1、1专题 08 幂函数考点 47 幂函数考点 48 幂函数的定义域与值域考点 49 幂函数的性质考点 50 幂函数的图象考点 51 幂函数的综合题考点 52 对数函数、指数函数与幂函数考点 47 幂函数要点阐述幂函数：一般地，函数 yx叫做幂函数，其中 x 是自变量， 是常数【 注 意 】 （ 1） 只 有 形 如 （ 其 中 为 任 意 实 数 ， x 为 自 变 量 ） 的 函 数 才 是 幂 函 数 ， 否 则 就 不 是 幂 函 数 （2）判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y（ 为常数）的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：指数为常数，底数为自变量，底数系数为 1形如 (3
2、)yx，2yx， 5形式的函数都不是幂函数反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式典型例题【例】如果幂函数 y=（ m23m+3） 2x的图象不过原点，则 m 的取值是【答案】1 或 2【解析】由题意知， m23m+3=1，即 m23m+2=0，故 m=1 或 m=2经检验 m=1 或 m=2 均符合题意，即 m=12或 2【易错易混】读题要注意到是：不过原点，且要对所求 m 进行检验小试牛刀1已知函数122()afxx为幂函数，则 aA 或 2 B 2或 1C D1【答案】C【解析】因122()afxx为幂函数，所以 2a，所以 12或a，又 02a，所以 1a【易错易混】解题时
3、注意对 a 的验证，舍去不符合题意的数值2在函数 y ， y2 x3， y x21， y（ x1） 3中，幂函数的个数为1xA1 B2C3 D4【答案】A【易错易混】幂函数中底数是自变量，指数是常数，而指数函数中底数是常数，指数是自变量3如果幂函数 xy的图象经过点 )2,(，则 )4(f的值等于A 12 B2C 6 D16【答案】A【解析】幂函数 xy的图象经过点 )2,(，2，解得 21a，1xy，故 214)(f34已知幂函数 y=f（ x）的图象过点（3， 3），则 log4f（2）的值为A 1 B 1C2 D2【答案】A【解析】设 f（ x）= x ，因为 f（3）= ，即 3 =
4、，故 = ，所以 f（ x）= ，故 f（2）= ，所以log4f（2）=log 4 = 5已知幂函数 f（ x） kx （ kR， R）的图象过点 ，则 k (12， 2)A B112C D232【答案】A【解析】幂函数 f（ x） kx （ kR， R）的图象过点 ， k1， f ，即 (12， 2) (12) (12) 2， k 12 126已知函数 f（ x）（ m22 m） x 21，求 m 为何值时， f（ x）是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数4（4）若 f（ x）为幂函数，则 m22 m1，解得 m1 2考题速递1在函数 y ， y x2， y
5、2 x， y1， y2 x2， y x12中，是幂函数的是1xABCD【答案】C2幂函数 )(xf的图像经过点（2，4），则 )4(f等于A2 B8C16 D64【答案】C【解析】设出幂函数的解析式，利用已知条件求解解析式，然后求解结果幂函数为 fx（ ） ，幂函数 f（ x）的图象经过点（2，4），42f16， （ ） 3若函数 f（ x）是幂函数，且满足 3，则 f 的值为_f （ 4）f（ 2） (12)【答案】13【解析】由题意可设 f（ x） x ，则由 3，得 3，即 2 3，所以 log 23，则 f（ x） xf 4f 2 422log3，所以 f 2log32 2log3 2
6、 1l 3 1 (12) (12) 134已知函数 f（ x）=（ m2+2m） ， m 为何值时， f（ x）是（1）正比例函数（2）反比例函数（3）幂函数5【答案】（1）1；（2）1；（3）1【解析】（1）当 m2+m1=1，且 m2+2m0，即 m=1 时， f（ x）是正比例函数（2）当 m2+m1=1，且 m2+2m0，即 m=1 时， f（ x）是反比例函数（3）当 m2+2m=1，即 m=1 时， f（ x）是幂函数数学文化路基沉降与幂函数我国黄土的分布面积非常广，在黄土地区修建铁路时，作为路基的黄土，遇水或含水量增高时，会产生较大的变形，导致路基沉降，以致铁路轨道表面不平顺，降
7、低乘客的舒适度，严重时可造成行车事故所以应对路基沉降量做出预测幂函数在预测中起到非常关键的作用沉降量 S 随时间 t 的变化计算公式： ()tSfx其中 S 表示最终沉积量， ()10nfx，显然与幂函数有密切联系6考点 48 幂函数的定义域与值域要点阐述幂函数的定义域与值域幂函数 y x y x2 y x3 y 12xy x1定义域 R R R 0)， （ -， 0） （ ， +）值域 0)， ， （ ， ） （ ， ）典型例题【例】若幂函数 f（ x）的图象经过点 3,，则其定义域为A x|xR，且 x0 B x|xR，且 x1【答案】C【解析】（32 x x2）34 14（ 3 2x x
8、2） 3要使上式有意义，需 32 x x20解之得30 对任意 xR 恒成立得Error! 解得 k 15 k 的取值范围（ 1，）5数学文化电流与导线半径在固定电压差（电压差为常数）下，当电流通过圆柱体电线时，其强度 I 与电线半径 r 的三次方成正比其函数解析式为 3Ikr（ k 为常数）显然这与一个特殊的幂函数三次函数有密切联系10比如，当半径为 4 毫米，电流为 320 安，则 k=5 就是这种金属材料的一个固有属性，据此可以计算，当制造出其他半径的电线时，可以计算出相同电压下电流的大小幂函数与生活密切联系，你还能发现其他方面的吗？11考点 49 幂函数的性质要点阐述幂函数的性质幂函数
9、 y x y x2 y x3 y 12xy x1奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增x （ 0， +） 增x （ -， 减增 增x （ 0， +） 减x （ -， )减公共点 （1 ,1）典型例题【例】已知幂函数 f（ x） x 23m （ m Z）为偶函数，且在区间（0，）上是增函数，则函数f（ x）的解析式为_【答案】 f（ x） x4【解题技巧】根 据 幂 函 数 在 区 间 （ 0， + ） 为 增 函 数 可 得 幂 指 数 大 于 0， 再 根 据 偶 函 数 可 得 幂 指数 为 偶 数 ， 从 而 可 求 出 m， 即 可 得 到 函 数 f（ x） 的 解 析 式 小试
10、牛刀1下列命题：幂函数的图象都经过点 (1,)和点 (0,)；幂函数的图象不可能是一条直线； 0n时，函数 nyx的图象是一条直线；幂函数 nyx，当 时是增函数；幂函数 nyx，当 时，在第一象限内函数值随 x值的增大而减小幂函数的图象不可能在第四象限；其中正确的是A B12C D【答案】B【技巧方法】解决这类问题，可 采 用 特 值 法 、 排 除 法 等 根 据 幂 函 数 的 性 质 逐 个 判 断 即 可 2幂函数 y xn的图象一定经过（0，0），（1，1），（1，1），（1，1）中的A一点 B两点C三点 D四点【答案】A【解析】当 n0 时，一定过（1，1）点，当 n0 时，幂函
11、数在（0，）上单调递增；当 m0 D mn0【答案】A【解析】由幂函数的图象特征可知， m， n 均小于 0，又取 x2，则 2m2n， mn，即 nx，当 x1 时，131 时 ， 幂 函 数 和 一 次 函 数 在 其 定 义 域 上 均 为 增 函 数 ， 当 a1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定6点（ ，2）与点 分别在幂函数 f（ x）、 g（ x）的图象上，问当 x 为何值时，有2 ( 2， 12) f（ x） g（ x）； f（ x） g（ x）； f（ x） g（ x）；当 x1 时， f（ x） g（ x）；当 x（0 ,1）时， f（ x）n21， n3n21，
12、 n41n20n4n3D n11n20n3n4【答案】D【解析】直接根据幂函数的单调性得到结果，也可过（1 ,1）点作垂直于 x 轴的直线，在该直线的右侧，20自上而下幂函数的指数依次减小4点（ ，2）与点 分别在幂函数 f（ x）， g（ x）的图象上，问：当 x 为何值时，有：2 ( 2， 12) f（ x） g（ x）？ f（ x） g（ x）？ f（ x）0 且 a 1） 即为 幂 函 数 ， 其 系 数 为 1， 这 是 幂 函 数 的 一 个 重 要 特 征 解答本题，求出 m 值后，易忽略对 m 取值的检验，从而产生增解小试牛刀1函数 2xy的图象大致是24A B C D【答案】
13、A【解析】因为 2x， 4时， 20xy，所以排除 B， C；当 2x时， 220，所以选 A2幂函数 f（ x） x 满足 x1 时 f（ x）1，则 满足的条件是A 1 B00 D 0 且 1【答案】C【解析】因为 x1 时 x 11 ，所以 y x 单调递增，故 0【易错易混】将 1 转化为 1 ，借助其单调性进行比较3已知幂函数 f)(的部分对应值如下表：x 1 2f（ x） 1则不等式 2)(xf的解集是A x|4 x4 B x|0 x4C x| x D x|03， a ，32故 a 的取值范围是 a 32考题速递1设 a= ， b= ， c= ，则A a ，又因为 y= 是减函数，
14、故 ab2幂函数 f（ x） x3m5 （ m N）在（0，）上是减函数，且 f（ x） f（ x），则 m 可能等于A0 B1C2 D3【答案】B3已知幂函数 y x 23m （ m N*）的图象与 x 轴、 y 轴均无交点，且关于原点对称，则 m_【答案】2【解析】幂函数 y x 23 （ m N*）的图象与 x 轴、 y 轴均无交点，且关于原点对称， m22 m3 f（ a1）的实数 a 的取值2范围【答案】（1）0，），增函数；（2）1， 1，32)【解析】（1） m2 m m（ m1）， mN *， m 与 m1 中必定有一个为偶数， m2 m 为偶数，27函数 f（ x） x21m
15、+（ mN *）的定义域为0，），并且该函数在其定义域上为增函数数学文化对称美对称美是形式美的美学法则之一，人的形体是对称的，鹰、猛虎、雄狮、孔雀、金鱼、知了、蝴蝶等无一不表现出对称的形态形态的对称能给人以健康的美感，若不对称则给人以不愉快的印象，对称美源于自然亦道法自然28考点 52 对数函数、指数函数与幂函数要点阐述1三种函数模型的性质函 数 性 质 y ax（ a1） ylogax（ a1） y xn（ n0）在（0，）上的增减性 增函数 增函数 增函数图象的变化 随 x 的增大逐渐变“陡” 随 x 的增大逐渐趋于稳定 随 n 值而不同2三种函数模型的增长速度比较（1）对于指数函数 y
16、ax（ a1）和幂函数 y xn（ n0）在区间（0，）上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定变化范围内， ax会小于 xn，但由于 ax的增长快于 xn的增长，因此总存在一个 x0，当 xx0时，就会有 axxn（2）对于对数函数 ylog ax（ a1）和幂函数 y xn（ n0），在区间（0，）上，尽管在 x 的一定变化范围内，log ax 可能会大于 xn，但由于 logax 的增长慢于 xn的增长，因此总存在一个 x0，当 xx0时，就会有 logax1）， ylog ax（ a1）和 y xn（ n0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着 x 的
17、增大， y ax（ a1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y xn（ n0）的增长速度，而 ylog ax（ a1）的增长速度则会越来越慢3某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为 02 万公顷、04 万公顷和 076 万公顷，则沙漠增加数 y（万公顷）关于年数 x（年）的函数关系较为近似的是A y=02 x B y=110（ x2+2x）C y=2x10 D y=02+log16 x【答案】C【解析】将 x=1,2,3， y=02 ,04 ,076 分别代入验算30【方法总结】当函数模型不好确定的时候，一一验证是否吻合，即可得到答案4某厂原来月产量为 a，一月
18、份增产 10%，二月份比一月份减产 10%，设二月份产量为 b，则A ab B a1）的函数关系分别是f1（ x） x2， f2（ x）4 x， f3（ x）log 2x， f4（ x）2 x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是A f1（ x） x2 B f2（ x）4 xC f3（ x）log 2x D f4（ x）2 x【答案】D考题速递1某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系，可选用A一次函数 B二次函数C指数型函数 D对数型函数【答案】D【解析】对
19、数函数的增长速度是先快后慢型的函数，故 D 合题意2在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是x 2 3 4 5 6y 097 159 198 235 261A ylog 2x B y2 x31C y （ x21） D y2 x12【答案】A3某公司为激励创新 ,计划逐年加大研发资金投入若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元 ,在此基础上 ,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（参考数据：lg112005 ,lg13011 ,lg2030
20、）A2018 年 B2019 年C2020 年 D2021 年【答案】B【解析】设 x 年后该公司全年投入的研发资金为 200 万元 ,由题可知 ,130（112%） x200 ,解得xlog 112 380 ,因资金需超过 200 万 ,则 x 取 4,即 2019 年选 B200130 lg 2 lg 1.3lg 1.124据报道，某淡水湖的湖水在 50 年内减少了 10%，若年平均减少率相等，按此规律，设 2013 年的湖水量为 m，从 2013 年起，经过 x 年后湖水量 y 与 x 的函数关系为A y09 50xB y（101 50x） mC y09 m D y（101 50x） m【答案】C【解析】设每年湖水量为上一年的 q%，则（ q%） 5009，所以 q%09150，所以 x 年后的湖水量y09 50xm数学文化函数模型猪八戒开招聘会，给出招聘的试题：猪氏集团旗下的“天蓬大酒店”于 2015 年元旦开张，生意蒸蒸日上第一个月营业额达到 100 万，第二个月达到了 150 万试问：照此增长，第三个月的营业额为多少？
