1、1中档题保分练(二)1(2018临沂模拟)在 ABC中，已知 B ， AC ，cos C .4 10 255(1)求 BC；(2)设 D是 AB边中点，求 CD.解析：(1)cos C 且 0 C，sin C .255 55 A B C， B ，4sin Asin( B C)sin Bcos Ccos Bsin C .22 255 22 55 31010在 ABC中，由正弦定理得： ，BCsin A ACsin B BC 3 .ACsin Asin B 2(2) D为 AB边中点， ( )，CD 12CA CB | |2 ( )213，即 CD .CD 14CA CB 132(2018惠州模拟
2、)如图，在四棱锥 SABCD中， AB CD， BC CD，侧面 SAB为等边三角形， AB BC2， CD SD1.(1)证明： SD平面 SAB；(2)求 AB与平面 SBC所成的角的正弦值解析：(1)证明：取 AB的中点 E，连接 DE， SE，则四边形 BCDE为矩形，所以 DE CB2，所以 AD ，DE2 AE2 5因为侧面 SAB为等边三角形， AB2，所以 SA SB AB2，且 SE ，3又因为 SD1，所以 SA2 SD2 AD2， SE2 SD2 ED2，2所以 SD SA， SD SE.又 SA SE S，所以 SD平面 SAB.(2)过点 S作 SG DE于点 G，因
3、为 AB SE， AB DE， SE DE E，所以 AB平面 SDE.又 AB平面 ABCD，由平面与平面垂直的性质，知 SG平面 ABCD，在 Rt DSE中，由 SDSE DESG，得 1 2 SG，3所以 SG .32过点 A作 AH平面 SBC于 H，连接 BH，则 ABH即为 AB与平面 SBC所成的角，因为 CD AB， AB平面 SDE，所以 CD平面 SDE，又 SD平面 SDE，所以 CD SD.在 Rt CDS中，由 CD SD1，求得 SC .2在 SBC中， SB BC2， SC ，2所以 S SBC ，12 2 22 22 2 72由 VASBC VSABC，得 S
4、 SBCAH S ABCSG，13 13即 AH 22 ，13 72 13 12 32解得 AH ，2217所以 sin ABH ，AHAB 217故 AB与平面 SBC所成角的正弦值为 .2173下图是某市 11月 1日至 14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于 100表3示空气质量优良，空气质量指数大于 200表示空气重度污染，某人随机选择 11月 1日至11月 12日中的某一天到达该市，并停留 3天(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设 是此人停留期间空气重度污染的天数，求 的分布列与数学期望解析：设 Ai表示事件“此人于 11月 i日到达该市”( i1,2，1
5、2)依题意知， P(Ai) ，且 Ai Aj( i j)112(1)设 B为事件“此人到达当日空气重度污染” ，则 B A1 A2 A3 A7 A12，所以 P(B) P(A1 A2 A3 A7 A12) P(A1) P(A2) P(A3) P(A7) P(A12) .512即此人到达当日空气重度污染的概率为 .512(2)由题意可知， 的所有可能取值为 0,1,2,3，P( 0) P(A4 A8 A9) P(A4) P(A8) P(A9) ，312 14P( 2) P(A2 A11) P(A2) P(A11) ，212 16P( 3) P(A1 A12) P(A1) P(A12) ，212
6、16P( 1)1 P( 0) P( 2) P( 3)1 ，14 16 16 512(或 P( 1) P(A3 A5 A6 A7 A10) P(A3) P(A5) P(A6) P(A7) P(A10) )512所以 的分布列为 0 1 2 3P 14 512 16 16故 的期望 E( )0 1 2 3 .14 512 16 16 544请在下面两题中任选一题作答(选修 44：坐标系与参数方程)已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x轴的正半轴重合，圆 C的极坐标方程是 2 asin ，直线 l的参数方程是Error!( t为参数)4(1)若 a2， M为直线 l与 x轴的交点， N是圆 C上
7、一动点，求| MN|的最大值；(2)若直线 l被圆 C截得的弦长为 2 ，求 a的值6解析：(1)由 24 sin 得圆 C的直角坐标方程为 x2 y24 y0，将直线 l的参数方程化为普通方程，得 y (x2)，43令 y0，得 x2，即点 M的坐标为(2,0)又圆 C的圆心坐标为(0,2)，半径 r2，则| MC|2 ，2所以| MN|的最大值为| MC| r2 2.2(2)因为圆 C： x2( y a)2 a2，直线 l：4 x3 y4 a0，所以圆心 C到直线 l的距离 d ，|3a 4a|5 |a|5所以 2 2 ，即 |a|2 ，a2 a225 6 465 6解得 a .52(选修
8、 45：不等式选讲)设 a、 b、 c均为正数并满足 a b c3.(1)证明： ab bc ca3；(2)求 的最大值a 2b 2 3c 3解析：(1)证明：由 a2 b22 ab， b2 c22 bc， a2 c22 ac，相加可得： a2 b2 c2 ab bc ac.又 9( a b c)2 a2 b2 c22 ab2 bc2 ac3( ab bc ac)，所以 ab bc ac3.(2) 由柯西不等式得12( )2( )2( )2 ( )2( )2( )2，2 3 a b 1 c 1 a 2b 2 3c 3即( )2(1 23)( a b1 c1)30，a 2b 2 3c 3所以 ，a 2b 2 3c 3 30当 a1( b1)2( c1)3 时等号成立，解得： a ， b ， c ，56 23 32所以 的最大值为 .a 2b 2 3c 3 301
