 AC,BD相交于点 O.若 tan BA
2、C= ,AC=6,则 BD的长是 .13答案 2解析 四边形 ABCD是菱形, AC=6,AC BD,OA= AC=3,BD=2OB.12在 Rt OAB中, AOD=90, tan BAC= ,OBOA=132OB= 1,BD= 2.4.(2018浙江宁波)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB,飞机上的测量人员在 C处测得A,B两点的俯角分别为 45和 30.若飞机离地面的高度 CH为 1 200米,且点 H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度 AB为 米(结果保留根号) . 答案 1 200( -1)3解析 由于 CD HB, CAH= ACD=45, B= BCD=30,
3、在 Rt ACH中, CAH=45AH=CH= 1200米,在 Rt HCB中, tanB= ,CHHBHB=CHtanB= 1200tan30= =1200 (米) .120033 3AB=HB-HA=1200 -12003=1200( -1)米 .3三、解答题5.(2018江苏徐州)如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求坝高和坝底宽 .(精确到0.1 m)(参考数据: 1 .414, 1 .732)2 3解 如图所示,过点 A,D分别作 BC的垂线 AE,DF交 BC于点 E,F,所以 ABE, CDF均为直角三角形,又因为 CD=14m, DCF=30,所以 DF=7(m)
4、=AE,且 FC=7 (m)312 .1(m)所以 BC=7+6+12.1=25.1(m).36.(2018四川南充)计算: - 1- 0+sin 45+ .(1- 2)222 (12)-1解 原式 = -1-1+ +2= .222 3227.小明在热气球 A上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC,并测得 B,C两点的俯角分别为 45,35.已知大桥 BC与地面在同一水平面上,其长度为 100 m,请求出热气球离地面的高度 .(结果保留整数)(参考数据:sin 35 ,cos 35 ,tan 35 )712 56 710解 作 AD BC交 CB的延长线于点 D,设 AD为 xm,由题意得, A
5、BD=45, ACD=35,在 Rt ADB中, ABD=45,DB=x.在 Rt ADC中, ACD=35, tan ACD= .ADCD ,解得, x233 .xx+100=710答:热气球离地面的高度约为 233m.能力提升一、选择题1.已知 为锐角,且 2cos (- 10)=1,则 等于( )A.50 B.60C.70 D.80答案 C2.(2018贵州贵阳)如图, A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为 1,则 tan BAC的值为 ( )4A. B.1 C. D.12 33 3答案 B解析 连接 BC,由网格可得 AB=BC= ,AC= ,5 10即 AB2+BC2=
6、AC2, ABC为等腰直角三角形, BAC=45,则 tan BAC=1.3.(2018四川绵阳)一艘在南北航线上的测量船,于 A点处测得海岛 B在点 A的南偏东 30方向,继续向南航行 30海里到达 C点时,测得海岛 B在 C点的北偏东 15方向,则海岛 B离此航线的最近距离是( )(结果保留小数点后两位)(参考数据: 1 .732, 1 .414)3 2A.4.64海里 B.5.49海里C.6.12海里 D.6.21海里答案 B解析 如图所示,由题意知, BAC=30, ACB=15,作 BD AC于点 D,以点 B为顶点、 BC为边,在 ABC内部作 CBE= ACB=15,则 BED=
7、30,BE=CE,设 BD=x,则 AB=BE=CE=2x,AD=DE= x,3AC=AD+DE+CE= 2 x+2x,3AC= 30, 2 x+2x=30,3解得: x= 5 .49,15(3-1)2故选 B.二、填空题4.(2018山东滨州)在 ABC中, C=90,若 tan A= ,则 sin B= . 125答案255解析 如图所示, C=90,tanA= ,12 设 BC=x,则 AC=2x,故 AB= x,5则 sinB= .ACAB= 2x5x=2555.(2018山东泰安)如图,在 ABC中, AC=6,BC=10,tan C= ,点 D是 AC边上的动点(不与点 C重合),
8、34过点 D作 DE BC,垂足为 E,点 F是 BD的中点,连接 EF,设 CD=x, DEF的面积为 S,则 S与 x之间的函数关系式为 . 答案 S=- x2+ x32532解析 (1)在 Rt CDE中,tan C= ,CD=x34DE= x,CE= x,35 45BE= 10- x,45S BED= x12(10-45x)35=- x2+3x.625DF=BF ,S= S BED=- x2+ x.12 325326.(2018江苏无锡)已知 ABC中, AB=10,AC=2 , B=30,则 ABC的面积等于 . 7答案 15 或 103 3解析 作 AD BC交 BC(或 BC延长
9、线)于点 D, 如图 1,当 AB,AC位于 AD异侧时,6图 1在 Rt ABD中, B=30,AB=10,AD=AB sinB=5,BD=ABcosB=5 ,3在 Rt ACD中, AC= 2 ,7CD= ,AC2-AD2= (2 7)2-52= 3则 BC=BD+CD=6 ,3S ABC= BCAD= 6 5=15 ;12 12 3 3 如图 2,当 AB,AC在 AD的同侧时,图 2由 知, BD=5 ,CD= ,3 3则 BC=BD-CD=4 ,3S ABC= BCAD= 4 5=10 .12 12 3 3综上, ABC的面积是 15 或 10 .3 3三、解答题7.(2018山东临
10、沂)如图,有一个三角形的钢架 ABC, A=30, C=45,AC=2( +1)m.请计算说明,3工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 2.1 m的圆形门?解 工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m的圆形门 .理由是:过点 B作 BD AC于点 D,ABBD ,BCBD,ACAB, 求出 DB长和 2.1m比较即可,设 BD=xm, A=30, C=45,DC=BD=x m,AD= BD= xm,3 3AC= 2( +1)m,3x+ x=2( +1),3 3x= 2,即 BD=2m2.1m,7 工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m的圆形门 .8.(2018广西桂林)如图所示,在某
11、海域,一般指挥船在 C处收到渔船在 B处发出的求救信号,经确定,遇险抛锚的渔船所在的 B处位于 C处的南偏西 45方向上,且 BC=60海里;指挥船搜索发现,在 C处的南偏西 60方向上有一艘海监船 A,恰好位于 B处的正西方向 .于是命令海监船 A前往搜救,已知海监船 A的航行速度为 30海里 /小时,则渔船在 B处需要等待多长时间才能得到海监船 A的救援?(参考数据: 1 .41, =1.73, 2 .45,结果精确到 0.1小时)2 3 6解 因为 A在 B的正西方,延长 AB交南北轴于点 D,则 AB CD于点 D BCD=45,BD CD,BD=CD ,在 Rt BDC中, cos BCD= ,BC=60海里,CDBC即 cos45= ,解得 CD=30 海里,CD60= 22 2BD=CD= 30 海里 .2在 Rt ADC中, tan ACD= ,ADCD即 tan60= ,解得 AD=30 海里 .AD302= 3 6AB=AD-BD ,AB= 30 -30 =30( )海里 .6 2 6- 2 海监船 A的航行速度为 30海里 /小时, 渔船在 B处需要等待的时间为 2 .45-1.41=1.041 .0小时 .AB30=30(6- 2)30 = 6- 2故渔船在 B处需要等待约 1.0小时 .导学号 138140558
