1、1专题 06 借助数学方法复习提升一重难点解读：1 复习集合应从两方面着手：（1）元素是什么？（2）确定集合的条件是什么？集合的元素具有确定性、互异性、无序性，在应用集合的概念求解集合问题时，要特别注意这三个性质在解题中的应用。即在分析问题时，要看能否利用“三性”找到解题的切入点；题目解答出来后，再检验其元素是否满足“三性” ，元素的互异性往往就是检验的重要依据。2、集合问题大都很抽象，韦恩图和数轴这两个工具的使用能将问题直观化、形象化、明朗化。同时数形结合具有直观性、灵活性、深刻性，可跨越学科，有较强的综合性。对巩固知识，打好基础，提高能力非常重要。3、如何判断一个对应是否为函数，应回到定义
2、中去，只有深刻理会概念，才能使问题有可行的基础和理论依据。4、函数的单调性反映了函数值随自变量的变化而变化的趋势，是函数性质的重要反映。定义单调性时应强调 21,x在其定义域内的任意性，其本质是把比较区间上无限多个函数值的大小问题转化为两个任意值的大小。证明函数的单调性（利用定义）一定要严格遵循设元、作差、变形、判号、定论的步骤。特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可。5. 研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要，如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可推出这个函
3、数在另一部分的性质和图象。奇函数 f（x）若在 x0 处有定义，则必有 f（0）0。奇函数、偶函数的图象特点反映了数和形的有机统一。6.函数的单调性反映的是函数在某个区间上的性质，而奇偶性反映的是函数的整体性质，对于具有奇偶性的单调函数有：（1）奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；（2）偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。所以只需研究函数在区间 0,(（或 ),）上的情况，即可推断出函数在整个定义域内的性质（或图象） 。7.指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数 a 的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知 a 在（0，1）和 ),(两个区间取值时函
4、数的单调性及图象特点；还要明确在指数函数、对数函数中，若让底数取不同的允许值，则它们的图象可呈现出动态的变化规律，如果从 x轴的正半轴上方开始观察，可得到如下结论：（1）函数 )10(ayx且 的图象绕点（0，1）逆时针旋转时，其底数逐渐增大；2（2）函数 )10(logaxya且 的图象绕点（1，0）逆时针旋转时，其底数逐渐减小。利用上述结论可以解决异底数，且同指数（真数）的两个指（对）数式的值的大小比较问题。8.幂函数与指数函数的主要区别：幂函数是底数为变量，指数函数是指数为变量。因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决
5、。利用幂函数知识解题时，要注意数形结合。幂函数的图象在第一象限内凸凹情况需和直线 yx 比较。当a2，3 时，曲线下凸（或凹） ；当 21a时曲线上凸；当 a1 时曲线下凸（或凹） 。9. 方程的根、函数图象与 x 轴交点的横坐标、以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式。例如求方程根的个数，就是看对应的函数图象与 x 轴有几个交点。反过来求函数的零点个数，则可以看方程有几个实数根。10.函数零点的存在性的判定方法是重点和难点，它指出了函数零点的一种寻找方法。对于连续不间断的函数，我们只需找到一个闭区间，使区间两个端点处的函数值异号，就可断定在此区间内至少有一个零点。它的几何意义就是函数
6、的图象在此区间上与 x 轴有交点。如果函数在某区间上是间断的，虽然在区间两端点处函数值异号，但函数的图象不一定与 x 轴有交点，因此不一定存在零点。二失误与防范1.空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论，防止漏掉.2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.3.解答集合题目,认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.4.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.5.要注意 AB、AB=A、AB=B、 这五个关
7、系式的等价性. 6在研究函数的问题时，必须树立“定义域优先的意识” ，判断函数的奇偶性时，必须先考虑定义域是否关于原点对称；讨论函数的单调性时，必须是在定义域内讨论，函数的单调区间是定义域的子集。判定函数的单调性注意二点：单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的 21,x具有任意性，不能用特殊值代替。且 21,x在同一单调区间内；一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，函数的单调性是定义域的子集，所以讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域。7.分段函数是一个函数，不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集。其值域是各段值域的并3集。8. 对于指数函数和对数函数要认真分析
8、它们的图象与性质的差异，做到形与数的紧密结合，看见函数式，立刻联想到它的图形，反之，见到图象，能确定函数式中的底数 a 的范围，求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集；其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间。9. 函数的零点并不是“点” ，它不是以坐标的形式出现。例如函数 32xy的零点为1，3；函数零点的意义：函数 yf（x）的零点就是方程 f（x）0 的实数根，也即函数yf（x）的图象与 x 轴交点的横坐标；方程 f（x）0 有实数根 函数 yf（x）的图象与
9、x 轴有交点函数 yf（x）有零点；函数零点的求法：可以通过解方程 f（x）0 而得到（代数法） ；也可以将它与函数 yf（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点（几何法） 。函数的零点，揭示了方程与函数的内在联系，也是对函数知识的纵深拓展，从而渗透了重要的数学思想：方程与函数的思想，数形结合的思想。三：借助数学思想方法复习提升为了提高复习效果，可以利用思想方法把知识点由厚变薄，下面结合最新数学问题具体谈谈必修一常见的几种数学思想方法。一分类讨论思想例 1 已知集合 A=x|x22x3=0，B=x|ax1=0，若 BA，则由 a 的值构成的集合为 【分析】先化简集合 A，利用 BA，求出
10、 a 的取值，注意要分类讨论解：A=x|x 22x3=0=1，3，若 B A，则若 a=0，即 B=时，满足条件 B A若 a0，则 B=x|ax1=0= 1a，要使 B A，则 1a=1 或 =3，解得 a=1，或 a=3综上 a=0 或 a=1 或 a=3，由 a 的值构成的集合为1，0， 13【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，在解题时，要紧紧抓住关键条件 AB，看它包含那些情形，不要遗漏空集这一特殊性。二转化思想求解例 2 已知 f（x）= (31)4,ax是定义在 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）4A 17，+） B 17， 3） C （， 13） D （
11、， 17（ 3，+）【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可【答案】B【解析】当 x1 时，函数 f（x）=x+1 为减函数，此时函数的最大值为 f（1）=0，要使 f（x）在 R 上的减函数，则满足 3104()af，即 37a，解集 a 13，故选：B【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系。例 3 定义在 R 上的偶函数 y=f（x） ，当 x0 时，f（x）=2 x4，则不等式 f（x）0 的解集是 【分析】根据条件判断
12、函数的单调性和函数的零点，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可 【答案】-2.2【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键根据偶函数的定义，对于定义域内的任意 x，都有 |)()(xffxf，如果偶函数在 ),0上单调递增，则 |)(2121xfxf；如果偶函数在 ,0上单调递减，则|)(21xf，三函数与方程思想例 3 函数 f（x）=|4xx 2|a 有四个零点，则 a 的取值范围是 5【分析】由题意可得，直线 y=a 和函数 y=|4xx 2|的图象有 4 个交点，数形结合求得 a 的取值范围【答案】 （0，4）【点评】
13、本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题四数形结合思想例 4 已知函数 f（x）= 2log,03x，且关于 x 的方程 f（x）+xa=0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是 【分析】由 f（x）+xa=0 得 f（x）=x+a，作出函数 f（x）和 y=x+a 的图象，由数形结合即可得到结论【答案】 （1，+）【解析】：由 f（x）+xa=0 得 f（x）=x+a，f（x）= 2log,03x，6作出函数 f（x）和 y=x+a 的图象，则由图象可知，要使方程 f（x）+xa=0 有且只有一个实根，则a1，故答案为：（1，+
14、）【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系转化为两个图象的交点个数问题是解决本题的关键利用数形结合的数学思想 五换元法的应用例 5 如果函数 y=a2x+2a 1（a0，a1）在区间1，1上的最大值是 14，则实数 a 的值为 【分析】令 t=a ，结合指数函数和一元二次函数的性质进行求解即可【答案】3 或 13【点评】本题主要考查指数函数的性质和应用，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键解决这类问题首先明确指数函数的单调性与二次函数的单调性。指数函数的单调性与底数有关，而二次函数的单调性与开口方向以及对称轴有关，再结合函数的单调性解决。同步训练题：一选择题
15、1已知全集 R,U 集合 1,2345A, 2,B，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A 0,12 B 0,1 C D 【答案】D【解析】 5,432BA,阴影部分表示阴影部分的元素 xA且 B，即 U,选项 D 符合要7求2.若集合 12logAx，则 cAR（ ） 。A、 (,0,B、 2,C、 2(,) D、 ,)2【答案】A3.已知函数 )()Rxef，则 )(2ef（ ） 。A. 2e B. C. 3 D.不确定【答案】B【解析】根据已知条件知，函数 )()Rxef是常数函数，所以 )(2ef。4. 若函数 1,0,4)(xf）（，则 )3(log4f （ ）A. 31 B. 3 C
16、. 1 D. 4 【答案】B【解析】因为 1log04，所以 )3(log4f3log4=3.5. 下列函数既是奇函数，又是增函数的是A. 2lyx B. 3yx C. xy D. 3yx【答案】B【解析】 四个函数中只有函数 3既是奇函数又是增函数. 故选 B.6. 右图给出了某种豆类生长枝数 y(枝)与时间 t(月)的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是 ( )8(A) 2ty； (B) ty2log； (C) 3ty； (D) ty2【答案】D【解析】把点（2，4） 、 （3，8） 、 （4，16）代入上述各式，只有 t满足题意。 7下列各式中错误的是（
17、 ）A 30.87 B 0.50.5logl6 C .10.15 D 164【答案】C8. 已知函数 1()xfa， 2()af， 3()logafx（其中 0且 1a） ，在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图像，则可能的一个是（ ）【答案】B【解析】幂函数 f（x）的图象一定经过（1，1） ，当 a0 时经过原点；指数函数 g（x）的图象经过点（0，1） ，当 a1 时，图象递增，当 0a1 时，图象递减；对数函数 h（x）的图象经过点（1，0） ，当 a1 时，图象递增，当 0a1 时，图象递减，对于 A，其中指数底数应大于 1，而幂函数的指数应小于 0，故 A 不对；对于选
18、项 B，其中幂函数的指数大于 1，对数函数的底数也应大于 1，故 B 对；对于选项 C，其中指数函数图象递增，其底数应大于 1，而对数函数图象递减，其底数小于 1，故 C 不对；对于选项 D，其中幂函数的图象递增，递增的越来越快，指数函数的图象递减，故幂函数的指数应大于1，而指数函数的底数小于 1，故 D 不对由上，B 正确99. 对于正实数 a，函数 xay在 ),43(上为增函数，则 a 的取值范围为（ ）A、 ),32( B、 )169,0 C、 ),0( D、 ),169( 【答案】B【解析】由函数 xay模型知，函数 xay在 ),(是减函数，在 ),(a是增函数，所以有43a，故选
19、 B.10.函数 f(x) 的图象关于9 x2x（A） x 轴对称 （B） y 轴对称（C）原点对称 （D）直线 x y0 对称【答案】C【解析】因为函数 )(xf是奇函数，所以图象关于原点对称。11. 函数 123xy值域为A （-，1） B （ ，1） C 31，1） D 31，+） 【答案】C【解析】令 2()1txR，所以得 0t， (01)ty，所以得 13y12. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 am（ 02a） 、4m,不考虑树的粗细.现在想用 16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD.设此矩形花圃的面积为2Sm， 的最大
20、值为 ()fa，若将这棵树围在花圃内，则函数 ()ufa的图像大致是：10【答案】C二填空题13若函数 2ln1fxax是偶函数，则实数 a的值为 【答案】0【解析】根据偶函数的定义得： 22()ln1ln1ffxxax， 即 ，解得a=0.14已知集合 13Ax ， 3Ba ，若 AB，则实数 的取值范围为 【答案】 0,【解析】因为 ，所以 3a，解得 10a。15.已知函数 xxf2)(有两个不同的零点 21,x，且 1,21x，则实数 a 的取值范围是_。【答案】 ),21(【解析】根据函数的图像需要满足： 0)1(f，即 0a，即得 21。16 设 10()lgx，（） g(g(-2
21、) , g(g( 12) ； g(g(1000) ；（）从上你可以得出一个相应的结论： （只要写出符合条件的即可） 11【答案】-2, 12,lg3； g(g(x)=x(x1),或 g(g(10x)=lgx(x1)等,只要写出符合条件的一个三解答题17 计算 31lg9l3g2715.023 5log.038 .【解析】原式= 5log.041231 3ll.= 5log23lg2 = 5lo36=6+25=3118. 已知集合 A ,2|,086|2 RaxBx 。（1）当 a=1 时，求 A；（2）当 B时，求 a 的取值范围。【解析】 （1）当 a=1 时，B=(2,+ ),因为 A=2
22、，4所以 BA.(2)当 时， 0a显然不满足，而当 0a时，B= 2|ax，所以 2，解得 1，所以 a 的取值范围是（1，+ ).19. 已知函数 2()fx.() 讨论 ()fx的奇偶性； （）判断 ()fx在 ,0)上的单调性并用定义证明之.【解析】: ()函数 ()f的定义域为 |0关于原点对称. 方法 1、 2()fxa， 2xa1220 某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间 t（小时）之间近似满足如图所示的曲线，即当 10t时， kty；当 1时，aty2（）已知当每毫升血液中的含药量不少于 0.25 微克时，治疗疾
23、病有效，求服药一次的有效时间13【解析】(1)将点 )4,1(M坐标代入方程 kty和at21，得 4k， 3a (2) 当 0t时， 25.0t，得 16t；当 1t时， .3t，得 t，所以 5t ， 1679t 答：服药一次的有效时间为 1679小时21. 已知函数 ()fx是定义在 R上的奇函数，且当 0x时， ()23.xxf（1）当 0时，求 f的解析式；（2）若 1()2fx，求 x的值.22. 已知奇函数22(0)()0xfm（1）求实数 m 的值，并在给出的直角坐标系中画出 ()yfx的图象；（2）若函数 f（ x）在区间1，| a|2上单调递增，试确定 a 的取值范围. 14
