1、考试要求 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.,第3节 函数的单调性与最值,知 识 梳 理,1.函数的单调性(1)单调函数的定义,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),上升的,下降的,(2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是_或_，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_叫做函数yf(x)的单调区间.,增函数,减函数,区间D,2.函数的最值,f(x)M,f(x)M,f(x0)M,基 础 自 测,解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x11，x21，则f(1)f(1)，故应说成单调递减区间为(，0)和
2、0，). (3)应对任意的x1x2，f(x1)f(x2)成立才可以. (4)若f(x)x，f(x)在1，)上为增函数，但yf(x)的单调递增区间可以是R. 答案 (1) (2) (3) (4),答案 A,答案 D,4.函数f(x)lg x2的单调递减区间是 .解析 f(x)的定义域为(，0)(0，)，ylg u在(0，)上为增函数，ux2在(，0)上递减，在(0，)上递增，故f(x)在(，0)上单调递减.答案 (，0),当x2时，x10，易知f(x)在2，)上是减函数，,答案 2,解析 f(3)(3)22(3)3，f(f(3)f(3)2.由图象得f(x)minf(1)1. 答案 2 1,考点
3、一 确定函数的单调性(区间) 【例1】 (1)(2019嘉兴检测)已知函数f(x)log4(4|x|)，则f(x)的单调递增区间是 ；f(0)4f(2) .,答案 (4，0 3,解 法一 设1x1x21，,由于10，x110时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上递减； 当a0时，f(x1)f(x2)0， 即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上递增.,当a0时，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上递增.,规律方法 (1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1). (2)函数单调性的判断方法有：定义法；图象法；利用已知
4、函数的单调性；导数法. (3)函数yf(g(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.,证明如下：,所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，,所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，,当x1时，f(x)x22x(x1)21在(，1上单调递增，则f(x)1，综上可知，f(x)的最大值为1. 答案 3 1,f(x2)f(x1)0，f(x1)f(x2). f(x)在区间1，)上为增函数，,则x22xa0对x1，)恒成立. 即a(x22x)在x1，)上恒成立. 令g(x)(x22x)(x1)21，x1，)， g(x)在1，)上
5、是减函数，g(x)maxg(1)3. 又a1，当30在x1，)上恒成立. 故实数a的取值范围是(3，1.,规律方法 (1)求函数最值的常用方法：单调性法；基本不等式法；配方法；图象法；导数法. (2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解.若函数f(x)在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a).若函数f(x)在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b).,【训练2】 (2017浙江卷)若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm( )A.与a有关，且与b有关 B.与a有关
6、但与b无关C.与a无关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关,答案 B,所以yf(x)在(，)上是增函数.,(2)yf(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)在(0，)上递增， yf(x)在(，0)上也是增函数，,解 由例题知f(x)在(，)上是增函数，,规律方法 (1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解. (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域.,【训练3】 已知函数f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数.若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是( )A.2，2 B.1，1 C.0，4 D.1，3解析 因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)1，于是1f(x2)1等价于f(1)f(x2)f(1)，又f(x)在(，)上单调递减，1x21，1x3.答案 D,
