1、1专题 02 集合间的基本关系考点 4 集合的包含关系考点 5 空集的定义、性质考点 4 集合的包含关系要点阐述一、子集1定义：一般地，对于两个集合 A， B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集2记法与读法： A 是 B 的子集，记作 AB（或 BA） ，读作“ A 含于 B”（或“ B 包含 A”） 3性质：（1）自反性：任何一个集合是它本身的子集，记作 AA（2）传递性：若 AB， BC，则 AC二、集合相等1定义：如果集合 A 是集合 B 的子集（ AB） ，且集合 B 是集合 A 的子集（ BA） ，此时，集
2、合 A 与集合 B中的元素是一样的，我们就说集合 A 与集合 B 相等2记法与读法：集合 A 与集合 B 相等可记作“ A=B”，读作“ A 等于 B”三、真子集1定义：如果集合 AB，但存在元素 x B，且 xA，我们称集合 A 是集合 B 的真子集2记法与读法：集合 A 是集合 B 的真子集，记作“ A B”（或“ B A”） ，读作“ A 真包含于 B”（或“ B 真包含 A”） 3性质：若 A B， B C，则 典型例题2【例】若 21， 5,43A，则满足这一关系的集合 A的个数为A5 B6 C7 D8 【答案】C【解题必备】（1）有限集子集的确定问题，求解关键有三点：确定所求集合；
3、注意两个特殊的子集： 和自身；依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集写出子集，避免重复和遗漏现象的发生（2）如果有限非空集合 A中有 n 个元素，则集合 A的子集个数为 2n；集合 A的真子集个数为 21n；集合 A的非空子集个数为 21；集合 的非空真子集个数为 小试牛刀1如果 A x|x1，那么A0 A B0 A C0 A D0 A【答案】D【解析】符号“”表示元素与集合之间的关系，符号“”表示集合与集合之间的关系故选 D2已知集合 M x|y22 x， yR和集合 P（ x， y）| y22 x， yR，则两个集合间的关系是A MP B PMC M P D M、
4、 P 互不包含【答案】D【解析】由于两集合代表元素不同，因此 M 与 P 互不包含故选 D【易错易混】描述法要注意描述的基本元素是什么， M 中元素是数， P 中元素是点，属性不同，所以交集为空集3满足条件 a Ma， b， c， d的所有不同集合 M 的个数为A6 B7 C8 D9【答案】B【解析】满足条件的 M 有： a， b， a， c， a， d， a， b， c， a， b， d， a， c， d，a， b， c， d34下 列 集 合 中 ， 表 示 同 一 集 合 的 是A M=（3，2）， N=（2，3） B M=3，2， N=2，3C M=（1，2）， N=1，2 D M=（
5、 x， y）| x+y=1， N=y|y+x=1【答案】B5若集合 A1，3， x， B x2，1且 BA，则满足条件的实数 x 的个数是A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】 BA， x2 A，又 x21， x23 或 x2 x， x 3或 x0故选 C【易错易混】集合中元素有字母，求出字母的值还要验证一下是否满足元素的互异性6已知 M yR |y| x|， N xR| x m2，则下列关系中正确的是A MN B M N C M N D NM【答案】B【解析】 M yR| y| x| yR| y0， N xR| x m2 xR| x0， M N【方法技巧】对于集合相等首先要分析已知元素与另
6、一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程（组）进行求解，要注意检验是否满足互异性7已知集合 A xR| x22 x80， B xR| x2 ax a2120， BA，求实数 a 的取值集合【解析】 A2 ,4，因为 BA，所以 B，2，4，2 ,4若 B，则 a24（ a212）16，解得 a4 或 a2；（2）1 a2【解析】 （1）若 AB，由图可知， a2（2）若 BA，由图可知，1 a2【解题技巧】利用数轴分析法求解5数学文化康托尔是 19 世纪末 20 世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。19 世纪末他所创立的集合论被誉为 20 世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的
7、研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。集合论是现代数学中重要的基础理论，它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。6考点 5 空集的定义、性质要点阐述空集1定义：不含任何元素的集合叫做空集；2记法：空集用符号“”表示；3规定：空集是任何集合的子集；4由空集是任何集合的子集，可知空集也是它本身的子集，即，但空集并不是任何集合的真子集，因为它不是其本身的真子集，所以应说“空集
8、是任何非空集合的真子集” 典型例题【例】给出下列四个判断：0；空集没有子集； 任何一个集合必有两个或两个以上的子集；空集是任何一个集合的子集其中正确的有A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】B【解析】由空集的性质可知，只有正确，均不正确【解题必备】1空集的概念：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 ，并规定：空集是任何集合的子集2空集的性质：（1）空集只有一个子集，即它本身；（2）空集是任何集合的子集，即 A；（3）空集是任何非空集合的真子集，即 注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解3 与0的区别：（
9、1） 是不含任何元素的集合；7（2）0是含有一个元素的集合， 0小试牛刀1如果 A x|x2，那么A0 A B0 A C A D0 A【答案】D【解析】注意元素与集合以及集合与集合之间的关系2已知四个命题：0；空集没有子集；任何一个集合都有两个或两个以上的子集； 空集是任何集合的子集其中正确的命题个数为A0 B1 C2 D3【答案】B【易错易混】空集是不含任何元素的集合，并且是任何集合的子集所以考虑子集首先应考虑空集3 下 列 关 系 正 确 的 是A 不属于0 B00 C0 D0 属于空集【答案】B【解析】不 含 任 何 元 素 的 集 合 称 为 空 集 ， 故 A， C， D 错 ；集
10、合 0中 含 有 元 素 0， 故 有 0 0， 故 B 正 确 故 选 B4 设 集 合 A=x|0 x0 x1故选 C3下列说法正确的是A0 B=0 C中元素的个数为 0 D没有子集【答案】C【解析】空集是不含任何元素的集合，故中元素的个数为 04已 知 集 合 A=x|ax23x+1=0， aR（1）若 A是空集，求 a的取值范围；（2）若 A中至多只有一个元素，求 a的取值范围【答案】 （1） 94；（2） a|a=0 或 94数学文化2016 年 3 月 9 日至 15 日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分 4 比 1 战胜李世石。许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的 2548 名男性中有 1560 名持反对意见，2452 名女性中有 1200 名持反对意见。
