1、1中档题保分练(一)1(2018海淀区模拟)已知数列 an的前 n 项和为Sn， a1 ，2 Sn Sn1 1( n2， nN *)12(1)求数列 an的通项公式；(2)记 求 的前 n 项和 Tn.1bnbn 1解析：(1)当 n2 时，由 2Sn Sn1 1 及 a1 ，得 2S2 S11，即 2a12 a2 a11，解12得 a2 .又由 2Sn Sn1 1， 可知 2Sn1 Sn1，14得 2an1 an，即 an1 an(n2)，且 n1 时， 适合上式，12 a2a1 12因此数列 an是以 为首项，公比为 的等比数列，故 an (nN *)12 12 12n(2)由(1)及 可
2、知 bn n，所以 ，1bnbn 1 1n n 1 1n 1n 1故 Tn 1 .1b1b2 1b2b3 1bnbn 1 (1 12) (12 13) (1n 1n 1) 1n 1 nn 12(2018滨州模拟)在如图所示的几何体 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形， ABC120， AB a， PB a， PB AB，平面 ABCD平面 PAB， AC BD O， E 为 PD 的中3点， G 为平面 PAB 内任一点(1)在平面 PAB 内，过 G 点是否存在直线 l 使 OE l？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；(2)过 A， C， E 三点的平面将几何体 PABCD
3、 截去三棱锥 DAEC，求剩余几何体 AECBP 的体积解析：(1)过 G 点存在直线 l 使 OE l，理由如下：由题可知 O 为 BD 的中点，又 E 为 PD 的中点，所以在 PBD 中，有 OE PB.2若点 G 在直线 PB 上，则直线 PB 即为所求作直线 l，所以有 OE l；若点 G 不在直线 PB 上，在平面 PAB 内，过点 G 作直线 l，使 l PB，又 OE PB，所以 OE l，即过 G 点存在直线 l 使 OE l.(2)连接 EA， EC，则平面 ACE 将几何体分成两部分：三棱锥 DAEC 与几何体 AECBP(如图所示)因为平面 ABCD平面 PAB，且交线
4、为 AB，又 PB AB，所以 PB平面 ABCD.故 PB 为几何体 PABCD 的高又四边形 ABCD 为菱形， ABC120， AB a， PB a，3所以 S 四边形 ABCD2 a2 a2，34 32所以 VPABCD S 四边形 ABCDPB a2 a a3.13 13 32 3 12又 OE 綊 PB，所以 OE平面 ACD，12所以 V 三棱锥 DAEC V 三棱锥 EACD S ACDEO13 VPABCD a3，14 18所以几何体 AECBP 的体积 V VPABCD V 三棱锥 DAEC a3 a3 a3.12 18 383(2018绵阳模拟)某校为缓解高三学生的高考压
5、力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级 800 名学生中随机抽取 100 名学生进行测试，并将其成绩分为 A、 B、 C、 D、 E 五个等级，统计数据如图所示(视频率为概率)，根据图中抽样调查数据，回答下列问题：3(1)试估算该校高三年级学生获得成绩为 B 的人数；(2)若等级 A、 B、 C、 D、 E 分别对应 100 分、90 分、80 分、70 分、60 分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于 90 分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？(3)以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校
6、决定对成绩等级为 E 的 16 名学生(其中男生 4 人，女生 12 人)进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的 4 人中任意抽取 2 名，求恰好抽到 1 名男生的概率解析：(1)从条形图中可知这 100 人中，有 56 名学生成绩等级为 B，故可以估计该校学生获得成绩等级为 B 的概率为 ，56100 1425则该校高三年级学生获得成绩等级为 B 的人数约有 800 448.1425(2)这 100 名学生成绩的平均分为 (321005690780370260)110091.3(分)，因为 91.390，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关(3)按分层抽样抽取的 4 人
7、中有 1 名男生，3 名女生，记男生为 a,3 名女生分别为b1， b2， b3.从中抽取 2 人的所有情况为 ab1， ab2， ab3， b1b2， b1b3， b2b3，共 6 种情况，其中恰好抽到 1 名男生的有 ab1， ab2， ab3，共 3 种情况，故所求概率 P .124请在下面两题中任选一题作答(选修 44：坐标系与参数方程)(2018梧州模拟)在直角坐标系 xOy 中，曲线C1：Error! (t 为参数， a0)，在以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 4sin .(1)试将曲线 C1与 C2化为直角坐标系 xOy 中的普通方程，并指出两
8、曲线有公共点时 a 的取值范围；(2)当 a3 时，两曲线相交于 A， B 两点，求| AB|.解析：(1)曲线 C1：Error!，消去参数 t 可得普通方程为( x3) 2( y2) 2 a2.4曲线 C2： 4sin ，两边同乘 .可得普通方程为 x2( y2) 24.把( y2) 24 x2代入曲线 C1的普通方程得： a2( x3) 24 x2136 x，而对 C2有 x2 x2( y2) 24，即2 x2，所以 1 a225.故当两曲线有公共点时， a的取值范围为1,5(2)当 a3 时，曲线 C1：( x3) 2( y2) 29，两曲线交点 A， B 所在直线方程为 x .23曲
9、线 x2( y2) 24 的圆心到直线 x 的距离为 d ，23 23所以| AB|2 .4 49 823(选修 45：不等式选讲)(2018梧州模拟) 已知函数 f(x)|2 x1| x1|.(1)在下面给出的直角坐标系中作出函数 y f(x)的图象，并由图象找出满足不等式 f(x)3 的解集；(2)若函数 y f(x)的最小值记为 m，设 a， bR，且有 a2 b2 m，试证明： .1a2 1 4b2 1 187解析：(1)因为 f(x)|2 x1| x1|Error!所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式 f(x)3 的解集为1,1(2)证明：由图可知函数 y f(x)的最小值为 ，即 m .32 32所以 a2 b2 ，从而 a21 b21 ，32 725从而 (a21)( b21) 1a2 1 4b2 1 27 ( 1a2 1 4b2 1) 275 b2 1a2 1 4 a2 1b2 1 27 .5 2b2 1a2 14 a2 1b2 1 187当且仅当 时，等号成立，b2 1a2 1 4 a2 1b2 1即 a2 ， b2 时，有最小值，16 43所以 得证1a2 1 4b2 1 187
