1、1专题 04 直线与圆的方程一.专题辅导1.专题热点透析：直线与圆所涉及到的知识都是平面解析几何的最基础的内容，并渗透到解析几何的各个部分，尤其是直线与圆的位置关系构成了解析几何问题的基础。纵观近近几年的高考数学试卷，本部分内容多以选择题或填空题的形式出现，分值在 5-17 分左右，难度不大，但每年必考，这部分主要考查直线的平行和垂直、圆的定义、性质和圆方程的求法、直线与圆的位置关系等综合性试题，其中直线与圆相切有关的问题是热点。同时直线与圆相交求弦长、点到直线的距离等也是重点。从近几年的全国高考新课程高考试题分析研究来看，可以预测今后涉及本单元知识点的题目，仍会以基本题型为主，侧重于考查对基
2、础知识的掌握、基本数学思想方法的灵活运用，一般难度不会太大另一方面，本单元与其他章节的知识点综合题仍将是今后的热点、重点、难点，也可能会出现探索开放、新颖别致的实际应用题目，特别应注意与不等式、平面向量知识、导数等新知识综合题目可能会出现在今后高考题中2.热点题型分类精讲：1.直线的倾斜角斜率问题例 1.直线 xsin+y+2=0 的倾斜角的取值范围是（ ）A0，） B0， 4 3，） C0， 4 D0， （ 2，）【分析】由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围【答案】B【点评】：本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题解决本题注意倾斜角的范围是 0,)。2.直线
3、的平行与垂直问题例 2.已知点 A（a，a） （a0） ，B（1，0） ，O 为坐标原点若点 C 在直线 OA 上，且 BC 与 OA 垂直，则点 C的坐标是（ ）A 1(,)2 B (,)2 C (,)2a D 1(,)2【分析】设 C（x，y） ，利用点 C 在直线 OA 上，且 BC 与 OA 垂直得到关于 x，y 的方程组解之【答案】D2【解析】设 C（x，y） ，因为点 C 在直线 OA 上，且 BC 与 OA 垂直，所以 1xy，解得12xy；故选：D点评：本题考查了直线的斜率以及垂直直线的斜率关系；属于基础题3.直线方程的求解与计算例 3.过点 P（2，2）作直线 l，使直线 l
4、 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为 8，这样的直线l 一共有（ ）A3 条 B2 条 C1 条 D0 条【分析】解决本题思路是设直线 l 的方程，结合直线过点 P（2，2）且在第二象限内围成的三角形面积为 8，构造方程组，解得直线方程，可得答案 【点评】：本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题由于本题是求解围成面积问题，所以设截距式计算比较简单。4.参数范围的求解与计算例 4.已知点 A 在直线 x+2y1=0 上，点 B 在直线 x+2y+3=0 上，线段 AB 的中点为 P（x 0，y 0） ，且满足y0x 0+2，则 0y的取值范围为（ ）A 1(,)25 B
5、1(,5C (,2 D 1(,0)2【分析】本题的解题关键是求出 AB 中点的直线方程，再根据不等式得到 P 点横坐标的范围，再解不等式即可。【答案】A3【点评】：本题考查了平行线之间的距离公式、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.圆的方程计算与求解例 5 过三点 A（1，3） ，B（4，2） ，C（1，7）的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|=（ ）A2 B8 C4 D10【分析】设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出 D，E，F，令 x=0，即可得出结论【解析】设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则193064
6、27，D=2，E=4，F=20，x 2+y22x+4y20=0，令 x=0，可得 y2+4y20=0，y=22 6，|MN|=4 6故选：C【点评】：本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键求解圆的方程既可以利用待4定系数法也可以使用圆的一些性质进行求解。6.直线与圆的相切、相交问题例 6. 一条光线从点（2，3）射出，经 y 轴反射后与圆（x+3） 2+（y2） 2=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A 53或 B 32或 C 54或 D 43或【分析】点 A（2，3）关于 y 轴的对称点为 A（2，3） ，可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x2） ，利用直线
7、与圆相切的性质即可得出【点评】：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题 例 7. 已知圆 x2+y2+2x2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是（ ）A2 B4 C6 D8【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得 a 的值【解析】圆 x2+y2+2x2y+a=0 即 （x+1） 2+（y1） 2=2a，故弦心距 d=|1|再由弦长公式可得 2a=2+4，a=4，故选：B【点评】：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题7.
8、直线与圆的最值问题例 8 圆心在曲线 3yx（x0）上，且与直线 3x4y+3=0 相切的面积最小的圆的方程是 【分析】设曲线上一点坐标，利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离 d，利用基本不等式求出 d的最小值，以及此时 a 的值，确定出面积最小时圆心坐标与半径，写出圆的标准方程即可【答案】 （x2） 2+（y+ 3） 2=9。5点评：此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，基本不等式的运用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键例 9 在圆 C：（x2） 2+（y2） 2=8 内，过点 P（1，0）的最长的弦为 AB，最短的弦为 DE，则四边形ADBE 的面积为_-。【分析】由圆的知识可
9、知过（1，0）的最长弦为直径，最短弦为过（1，0）且垂直于该直径的弦，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可【解析】圆的标准方程为（x2） 2+（y2） 2=8，由题意得最长的弦|AB|=4 2，圆心（2，2） ，圆心与点（1，0）的距离 d= 145，根据勾股定理得最短的弦|DE|=2 2823rd，且 ABDE，四边形 ABCD 的面积 S= |AB|DE|= 4 2 =4 6，故答案为：4 6【点评】：本题考查学生灵活运用几何知识决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半是解决问题的关键，属中档题专题专项训练题（1）一选择题1 圆心为
10、,且过原点的圆的方程是（ ）A 221xy B 2211xyC D 【答案】.D【解析】由题意可得圆的半径为 2r，则圆的标准方程为 221xy.62 若直线： 1ykx被圆 C： 230xy截得的弦最短，则 k=（ ） 。A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】.A【解析】易知直线 1ykx恒过定点 A（0,1） ，要使截得的弦最短，需圆心（1,0）和 A 点的连线与直线1ykx垂直，所以 0,1k即 。3. 在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（ ）A. 45 B 34 C. (6
11、25) D. 54【答案】A4 设两圆 C1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1） ，则两圆心的距离|C 1C2|=（ ）A.4 B. 2 C.8 D. 8【答案】C【解析】两圆 C1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1） ，故圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a） ，则有|a|= 22(4)(1)a，a=5+2 2，或 a=52 2，故圆心为（5+22，5+2 ） 和 （52 ，52 ） ，故两圆心的距离|C 1C2|= 22(4)()8，故选 C5已知圆 C：x 2+y24x4y=0 与 x 轴相交于 A，B 两点，则弦 AB 所对的圆心角的大小（ ）A B C D 【答案】
12、.C【解析】当 y=0 时，得 x24x=0，解得 x=0 或 x=4，则 AB=40=4，半径 R=2 ，CA 2+CB2=（2 ） 2+（2 ） 2=8+8=16=（AB） 2，ACB 是直角三角形，ACB=90，即弦 AB 所对的圆心角的大小为 90，故选：C76 设 P 为直线 3x+4y+3=0 上的动点，过点 P 作圆 C：x 2+y22x2y+1=0 的两条切线，切点分别为 A，B，则四边形 PACB 的面积最小时P=（ ）A. 60 B. 45 C. 30 D. 120【答案】A，CPA=30，所以P=60故选 A7. 若圆 C： 2430xy关于直线 2ax+by+6=0 对
13、称，则由点（a，b）向圆 C 所作切线长的最小值是（ ）A. 2 B.3 C.4 D.6【答案】.C【解析】圆 C： 2430xy化为（x+1） 2+（y2） 2=2，圆的圆心坐标为（1，2）半径为 圆 C： 关于直线 2ax+by+6=0 对称，所以（1，2）在直线上，可得2a+2b+6=0，即 a=b+3点（a，b）与圆心的距离， 22(1)()ab，所以点（a，b）向圆 C 所作切线长：22(1)()= 4b8= 2(1)64b，当且仅当 b=1 时弦长最小，为 4故选 C二填空题8. 设直线 mxy30 与圆 4)2()1(2yx相交于 A、B 两点，且弦长为 2 3，则m_.【答案】
14、0【解析】 圆的半径为 2，弦长为 2 3，所以弦心距为 1，即得 1|2md，解得 m0.9.直线 +0xy被圆 224+0xy截得的弦长为 【答案】.【解析】圆的标准方程为 2()4xy，圆心坐标为 (2,0)，半径为 2，圆心到直线 +0xy的距离2d，所以弦长 22。 10. 直线 l 过点（1，1） ，且与圆（x2） 2+（y2） 2=8 相交于 A，B 两点，则弦 AB 最短时直线 l 的方程为 【答案】 x+y2=0三解答题11. 已知圆心为（1，1）的圆 C 经过点 M（1，2） （）求圆 C 的方程；（）若直线 x+y+m=0 与圆 C 交于 A、B 两点，且ABC 是直角三
15、角形，求实数 m【解析】 （）由已知，圆的半径 r=|CM|= =1，所以圆 C 的方程为（x1） 2+（y1） 2=1（）由题意可知，|CA|=|CB|=1，且ACB=90，9圆心 C 到直线 x+y+m=0 的距离为 ，即 = ，解得 m=1 或 m=312 已知圆 C 经过 A（5，2） ，B (32,)，且圆心 C 在直线 x=3 上（1）求圆 C 的方程；（2）求过 D（0，1）点且与圆 C 相切的两条切线方程13. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 过点（0，1） ， （3+ ，0） ， （3 ，0）（）求圆 C 的方程；（）是否存在实数 a，使得圆 C 与直线 x+y+a=0
16、 交于 A，B 两点，且 OAOB，若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由10【解析】 （）设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，把点（0，1） ， （3+ ，0） ， （3 ， 0）分别代入，得：， 14. 如图，某海面上有 O、 A、 B 三个小岛（面积大小忽略不计） ， A 岛在 O 岛的东北方向 km20处， B 岛在 O 岛的正东方向 10km 处11（1）以 O 为坐标原点， O 的正东方向为 x 轴正方向，1km 为单位长度，建立平面直角坐标系，试写出A、 B 的坐标，并求 A、 B 两岛之间的距离；（2）已知在经过 O、 A、 B 三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在 O 岛的南偏西 30方向距 O 岛20km 处，正沿东北方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【解析】 （1）如图所示： A 在 O 的东北方向 km20， B 在 O 的正东方向 10km， )0,1(2,(BA由
