1、1专题 03 集合的基本运算考点 6 并集及运算考点 7 交集及运算考点 8 补集、全集及运算考点 9 交、并、补集的混合运算考点 10 venn 图表达集合的关系及运算考点 11 集合中元素个数考点 6 并集及运算考点 6 并集及运算要点阐述并集（1）定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作A B（2）并集的符号语言表示为 A B x|x A，或 x B（3）性质： A B B A， A A A， A A， A B A ， A A B典型例题【例】已知 A=x|x1， B=x|x22x33 D x|x1【答案】D【解析】 A=x|
2、x1， B=x|x22x31故选 D2【名师点睛】（1）“ AB”是指所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素并在一起所构成的集合注意对概念中 “所有”的理解：不能认为“ ”是由 A 中的所有元素和 B 中的所有元素组成的集合，即简单拼凑，要满足集合中元素的互异性， A 与 B 的公共元素只能作并集中的一个元素（2）解决与不等式有关的集合问题时，常借用数轴求解，要注意端点值能否取到小试牛刀1满足条件2，4 M2，4，6，8的集合 M 的个数是A8 B6 C4 D2【答案】C【解析】2，4 M2，4，6，8， M 中必须含有 6，8 M 可以是6，8，2，6，8，4，6，8，2，4，6，8共 4
3、 个2集合 A0，2， a， B1， a2，若 A B0，1，2，4，16，则 a 的值为A0 B1 C2 D4【答案】D【易错易混】并集定义中的“或”与生活用语中的“或”的意义不尽相同在并集的定义中，“ x A，或x B”包括三种情况： x A 但 xB； x B 但 xA； x A 且 x B用 Venn 图（如下图阴影部分）分别表示为：x A，但 xB x B，但 xA x A，且 x B3已知集合 |1,|2yR，则下列结论正确的是A B 3C D AB【答案】C【解析】由于 1xy， 1|yA，因此 BA,3故答案为C3【思路点拨】集合 A的含义是函数的值域，求出值域再判断正误即可4
4、已知集合 1,2|21MNbaM ， ， ，则 NA1 B1 ,2 C1 ,2,3 D 【答案】C5已知集合 A x|3 x4， B x|x5，则 A BA x|x4 B x|x5C x|x4 且 x5 D x|x4 或 x5【答案】D【解析】将3 x4 与 x5 在数轴上表示出来：由图可得 A B x|x4 或 x5【解题技巧】欲求 A B，只需将 A， B 用数轴表示出来，取它们所有元素构成的集合，即得 AB6已知集合 RM,02| ， RxyN,1|2，则 M N 等于A x|x1 B x|1 x2 D x|x2 或 x2,B x|x2,选项 D 符合4设集合 M x|25,则 A BA
5、 x|25C x|25【答案】C【解析】由题意 ,得 A B x|25 x|23C x|x2 或 x3 D x|x2 或 x3【答案】A【解析】在数轴上表示出集合 P，如图，所以 UP=x|x2【答案】C【解析】易求得 RB=x|x1 ,或 x2，如图所示，若能保证并集为 R，则只需实数 a 在数 2 的右边（含端点 2） a2【解题技巧】先求出 RB，然后借助于数轴求解即可7已知集合 A x|x2 ax12 b0和 B x|x2 ax b0，满足( UA) B2，A( UB)4， UR，求实数 a、 b 的值考题速递1设集合 U1 ,2,3,4,5,6,A1 ,3,5,B3 ,4,5,则 U
6、A B)A2 ,6 B3 ,6 C1 ,3,4,5 D1 ,2,4,6【答案】A【解析】 A B1 ,3,4,5, U(A B)2 ,6故选 A2已知全集 U1 ,2,3,4,5,6,集合 P1 ,3,5,Q1 ,2,4,则( UP) QA1 B3 ,5 C1 ,2,4,6 D1 ,2,3,4,5【答案】C【解析】 UP2 ,4,6,( UP) Q2 ,4,61 ,2,41 ,2,4,63已知全集为 R,集合 A x|x0 ,B x|x26 x80 ,则 A( RB)A x|x0 B x|2 x417C x|0 x4 D x|0x2 或 x4【答案】C【解析】 A0 ,) ,B2 ,4, R
7、B( ,2)(4 ,)， A( RB)0 ,2)(4 ,)4已知集合 A x|2x7， B x|2x10， C x|5 axa(1)求 A B，( A) B；R(2)若 CB，求实数 a 的取值范围【答案】（1） x|2x10x|7 x10（2） a|a3数学文化切蛋糕体会全集与补集，全集与并集的关系考点 10 venn 图表达集合的关系及运算要点阐述18用平面上封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做 Venn 图集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用 Venn 图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系典型例题【例】全集 U=2，1，0，1
8、2，集合 A=2，2，集合 B=x|x21=0，则图中阴影部分所表示的集合为A1，0，1 B1，0 C1，1 D0【答案】D小试牛刀1 设 全 集 U=Z， 集 合 M=1， 2与 P=x|x|2， x Z关 系 的 韦 恩 （ venn） 图 如 图 所 示 ， 则 阴 影部 分 所 示 的 集 合 为A1，0 B2，1，0 C0，1，2 D0，1【答案】A【解析】 P=x|x|2， x Z=1， 0， 1， 阴 影 部 分 所 示 的 集 合 为 P （ UM） =1， 0 故选 A2 已 知 全 集 U， 集 合 M， N 关 系 的 韦 恩 （ Venn） 图 如 图 所 示 ， 则
9、 CU（ M N） =19A1，8，9 B1，2，8，9 C3，4，5 D1，2，6，7，8，9【答案】D【解题技巧】元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过 Venn 图形象表达，再加上由于题设条件比较抽象，也应借助于 Venn 图寻找解题思路，这样做有助于直观地分析问题、解决问题3 已 知 全 集 U=R， 集 合 M=x Z|1 x1 2和 N=x|x=2k+1， k N*的 关 系 的 韦 恩（ Venn） 图 如 图 所 示 ， 则 阴 影 部 分 所 示 的 集 合 的 元 素 共 有A2 个 B3 个 C4 个 D无穷多个【答案】B【解析】由 题 意 M=x Z|
10、1 x1 2=0， 1， 2， 3， N=x|x=2k+1， k N*=3， 5， 7， 9， 故 （ CUN） M=0， 1， 2 故 选 B【解题技巧】注意集合 N 中是大于 1 的奇数，要注意到 k N*4.已 知 U=x|x 是 小 于 9 的 正 整 数 ， A=1， 2， 3， B=3， 4， 5， 6， 则 Venn 图 中 阴 影 部 分 所表 示 的 集 合 为A3 B4，5，6，7，8 C7，8 D1，2，7，8【答案】C【解析】由 题 意 ， Venn 图 中 阴 影 部 分 所 表 示 的 集 合 为 CU（ A B） ， U=x|x 是 小 于 9 的 正 整 数 =
11、1,2,3,4,5,6,7,8，因为 A B=1,2,3,4,5,6， 所 以 CU（ A B） =7,8故 选 C5.已 知 全 集 U=R， 则 正 确 表 示 集 合 M=0， 1， 2和 N=x|x2+2x=0关 系 的 韦 恩 （ Venn） 图 是20A BC D【答案】A6设 M、 P 是两个非空集合，定义 M 与 P 的差集为： M P=x|xM，且 xP，则 M( M P)等于A P B MP C MP D M【答案】B【解析】当 MP 时，由右图知，M P 为图中的阴影部分，则 M( M P)显然是 MP当 M P= 时， M P=M，此时有M( M P)=M M=x|xM
12、且 xM= =M P综上，应选 B【思路点拨】这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题，“ M P”是学生们在课本中不曾学过的一种集合运算关系，根据它的元素的属性，可以用 Venn 图的方法把问题转化考题速递1 已知全集 U A B 中有 m 个元素，( UA)( UB)中有 n 个元素若 A B 是非空集合，则 A B 的元素个数为A mn B m nC n m D m n【答案】B【解析】画出 Venn 图，如图M PM P21 U A B 中有 m 个元素，(UA)( UB) U(A B)中有 n 个元素， A B 中有 m n 个元素2 设 全 集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6
13、 集 合 A=1， 2， 4， B=1， 3， 5， 则 下 列 Venn 图 中 阴 影部 分 表 示 集 合 3， 5的 是A BC D【答案】B3 http:/ 全 集 U=R， A=0， 1， 2， 3， B=2， 3， 4， 5， 则 Venn 图 中 阴 影 部分 表 示 的 集 合 为（红色部分为阴影部分）A0，1 B2，3C4，5 D0，1，4，5【答案】B【解析】由 Venn 图 可 知 ， 阴 影 部 分 的 元 素 为 属 于 B 但 不 属 于 A 的 元 素 构 成 ， 所 以 用 集 合 表 示 为B （ UA） 22 全 集 U=R， A=0， 1， 2， 3，
14、 B=2， 3， 4， 5， B （ UA） =4， 5 故 选 C4已 知 集 合 A=x|x是 面 积 大 于 5的 正 方 形 ， B=x|x是 面 积 大 于 9的 矩 形 ， C=x|x是 面 积 大 于10的 正 方 形 ， D=x|x是 面 积 大 于 7的 矩 形 ， 试 用 维 恩 图 表 示 这 些 集 合 的 关 系 【答案】见解析故 用 维 恩 图 表 示 这 些 集 合 的 关 系 如 下 图 所 示 ：数学文化在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，以及用以表示集合之间关系这种图称为韦恩图(也叫文氏图)23考点 11 集合中元素个数要点阐述用 card 来
15、表示有限集 A 中的元素个数，如： A=a,b,c则 card（ A）=31card( A B)=card（ A）+card（ B）card( A B)2card( A B C)=card（ A）+card（ B）+card（ C）card( A B)card(A C)card(C B)+card(A B C)典型例题【例】已知集合 A=1，3，4，7， B=x|x=2k+1， k 属于 A，则集合 A B 中元素的个数为_【答案】6小试牛刀1设集合 A4，5，7，9， B3，4，7，8，9，全集 U A B，集合 U（ A B）中的元素共有A3 个 B4 个 C5 个 D6 个【答案】A【解
16、析】 U A B3，4，5，7，8，9， A B4，7，9， U（ A B）3，5，82已 知 集 合 A=x|x=3n+1， n N， B=4， 6， 8， 10， 12， 则 集 合 A B 中 的 元 素 个 数 为A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】 A=x|x=3n+1， n N， B=4， 6， 8， 10， 12， A B=4， 10，则 集 合 A B 中 的 元 素 个 数 为 2 故 选 B【易错易混】此类问题最主要是理解集合 A 的 含 义 ， 判 断 B 中 的 元 素 哪 些 属 于 A3已 知 集 合 A=1， 2， 3， 4， 则 集 合 B=xy|x A，
17、y A中 元 素 的 个 数 是A8 B9 C10 D12【答案】B244已知集合 2(,)|,(,)|,AxyxRBxyxR,则 AB中的元素个数为A0 B1 C2 D3【答案】D【解析】联立方程得 xy2，消去 y得 x2，两边平方解得 0x， 1，或 x，对应的 y值分别为 1,0，故 AB中的元素个数为 3 个【解题技巧】单纯的集合的交集不难求，但是集合的题目大都与解不等式、函数结合着考理解集合的含义并将其化简是解决这类问题的关键5学 校 先 举 办 了 一 次 田 径 运 动 会 ， 某 班 有 8 名 同 学 参 赛 ， 又 举 办 了 一 次 球 类 运 动 会 ， 有 12名
18、同 学 参 赛 ， 两 次 运 动 会 都 参 赛 的 有 3 人 两 次 运 动 会 中 ， 这 个 班 参 赛 的 人 数 为 【答案】1 7【解析】设 A=田 径 运 动 会 参 赛 的 学 生 ， B=球 类 运 动 会 参 赛 的 学 生 ， 那 么 ， A B=两 次 运 动会 都 参 赛 的 学 生 ， A B=参 赛 的 学 生 card（ A B） =card（ A）+ card（ B） card（ A B） =8+12 3=17【解题技巧】分 析 A B、 A、 B、 A B 中 元 素 个 数 的 关 系 ， 利 用 card(A B)=card（ A）+card（ B）
19、card(A B)可求6已 知 集 合 A=1， 2， 3， 4， B A 且 B ， 定 义 新 集 合 C=（ x， y） |x B， y AB， 则 集合 C 中 的 元 素 个 数 为 【答案】3 或 4【解析】由 B A 且 B 得 ： B=1， 2， 3， 4， 1， 2， 1， 3， 1， 4， 2， 3，252， 4，3， 4， 1， 2， 3， 1， 2， 4， 1， 3， 4， 2， 3， 4共 14 种 情 况 由 新 集 合 C=（ x， y） |x B， y AB，例 如 ： 当 B=1时 ， AB=2， 3， 4则 C=（ 1， 2） ， （ 1， 3） ， （ 1
20、 4） 元 素 个 数 为 3 个 再 例 如 当 B=2， 3时 ， AB=1， 4元 素 个 数 为 4 个 ，再 例 如 当 B=1， 2， 3时 ， AB=4元 素 个 数 为 3 个 ， 故 答 案 为 3 或 4【易错易混】抓住集合 B 是 A 的 非 空 真 子 集 ， 讲 集 合 B 所 有 可 能 的 情 况 列 举 出 来 ， 然 后 分 类 讨 论 即可 集 合 C 是 新 定 义 的 集 合 ， 要 准 确 理 解 它 的 含 义 7某班共有 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人
21、数【解析】设全集 U全班 30 名学生， A喜爱篮球运动的学生， B喜爱乒乓球运动的学生，画出Venn 图如图所示：考题速递1设集合 A x|1 x5 ,Z 为整数集 ,则集合 A Z 中元素的个数是A6 B5C4 D3【答案】B【解析】 A x|1 x5 ,Z 为整数集 ,则 A Z1 ,2,3,4,52已 知 集 合 A=1， 2， 3， 则 B=xy|x A， y A中 的 元 素 个 数 为A9 B5 C3 D1【答案】B【解析】 A=1， 2， 3， B=xy|x A， y A，26 x=1， 2， 3， y=1， 2， 3当 x=1 时 ， xy=0， 1， 2；当 x=2 时 ，
22、 xy=1， 0， 1；当 x=3 时 ， xy=2， 1， 0即 xy=2， 1， 0， 1， 2 即 B=2， 1， 0， 1， 2共 有 5 个 元 素 故 选 B3已知集合 A x|x3 n2 ,n N,B6 ,8,10,12,14,则集合 A B 中元素的个数为A5 B4 C3 D2【答案】D【解析】解析 A2 ,5,8,11,14,17,B6 ,8,10,12,14,集合 A B 中有 8,14 两个元素4集合 M=x|2 x12和 N=x|x=2k1， k=1，2，的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有多少个【答案】2数学文化某店来了三位顾客，急于要买饼赶火车，限定时间不能超过 16 分钟几个厨师说无能为力，因为要烙熟一个饼的两面各需要 5 分钟，一口锅一次可放两个饼，那么烙熟三个饼就得 20 分钟，这时来了厨师老李，他说动足脑筋只要 15 分钟就行了，你知道是怎么烙的吗？
