1、1中档题保分练(一)1(2018海淀区模拟)已知数列a n的前 n 项和为Sn，a 1 ，2S nS n1 1(n2，nN *)12(1)求数列 an的通项公式；(2)记 bn an(nN *)，求 的前 n 项和 Tn.1bnbn 1解析：(1)当 n2 时，由 2Sn Sn1 1 及 a1 ，得 2S2 S11，即 2a12 a2 a11，解12得 a2 .又由 2Sn Sn1 1， 可知 2Sn1 Sn1，14得 2an1 an，即 an1 an(n2)，且 n1 时， 适合上式，12 a2a1 12因此数列 an是以 为首项，公比为 的等比数列，故 an (nN *)12 12 12n
2、(2)由(1)及 bn an(nN *) ，可知 bnlog n n，12(12)所以 ，1bnbn 1 1n n 1 1n 1n 1故 Tn 1 .1b1b2 1b2b3 1bnbn 1 (1 12) (12 13) (1n 1n 1) 1n 1 nn 12(2018滨州模拟)在如图所示的几何体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为菱形，AB2 a， ABC120， AC 与 BD 相交于 O 点，四边形 BDEF 为直角梯形，DE BF， BD DE， DE2 BF2 a，平面 BDEF底面 ABCD.2(1)证明：平面 AEF平面 AFC；(2)求二面角 EACF 的余弦值解析：(1)证
3、明：因为底面 ABCD 为菱形，所以 AC BD，又平面 BDEF底面 ABCD，平面 BDEF平面 ABCD BD，因此 AC平面 BDEF，从而 AC EF.又 BD DE，所以 DE平面 ABCD，由 AB2 a， DE2 BF2 a， ABC120，22可知 AF a， BD2 a，4a2 2a2 6EF a， AE 2 a，4a2 2a2 6 4a2 8a2 3从而 AF2 EF2 AE2，故 EF AF.又 AF AC A，所以 EF平面 AFC.又 EF平面 AEF，所以平面 AEF平面 AFC.(2)取 EF 中点 G，由题可知 OG DE，所以 OG平面 ABCD，又在菱形
4、ABCD 中， OA OB，所以分别以 ， ， 的方向为 x， y， z 轴正方向建立空间直角坐标系 Oxyz(如图所示)，OA OB OG 则 O(0,0,0)， A( a,0,0)， C( a,0,0)， E(0， a,2 a)， F(0， a， a)，3 3 2 2所以 (0， a,2 a)( a,0,0)( a， a,2 a)， ( a,0,0)( a,0,0)AE 2 3 3 2 AC 3 3(2 a,0,0)， (0， a， a)(0， a,2 a)(0,2 a， a)3 EF 2 2 2由(1)可知 EF平面 AFC，所以平面 AFC 的法向量可取为 (0,2 a， a)EF 2
5、设平面 AEC 的法向量为 n( x， y， z)，则Error! 即Error!即Error! 令 z ，得 y4，2所以 n(0,4， )2从而 cos n， .EF nEF |n|EF | 6a63a 33故所求的二面角 EACF 的余弦值为 .333(2018绵阳模拟)某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级 800 名学生中随机抽取 100 名学生进行测试，并将其成绩分为 A、 B、 C、 D、 E 五个等级，统计数据如图所示(视频率为概率)，根据以上抽样调查数据，回答下列问题：3(1)试估算该校高三年级学生获得成绩为 B 的人
6、数；(2)若等级 A、 B、 C、 D、 E 分别对应 100 分、90 分、80 分、70 分、60 分，学校要求平均分达 90 分以上为“考前心理稳定整体过关” ，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？(3)为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从 A、 B 两种级别中，用分层抽样的方法抽取11 个学生样本，再从中任意选取 3 个学生样本分析，求这 3 个样本为 A 级的个数 的分布列与数学期望解析：(1)从条形图中可知这 100 人中，有 56 名学生成绩等级为 B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为 B 的概率为 ，56100 1425则该校高三年级学生获得成绩为 B
7、的人数约有 800 448.1425(2)这 100 名学生成绩的平均分为 (321005690780370260)110091.3，因为 91.390，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关(3)由题可知用分层抽样的方法抽取 11 个学生样本，其中 A 级 4 个， B 级 7 个，从而任意选取 3 个，这 3 个为 A 级的个数 的可能值为 0,1,2,3.则 P( 0) ， P( 1) ，C04C37C311 733 C14C27C311 2855P( 2) ， P( 3) .C24C17C311 1455 C34C07C311 4165因此可得 的分布列为： 0 1 2
8、3P 733 2855 1455 4165则 E( )0 1 2 3 .733 2855 1455 4165 12114请在下面两题中任选一题作答4(选修 44：坐标系与参数方程)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：Error!( t 为参数， a0)，在以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 4sin .(1)试将曲线 C1与 C2化为直角坐标系 xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时 a 的取值范围；(2)当 a3 时，两曲线相交于 A， B 两点，求| AB|.解析：(1)曲线 C1：Error!，消去参数 t 可得普通方程为( x3) 2( y2)
9、 2 a2.曲线 C2： 4sin ，两边同乘 .可得普通方程为 x2( y2) 24.把( y2) 24 x2代入曲线 C1的普通方程得： a2( x3) 24 x2136 x，而对 C2有 x2 x2( y2) 24，即2 x2，所以 1 a225.故当两曲线有公共点时， a的取值范围为1,5(2)当 a3 时，曲线 C1：( x3) 2( y2) 29，两曲线交点 A， B 所在直线方程为 x .23曲线 x2( y2) 24 的圆心到直线 x 的距离为 d ，23 23所以| AB|2 .4 49 823(选修 45：不等式选讲)已知函数 f(x)|2 x1| x1|.(1)在下面给出
10、的直角坐标系中作出函数 y f(x)的图象，并由图象找出满足不等式 f(x)3 的解集；(2)若函数 y f(x)的最小值记为 m，设 a， bR，且有 a2 b2 m，试证明： .1a2 1 4b2 1 187解析：(1)因为 f(x)|2 x1| x1|Error!所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式 f(x)3 的解集为1,15(2)证明：由图可知函数 y f(x)的最小值为 ，即 m .所以 a2 b2 ，从而32 32 32a21 b21 ，72从而 (a21)( b21) 1a2 1 4b2 1 27 ( 1a2 1 4b2 1) 275 b2 1a2 1 4 a2 1b2 1 27 .5 2b2 1a2 14 a2 1b2 1 187当且仅当 时，等号成立，b2 1a2 1 4 a2 1b2 1即 a2 ， b2 时，有最小值，16 43所以 得证1a2 1 4b2 1 187
